陳 敏 王張妮

一、相關(guān)背景介紹

浙教版新思維小學(xué)《數(shù)學(xué)》在早期代數(shù)教學(xué)方面做了不少探索，其中有一項特色舉措是：從一年級開始引入圖形符號表示數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生開展圖形等式推算（如下圖），進而利用圖形等式來溝通各種數(shù)量關(guān)系，求解較復(fù)雜的應(yīng)用問題。

圖1

2016年暑假，由張?zhí)煨⒗蠋燁I(lǐng)銜，啟動教材修訂。2017年9月，修訂后的一年級上冊教材完稿，少量印刷，供部分實驗學(xué)校志愿開展前期實驗。同期，張老師還開始了《新思維兒童數(shù)學(xué)》系列學(xué)習(xí)材料的創(chuàng)作，目前《新思維兒童數(shù)學(xué)》1A冊、1B冊業(yè)已出版。在這些書中，我們發(fā)現(xiàn)，圖形等式推算的相關(guān)內(nèi)容得到了進一步梳理和充實，題型更豐富，序列更完善。

學(xué)習(xí)材料的價值最終應(yīng)通過學(xué)生的學(xué)習(xí)效果來檢驗。剛?cè)雽W(xué)的一年級學(xué)生能夠理解這些圖形等式的意思嗎？理解到什么程度？他們是怎樣解決這些問題的？有哪些共性？對我們的教學(xué)有什么啟示？我們試圖進行研究。

二、測試情況說明

2018年1月，我們選了兩個試用一年級上冊修訂版教材的班級，進行了一次測試。其中一個為城市民辦學(xué)校的教學(xué)班，生源較好，下文記為A班，樣本數(shù)31人；另一個班級為普通公辦學(xué)校的教學(xué)班，生源以外來務(wù)工人員子女居多，基礎(chǔ)相對薄弱，下文記為B班，樣本數(shù)35人。

圖2 測試內(nèi)容

三、測試結(jié)果分析

1.學(xué)生普遍能正確求取加減等式中缺失的數(shù)，“式=數(shù)”型近乎全對，“式=式”型略弱，亦達80%左右。

表1“求方框里的數(shù)”各題通過率一覽表

我們認為：通過合理的教學(xué)，學(xué)生可以在起步階段就較好地理解“=”的意義，不僅用于表示“運算得到……”，還能解讀為“兩邊相等”，即“=”不僅是一種程序符號，也是一個關(guān)系符號。

式和式的相等，使情況變得相對復(fù)雜，使一部分學(xué)生略感困惑。但經(jīng)過簡單的訪談，發(fā)現(xiàn)它也激發(fā)了部分學(xué)生的高層次思維。如□-5=10-4，大部分學(xué)生的想法都是先算等式右邊10－4=6，再想□-5=6，6+5=11。也有少數(shù)學(xué)生利用了差的變化規(guī)律“兩邊的差相等，5比 4多 1，□也比 10多 1，□=11”。

2.學(xué)生很容易接受圖形符號表示未知數(shù)的觀念，但進一步的推理過程尚未完全達到代數(shù)水平。

第2題（1）小題，學(xué)困生主要依靠直覺或者用試錯的辦法求取圖形表示的數(shù)。通過對解答錯誤的三位學(xué)生訪談得知：

一位學(xué)生先基于計算經(jīng)驗，想出圖形代表的數(shù)，再根據(jù)得數(shù)拼湊相應(yīng)的算式，充作過程；

另一位學(xué)生對解題格式不太理解，但他也是正向思考的。

多數(shù)學(xué)生能夠清晰地說明算式各部分之間的關(guān)系，如“一個加數(shù)=和－另一個加數(shù)”之類，并利用關(guān)系推算圖形表示的數(shù)。但根據(jù)有關(guān)研究文章，這仍是算術(shù)思考，不能算代數(shù)思維。

而一年級學(xué)生特別不能把“式”凝聚成一個對象，不習(xí)慣“式”的代入和推理。第2題（2）的答題情況很能說明問題。

第2個方程組不能直接算出■或★等于多少，要用“■+■”替換★，將第2式轉(zhuǎn)化成■+■－7=■，兩邊再同時消去1個■，變形成■－7=0，從而得到■=7，★=7+7=14。解決這個問題不能完全依靠數(shù)值的計算，更多是關(guān)系的推理，這道題發(fā)生錯誤或不會做的人數(shù)就大大增加了，在生源薄弱的學(xué)校尤其如此。

表2“求圖形表示的數(shù)”各題錯誤率一覽表

第3題，學(xué)生基于一定的計算經(jīng)驗，雖然能對圖形所表示數(shù)的大小作出估計，但進一步的精確分析則顯然存在問題?；诖鷶?shù)符號的關(guān)系推理對一年級新生來說是抽象的、有挑戰(zhàn)的，不同生源的差異很大。

表3“根據(jù)所給信息推斷大小”各題錯誤率一覽表

第4題，根據(jù)已知信息，只能推斷出不同玩具所表示的數(shù)之間的關(guān)系（和與差），而在限定的關(guān)系下，具體的數(shù)值有多種可能。數(shù)據(jù)表明，多數(shù)學(xué)生不是這樣思考的，當關(guān)系推導(dǎo)的要求較高時，他們會退守到最初的直覺或試錯水平。

表4“玩具分別表示幾”兩小題通過率比較

四、對教學(xué)的啟示

學(xué)生的表現(xiàn)既給了我們開展早期代數(shù)教學(xué)的信心，同時也啟發(fā)我們要根據(jù)不同學(xué)齡段的特點，采取合適的教學(xué)策略，將代數(shù)和算術(shù)的教學(xué)有機整合起來，更好地發(fā)展學(xué)生的思維。

1.初期教學(xué)從算術(shù)開始，重視借助直觀，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。

早期代數(shù)不等于早教代數(shù)，更不是以代數(shù)思考去替代和取消算術(shù)的思路。我們傾向于認為算術(shù)是代數(shù)的必要基礎(chǔ)。通過算術(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生充分感知數(shù)的特性，積累運算的經(jīng)驗，對于進一步抽象的代數(shù)學(xué)習(xí)來說，是非常必要和有益的，且算術(shù)內(nèi)容本身具有獨特的思維訓(xùn)練價值。

在學(xué)生剛剛開始學(xué)習(xí)計算時，就引入圖形等式推算，一方面在于幫助學(xué)生比較自然地接受用符號表示未知數(shù)的觀念，將未知數(shù)和已知數(shù)同等看待，借助數(shù)值運算的經(jīng)驗去感知和理解代數(shù)運算的基本規(guī)則；另一方面，創(chuàng)造機會，讓學(xué)生從單純、單調(diào)的正向計算訓(xùn)練走向更為靈活的推理。

如學(xué)生要計算“10+2=？”，基本上就是執(zhí)行了一個程序：十位不變，個位0+2，得12；而面對10+●=12，我們追求的是對圖形等式有意義的理解和有邏輯的推理。建議的教學(xué)流程如下：

階段一：從熟悉的情境中抽象出圖形等式，依托情境意義完成推算。

引導(dǎo)學(xué)生思考：吃掉的蛋糕+剩下10個=12個，吃掉的蛋糕個數(shù)不知道，用●表示，得到10+●=12。●怎么求呢？用總數(shù)（12個）－剩下的部分（10個）=吃掉的部分?！?12－10，●=2。

階段二：將情境抽象成線段圖，基于線段圖開展圖形等式推算。如：

學(xué)生可以依據(jù)線段長度之間的關(guān)系，列寫圖形等式并完成推算。

階段三：抽象的圖形等式推算。學(xué)生可以根據(jù)自己的認知水平對圖形等式做必要的解讀。

抽象水平較高的學(xué)生可以直接推算，抽象水平稍弱的學(xué)生也可以轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的線段圖或生活情境來幫助自己。

通過不同表征之間的相互轉(zhuǎn)譯和轉(zhuǎn)化，希望學(xué)生真正理解圖形符號的意義，理解其中部分和整體的關(guān)系，“超越熟練掌握計算和流利的計算，注意數(shù)學(xué)深層次的結(jié)構(gòu)”。

“圖形表示幾”不是圖形等式推算訓(xùn)練的重點，對各種基本數(shù)量關(guān)系的分析、比較、概括和推理是有價值的，即便這種思考還不完全是代數(shù)的。

2.設(shè)計“跳一跳”型任務(wù)，滲透代數(shù)思考的經(jīng)驗，開發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的可能性。

在測試中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生精通“數(shù)”的代入，但不太適應(yīng)“式”的代入，而這種經(jīng)驗是可以去刺激和突破的。由于小學(xué)生以形象思維為主，我們可以創(chuàng)設(shè)直觀情境，引導(dǎo)學(xué)生思考將下圖右邊天平中圓柱取走，天平會怎樣？若想天平繼續(xù)保持平衡，左盤里應(yīng)再放入幾個立方體？為什么？

多有幾次類似經(jīng)歷，學(xué)生就能從1個數(shù)或1個量的代入進展到1組數(shù)或1組量的代入了。

另外，關(guān)于不定方程的解的問題，我們可以組織學(xué)生玩猜數(shù)游戲：不同的圖形表示不同的數(shù)（自然數(shù)），●+▲=10，●和▲可能是幾？根據(jù)學(xué)生的回答列成表格。請學(xué)生觀察表格，說說自己發(fā)現(xiàn)了什么？強調(diào)●和▲的變化，更要強調(diào)它們之間不變的關(guān)系，即●+▲=10。

在此基礎(chǔ)上，嘗試下題（左邊的數(shù)表示一行的和，下邊的數(shù)表示一列的和。）

學(xué)生從盲目的試錯，到自覺地分析：=7，而=9，所以一定比多2，逐漸地，學(xué)生就能跳脫1式、1數(shù)的點狀思維，關(guān)注到兩個數(shù)之間的關(guān)系，萌發(fā)函數(shù)觀念。