湖南省郴州市宜章縣第四中學(xué) 李恪武

1.一個學(xué)生設(shè)計(jì)的運(yùn)動模型

在講簡諧運(yùn)動這一章里一個學(xué)生拿著一個自己設(shè)計(jì)的模型如圖（1），讓我給它解釋小球的運(yùn)動。圖形如下：一個箱子里裝著一個小彈簧振子，放在光滑水平面上，左右兩邊再連接彈簧構(gòu)成一個大的彈簧振子。在大彈簧振子振動的同時，使小彈簧振子也開始振動。最終彈簧振子將做什么運(yùn)動呢？學(xué)生自己想象的運(yùn)動是圓周運(yùn)動。

2.用運(yùn)動合成的思想解決問題

無疑小球的運(yùn)動是一個非常復(fù)雜的運(yùn)動。但是從運(yùn)動的合成角度來看小球參與了兩個運(yùn)動：水平方向：隨箱子的左右振動，豎直方向：自身的上下振動。小球的最終運(yùn)動是這兩個振動的合運(yùn)動。

3.兩振子周期（也就是角速度）相同的幾種特殊情況

為了具體,設(shè)大彈簧振子的振幅為A1，角速度為初相位為小彈簧振子的振幅為A2，角速度為初相位為先看一些特殊情況：

3.1.若則：

小球豎直方向的位移：

兩式左右相比得到：①，兩個簡諧運(yùn)動的合成竟然是一條直線！直線的斜率為正，斜率大小由兩個振動的振幅比值決定。圖形如圖（2）：

3.2.若則：

小球水平方向的位移：

小球豎直方向的位移：

整理得

②,這是一個標(biāo)準(zhǔn)的橢圓方程。小球的運(yùn)動軌跡是一個逆時針的橢圓，設(shè)A1＞ A2圖形如圖（3）：

若A1=A2=A，②式變?yōu)樾∏驅(qū)⒆鲆粋€逆時針的勻速圓周運(yùn)動。半徑為A，線速度軌跡圖形如圖（4）：

3.3.若則：

小球水平方向的位移：

小球豎直方向的位移：

3.4.若則：

小球水平方向的位移：

小球豎直方向的位移：

通過上面特殊情況的分析知道當(dāng)角速度相同的時候，小球的運(yùn)動主要是三種：直線運(yùn)動，圓周運(yùn)動，橢圓運(yùn)動。對一般相位差分析發(fā)現(xiàn)除了這幾種特殊情況以外，小球的一般運(yùn)動為橢圓。

4.一般情況分析

若小球的兩個分運(yùn)動中：這是一種一般的情況。解決的方法還是運(yùn)動的合成，看下面推導(dǎo)：

水平方向位移：

從中解出時間：

豎直方向的位移：

對方程變形：

解得：

很顯然y和x的關(guān)系，并不是初等函數(shù)。我們不能直接看出小球運(yùn)動的軌跡。解決問題的方法有兩個：

（1）采用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖像，點(diǎn)越多圖像越準(zhǔn)確

（2）用實(shí)驗(yàn)的方法：掏空小球在其中裝墨水或細(xì)沙，小球振動的過程中自然會畫出其運(yùn)動圖像。這是借用了描簡諧運(yùn)動圖像的方法。

（3）注意：上述函數(shù)關(guān)系式x和y的取值范圍：

（4）可以推斷：小球的運(yùn)動軌跡將和角速度、振幅、初相位有關(guān)。對應(yīng)這些物理量不同的值會有不同的圖像。