湖北省荊州市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 付藝穎 付金雷

雨果說(shuō)：“收藏家就是一批具有非凡毅力的普通人”.

收藏界“錢幣為大，硬幣為王” ，而價(jià)值不菲的硬幣，多是古今中外的金銀銅鐵硬幣，中國(guó)古錢幣是文化藝術(shù)寶庫(kù)中的一朵奇葩，萌芽于夏朝，殷朝得以廣泛發(fā)展至今四千多年，古錢幣設(shè)計(jì)思想精妙，將“天圓地方” 的宇宙觀溶于錢幣中，古錢幣能夠反映岀一個(gè)朝代一個(gè)民族在不同的社會(huì)環(huán)境政治背景下的文化，風(fēng)俗，習(xí)慣，而古錢幣又以銅幣居多，特別是珍稀品，更是價(jià)值連城。我國(guó)古錢硬幣雖品種繁雜(如圖一) ，但大多數(shù)古錢幣外形是圓形中要么開一個(gè)正方形的小孔，要么開一個(gè)小圓孔，要么不開孔，就又用一個(gè)或多個(gè)圓組成，這為幾何命題提供了淵遠(yuǎn)歷史背景，古人做人崇尚花好月圓，福祿壽喜俱全與花好月圓的大團(tuán)圓并成人之美，做事堂堂正正，可方可圓，而初中平面幾何亦覆蓋做事為人內(nèi)涵，點(diǎn)、線、三角形、四邊形、相似形又在圓中“大團(tuán)圓” 而 完美收官，下面就從眾多古錢幣中遴選幾種作幾何命題探究，以饗讀者。

圖一

1 “五帝錢”

五帝錢，是指清朝順治、康熙、雍正、乾隆、嘉慶五個(gè)皇帝在位時(shí)發(fā)行的貨幣。五帝處于中國(guó)國(guó)力最強(qiáng)大的年代，時(shí)代相連，國(guó)運(yùn)昌盛，社會(huì)安定繁榮，帝王獨(dú)尊，百姓樂(lè)業(yè)，錢幣鑄造精良，流通時(shí)久，得“天、地、人”之精氣，故能鎮(zhèn)宅、化煞，并兼具旺財(cái)功能。以元寶，重寶，通寶為例構(gòu)建命題這五位皇帝用的“方孔”錢和大多其他古錢一樣都是，同心圓中開一個(gè)正方形的孔。(如圖二) 會(huì)構(gòu)建命題：

圖二

(1)一枚圓形方孔錢（如圖二）的外圓直徑為a，中間方孔邊長(zhǎng)為b，則圓中實(shí)體面積為？()。

(2)某仿古錢幣直徑為4cm，錢幣內(nèi)孔邊緣恰好是圓心在錢幣外緣均勻分布的等弧(如圖三).求錢幣在桌面上能覆蓋的面積為多少？(10.84cm2)。

圖三

(3)如圖四，一枚直徑為4cm的中華民國(guó)古錢幣沿著直線滾動(dòng)一周，圓心移動(dòng)的距離是？（4ηcm）

圖四

(預(yù)設(shè)命題) 這個(gè)正方形有一個(gè)與錢幣圓同心的外接圓。

圖五

(再命題1) 如果畫岀這個(gè)正方形的對(duì)角線(如圖五)，那么∠OAB＝45°，∠OB’A’＝45°，于是A、B、B’、A’四點(diǎn)共圓，同理可證B、C、C’、B’，C、D、D’、C’，D、A、A’、D’，都分別共圓。

(命題2變式) 現(xiàn)在，我們把上述問(wèn)題變換如下：

如圖六，若以下各組點(diǎn)都共圓：(1) A、B、B’、A’(2) B、C、C’、B’(3) C、D、D’、C’(4) D、A、A’、D’(5) A、B、C、D，那么(6) A’、B’、C’、D’仍然共圓嗎？(四邊形A’B’C’D’不一定是正方形)

圖六

證明：∵A、B、B’、A’共圓 ∴∠1=∠A’AB ，

∵B、C、C’、B’共圓 ∴∠2=∠C’CB，

∵C、D、D’、C’共圓 ∴∠3=∠C’CB

∵D、A、A’、D’共圓 ∴∠4=∠A’AD

∴∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4=∠DAB + ∠BCD

又∵A、B、C、D共圓 ∴∠DAB+∠BCD=180°

∴∠1+∠2+∠3+∠4=180° ∴A’、B’、C’、D’共圓

(命題3推論) 六組四點(diǎn)共圓，若有其中任何五組共圓，則最后一組四點(diǎn)必共圓。

2 “孫小頭”

1912年是中華民國(guó)成立的開始，為了紀(jì)念這件翻天覆地的大事，國(guó)民政府決定鑄銀元紀(jì)念。1912年的民元國(guó)會(huì)。選舉孫中山為第一領(lǐng)導(dǎo)人。鑄造的首批銀元以孫中山頭像為背景圖案。 開國(guó)紀(jì)念幣為例實(shí)心同心圓，如圖七作命題構(gòu)想

(命題4)如圖七，(1)內(nèi)圓S1和圓環(huán)S2，S3有相同的圓心，且小圓S1和圓環(huán)S2,S3面積相等, 又S1,S2,S3對(duì)應(yīng)的半徑分別為R1,R2,R3則R23=________R21.(3)

(2) 若兩條R2互相垂直，和圓環(huán)相交四點(diǎn)組成等腰梯形面積為25cm2，，則圓環(huán)的面積為多少？(50cm2)

圖七

3.“四川銅幣”

民國(guó)時(shí)期發(fā)行的一種貨幣。銅幣是機(jī)器鑄造的，少量翻砂造，銅元數(shù)量很大，是很重要的一個(gè)品類，甚至可以說(shuō)是民國(guó)銅元的主體品種。1911年辛亥革命勝利后，清帝退位，中華民國(guó)成立，中華民國(guó)開國(guó)紀(jì)念幣是由民國(guó)政府發(fā)行的一款紀(jì)念銅錢，正面“軍政府造”字樣，背面背“漢” 或交叉龍旗。銅幣當(dāng)時(shí)面值以當(dāng)十、當(dāng)二十，當(dāng)五十，當(dāng)一百為主，多數(shù)實(shí)心，尤其有大大小小的圓。

如圖八 為例18個(gè)實(shí)心圓圈居多，因軍閥混戰(zhàn)，由于此古錢幣為機(jī)制幣，存在人為或模具磨損而岀現(xiàn)“錯(cuò)幣”和“殘幣” ，比如岀現(xiàn)圖五的“月牙兒幣” 成為“趣味幣” ，從而構(gòu)建命題，多個(gè)實(shí)心圓

（1）(趣味幣命題5) 如圖八所示，在大圓周上有16個(gè)小圓圈，小明將其中一些不相鄰的小圓圈涂成紅色，這時(shí)無(wú)論再將哪個(gè)小圓圈涂成紅色，都會(huì)使圓周上岀現(xiàn)兩個(gè)相鄰的紅色小圓圈，問(wèn)小明最少涂紅了幾個(gè)小圓圈？（6個(gè)）

圖八

(2) (月牙兒錯(cuò)幣命題6)如圖九所示，在圓O中，弧ADB =90°，弦AB=a，以B為圓心，BA為半徑畫圓弧交于圓O于另一點(diǎn)C，則由兩條圓弧所圍成的月亮形(圖中陰影部分)的面積s=？（ ）

圖九

4.“花錢”

花錢源于漢代，花錢在早期是漢族民間自?shī)首詷?lè)的一種玩錢，這種錢幣由于不是流通錢，因此它的材質(zhì)和工藝大都比較粗糙。“花錢”雖然具有錢幣的形態(tài)，但不作流通使用，是錢幣中的“非正用品”。漢族民間花錢的種類繁多，五花八門，諸如開爐、鎮(zhèn)庫(kù)、饋贈(zèng)、祝福、等等都要鑄錢，這種“錢”，其實(shí)是專供某種需要的辟邪品、吉利品、紀(jì)念品，風(fēng)花雪月品。其中“吉語(yǔ)錢”是比較普遍的一類花錢。主要以“長(zhǎng)命富貴”、“福德長(zhǎng)壽”、“加官進(jìn)祿”、 “天下太平”等吉語(yǔ)為內(nèi)容，這同時(shí)也反應(yīng)了中國(guó)傳統(tǒng)文化的滲透力。其珍稀美勝過(guò)官局制錢幣，這一實(shí)一空同心圓構(gòu)建命題。

(命題7)有兩個(gè)半徑差為2cm的圓，它們各有一個(gè)內(nèi)接正十二邊形(如圖十)所示，已知陰影部分的面積是2016cm2，請(qǐng)問(wèn)小圓的半徑是多少？(167cm)

圖十

5.“刀幣”

春秋晚期至戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的燕國(guó)、齊國(guó)、趙國(guó)、中山國(guó)所通行的刀類貨幣 ，外形由同心圓和曲多邊形組成，象一把“鑰匙”，構(gòu)建命題。

圖十一

(命題8)如圖十二＜1>若圓內(nèi)接六邊形ABCDEF對(duì)邊CD//AF，對(duì)邊AB,ED延長(zhǎng)交于M，BC,FE延長(zhǎng)交于N,則MN//CD.

事實(shí)上，本命題對(duì)于六邊形ABCDEF不是凸六邊形，六邊形發(fā)生相交的情況亦是成立的。由此可演變出21個(gè)命題，下面選擇幾個(gè)羅列如下，它們證明方法羅列基本相同，不再一一寫出，其余命題留作讀后探究。

變式1：圓內(nèi)接六邊形ABCDEF的對(duì)角線AF與CD平行，對(duì)角線AB，DE交于M,BC,EF交于N,則MN//CD. (圖十二＜2>)

變式2: 圓內(nèi)接六邊形ABCDEF邊CD//AF,對(duì)角線MN//CD。(圖十二＜3>)

變式3：圓內(nèi)接六邊形AECDBF對(duì)邊CD//AF,對(duì)角線AB,ED延長(zhǎng)線交于M,BC、FE延長(zhǎng)交于N,則MN//CD. (圖十二＜4>)

變式4: 圓內(nèi)接六邊形ABEFCD對(duì)角線AF//DC,對(duì)角線DE與邊AB延長(zhǎng)交于N,則MN//CD. (圖十二＜5>)

變式5：圓內(nèi)接六邊形ABDCFE對(duì)角線AF//DC,對(duì)角線ED與邊AB延長(zhǎng)交于M，對(duì)角線BC與EF延長(zhǎng)交于N,則MN//DC。(圖十二＜6>)

變式1-5中，若仍看作六邊形ABCDEF，則它不再是凸六邊形，而回到命題8的形式。

圖十二

不勝枚舉，幾千年古今中外硬幣不計(jì)其數(shù)，從古錢幣看幾何圖歷史悠久，作圖題，對(duì)稱美，運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的軌跡無(wú)一不覆蓋，建模命題也會(huì)取之不盡，用之不竭而豐富多彩，由模主要聯(lián)想圓與圓位置關(guān)系及圓與正多邊形關(guān)系，真是生活處處皆學(xué)問(wèn)，古錢價(jià)值幾何中有無(wú)限的幾何呀！