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        待定系數(shù)法在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

        2018-06-21 03:29:08
        初中生世界 2018年23期
        關(guān)鍵詞:因式恒等式方程組

        吳 琴

        對(duì)于某些數(shù)學(xué)問題,如果已知所求結(jié)果具有某種確定的形式,則可引進(jìn)一些尚待確定的系數(shù)來表示這種結(jié)果,通過已知條件建立起給定的算式和結(jié)果之間的關(guān)系式,得到以待定系數(shù)為元的方程或方程組,解得待定系數(shù),從而使問題得以解決,這個(gè)方法叫待定系數(shù)法.此法在初中數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用,下面舉例予以說明.

        一、函數(shù)方面的應(yīng)用

        待定系數(shù)法最常見的就是在函數(shù)方面的應(yīng)用,用以確定函數(shù)表達(dá)式.主要原因就是不管是一次函數(shù)、反比例函數(shù)還是二次函數(shù)都有其固定的形式,這為建立方程(組)提供了依據(jù).

        例1 已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(-1,-6)、(1,-2)和(2,3).求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式.

        【分析】因?yàn)轭}中給的是圖像過三個(gè)普通點(diǎn),所以應(yīng)該設(shè)二次函數(shù)的一般形式y(tǒng)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0),接著將點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式,求出a,b,c的值.

        解:設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0),

        【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是如何用待定系數(shù)法確定函數(shù)的表達(dá)式,正確解答此題的關(guān)鍵是設(shè)出函數(shù)的一般形式,代入點(diǎn)的坐標(biāo),得到方程組,求出系數(shù),即可求出函數(shù)表達(dá)式.

        例2 已知關(guān)于x的一次函數(shù)y=kx+b的圖像平行于直線y=-3x+4,且其圖像經(jīng)過點(diǎn)(3,0),求此一次函數(shù)的解析式.

        【分析】?jī)蓚€(gè)一次函數(shù)的圖像互相平行,即k的值相同.

        解:因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y=kx+b的圖像平行于直線y=-3x+4,所以k=-3,所求一次函數(shù)為y=-3x+b,

        把x=3,y=0代入y=-3x+b中得0=-9+b,

        ∴b=9,

        ∴一次函數(shù)的解析式為y=-3x+9.

        【點(diǎn)評(píng)】若一次函數(shù)y=k1x+b1與y=k2x+b2的圖像互相平行,則k1=k2且b1≠b2.故求一次函數(shù)的解析式時(shí),可先直接求出k的值,再找一個(gè)條件求出b的值即可.兩個(gè)圖像(直線)平移也屬互相平行關(guān)系.

        二、因式分解中的應(yīng)用

        例3 如果x3+ax2+bx+8有兩個(gè)因式x+1和x+2,則a+b=( ).

        A.7 B.8 C.15 D.21

        【分析】原多項(xiàng)式必能分解為三個(gè)一次因式的積,第三個(gè)因式應(yīng)該是形如x+c的一次二項(xiàng)式,故可以考慮用待定系數(shù)法求解本題.

        解:可設(shè)x3+ax2+bx+8=(x+1)(x+2)(x+c),展開等號(hào)右邊部分得x3+ax2+bx+8=x3+(3+c)x2+(2+3c)x+2c,比較系數(shù),

        a+b=21,故選D.

        【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查因式分解的概念,解決本題的關(guān)鍵是利用代數(shù)恒等式的定義,系數(shù)對(duì)應(yīng)相等,從而求出待定的系數(shù).

        例4 分解因式x4+x3+4x2-3x+5.

        【分析】這是一個(gè)關(guān)于x的四次多項(xiàng)式,可考慮用待定系數(shù)法分解成兩個(gè)二次三項(xiàng)式的乘積.

        解:設(shè)x4+x3+4x2-3x+5

        =(x2+ax+1)(x2+bx+5)

        =x4+(a+b)x3+(ab+6)x2+(5a+b)x+5,

        比較等式兩邊同次項(xiàng)的系數(shù),

        由①③式確定a=-1,b=2,代入②成立,

        ∴x4+x3+4x2-3x+5=(x2-x+1)(x2+2x+5).

        【點(diǎn)評(píng)】在上述過程中,又因?yàn)?=(-1)×(-5),若設(shè)原式=(x2+ax-1)(x2+bx-5),則得到關(guān)于a,b的方程組無解.故運(yùn)用待定系數(shù)法時(shí),有時(shí)需要用計(jì)算來排除某種分解不可能的情況.

        三、用于拆分分式

        【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查將一個(gè)分式分成幾個(gè)分式的和.解決本題首先應(yīng)將分母去掉,這樣形式上會(huì)簡(jiǎn)單很多,然后等號(hào)兩邊分別整理,利用代數(shù)恒等式的定義,得到關(guān)于系數(shù)的方程組,從而求出待定系數(shù)的值.

        綜上,待定系數(shù)法實(shí)質(zhì)上是一種求未知系數(shù)的方法.經(jīng)常將一個(gè)多項(xiàng)式表示成另一種含有待定系數(shù)的新的形式,這樣就得到一個(gè)代數(shù)恒等式.然后根據(jù)代數(shù)恒等式的性質(zhì)得出系數(shù)應(yīng)滿足的方程或方程組,其后通過解方程或方程組便可求出待定的系數(shù),或找出某些系數(shù)所滿足的關(guān)系式.

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