于寶興，李仲勤

(1.蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；2.蘭州交通大學(xué) 測(cè)繪與地理信息學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

隨著我國高速鐵路的快速發(fā)展，無砟軌道路基的工后沉降變形預(yù)報(bào)問題成為國內(nèi)外學(xué)者重點(diǎn)研究的對(duì)象，而過渡段問題的預(yù)測(cè)分析又是其中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。目前路基沉降預(yù)測(cè)方法一般可分為三類:第一類,根據(jù)現(xiàn)有規(guī)范中推薦的或利用分層總和法來計(jì)算最終沉降量,即為理論公式法。第二類也是根據(jù)固結(jié)理論,采用不同的本構(gòu)模型,通過有限差分、有限元和邊界元等方法計(jì)算沉降量,判斷其發(fā)展規(guī)律,此類即為數(shù)值計(jì)算方法。第三類是觀測(cè)資料的回歸分析法,這種方法是以實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ),通過回歸分析來預(yù)測(cè)沉降。

本文主要以回歸分析方法對(duì)路隧和路橋過渡段進(jìn)行沉降曲線擬合，預(yù)測(cè)最終沉降量，并進(jìn)行對(duì)比分析以及優(yōu)化改進(jìn)。主要對(duì)常用的回歸曲線方法雙曲線法、指數(shù)法、三點(diǎn)法、Asaoka法進(jìn)行分析和優(yōu)化，總結(jié)分析各種方法在過渡段中的適用性，并結(jié)合二次自適應(yīng)最小二乘迭代的思想對(duì)其中的Asaoka法、三點(diǎn)法、指數(shù)法進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)，并進(jìn)行對(duì)比分析，為高速鐵路路基過渡段沉降預(yù)測(cè)分析提供依據(jù)。

1 曲線擬合法簡介及優(yōu)化改進(jìn)

1.1 雙曲線法

雙曲線方法的基本表達(dá)式為

(1)

式中：S0為初期沉降量(即t=1時(shí)的值);St為t時(shí)刻沉降量；t0為起點(diǎn)時(shí)間；α，β為實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)經(jīng)過曲線回歸求得的系數(shù)。轉(zhuǎn)換為

(2)

由實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)得(t-t0)/(St-S0)與(t-t0)，通過最小二乘擬合直線，求得直線的截距α和斜率β即可求得任意時(shí)間的沉降量St和最終沉降量S∞:

(3)

雙曲線法是一種純經(jīng)驗(yàn)的曲線配合方法，是假定下沉平均速率以雙曲線形式減少的經(jīng)驗(yàn)推導(dǎo)法，該方法適用于恒載條件下的沉降預(yù)測(cè)。

1.2 Asaoka法

1)Asaoka法基本表達(dá)式為

St=S∞-(S∞-S0)e-a1t.

(4)

式中：最終沉降量S∞和系數(shù)a1。Asaoka法基本思想：利用沉降觀測(cè)資料求出未知數(shù),預(yù)估最終沉降。以體積應(yīng)變表示的一維固結(jié)方程可近似地用一個(gè)以級(jí)數(shù)形式的微分方程表示沉降過程，在預(yù)測(cè)沉降量時(shí)，一般僅取一階方程，當(dāng)觀測(cè)時(shí)間等距時(shí)，對(duì)上式離散化，可得到相鄰時(shí)間段間的變化關(guān)系：

St=β0+β1St-1(t≥1).

(5)

當(dāng)t趨于無窮大時(shí)St≈St-1，聯(lián)立式(4)和式(5)兩式可得到本級(jí)荷載下的最終沉降S∞和系數(shù)a1為

(6)

2)方法優(yōu)化改進(jìn)。當(dāng)已知最終沉降量以后，對(duì)于系數(shù)a1的求解提出新的方法，通過對(duì)式(4)的變換，利用最小二乘思想求解系數(shù)a1，保證了系數(shù)的真實(shí)可靠性。

(7)

通過最小二乘進(jìn)行擬合得出a1和Δ，理論上Δ=0，由于擬合曲線不可能完全與實(shí)測(cè)值重合，所以會(huì)有誤差Δ，最小二乘法保證了誤差最小。優(yōu)化改進(jìn)后的計(jì)算系數(shù)的方法，減少了對(duì)時(shí)間間距Δt的依賴，而且提高了a1的擬合精度。理論上提高了擬合曲線的精度。

1.3 三點(diǎn)法

1)三點(diǎn)法的基本表達(dá)式為

St=S∞(1-Ae-Bt)+SdAe-Bt.

(8)

式中：Sd為瞬間沉降；S∞為最終沉降量；B為系數(shù)。A=8/π2。從實(shí)測(cè)沉降時(shí)間曲線上取3個(gè)點(diǎn)，要求：Δt=t3-t2=t2-t1(時(shí)間間隔盡可能的大)，S2-S1>S3-S2。將選的三點(diǎn)帶入式(8)聯(lián)立解得

(9)

該法計(jì)算簡單，但一般要求觀測(cè)資料持續(xù)時(shí)間較長，實(shí)測(cè)沉降曲線要在收斂階段才可以使用。缺點(diǎn)是選取的沉降點(diǎn)不同，計(jì)算結(jié)果迥異，使結(jié)果的準(zhǔn)確性大打折扣，長期觀測(cè)數(shù)據(jù)選點(diǎn)比較復(fù)雜。

2)方法優(yōu)化改進(jìn)。根據(jù)式(9)可以看出所有參數(shù)的計(jì)算都是根據(jù)所選三個(gè)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算的，由于直接對(duì)原式(8)進(jìn)行最小二乘計(jì)算過于復(fù)雜，求出參數(shù)B。

(10)

利用最小二乘進(jìn)行擬合求得Sd為瞬間沉降；S∞為最終沉降量。優(yōu)化后的求解方法使得最終沉降量和瞬間沉降量預(yù)測(cè)不僅由3點(diǎn)數(shù)據(jù)來決定，而是由所有觀測(cè)數(shù)據(jù)來預(yù)測(cè)，更具可靠性，理論上提高預(yù)測(cè)精度。

1.4 指數(shù)法

1)指數(shù)法的基本表達(dá)式為

(11)

式中：未知量為最終沉降量S∞和常數(shù)η。對(duì)上式進(jìn)行變換后得到

(12)

(13)

所有改進(jìn)的方法都是通過二次自適應(yīng)最小二乘迭代的思想進(jìn)行修正，通過二次重構(gòu)方法將以得到參數(shù)重新迭代到式中，并使用最小二乘方法再次求解未求得的各參數(shù)或最終沉降量，達(dá)到使擬合更加貼近真實(shí)情況，使最終預(yù)測(cè)值更加真實(shí)可靠的目的。

2 技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)

《客運(yùn)專線無砟軌道鐵路設(shè)計(jì)指南》及《新建時(shí)速200～250 km客運(yùn)專線鐵路設(shè)計(jì)暫行規(guī)定》中對(duì)我國軌道路基的工后沉降進(jìn)行了如下規(guī)定：當(dāng)設(shè)計(jì)時(shí)速為200

《客運(yùn)專線鐵路無碴軌道鋪設(shè)條件評(píng)估技術(shù)指南》規(guī)定：曲線回歸的相關(guān)系數(shù)不得<0.92，因此，本文以相關(guān)系數(shù)是否達(dá)到0.92作為評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)方法適用性的主要標(biāo)準(zhǔn)。文中相關(guān)系數(shù)采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的定義計(jì)算：

(14)

相關(guān)系數(shù)表示預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值走勢(shì)、趨勢(shì)是否相符，并不能夠估計(jì)誤差的大小，所以引進(jìn)誤差平方和進(jìn)行評(píng)定預(yù)測(cè)值擬合精度。

3 曲線擬合的應(yīng)用研究

3.1 工程實(shí)例

蘭新高鐵全線鋪設(shè)防開裂的雙向預(yù)應(yīng)力CRTSⅠ型雙塊式無砟軌道，設(shè)計(jì)時(shí)速250 km。過渡段重點(diǎn)變形監(jiān)測(cè)范圍為過渡地段前后10 m的路基，本文分析了路隧過渡段K219+547、K219+552、K219+557三個(gè)斷面18個(gè)月的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)；路橋過渡段K235+430、K235+420兩個(gè)斷面6個(gè)月的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)。以兩組不同過渡段的現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)曲線擬合方法以及優(yōu)化方法就適用性、可靠性及穩(wěn)定性進(jìn)行分析研究。

分兩處研究其主要目的是分析各種方法在不同構(gòu)筑物過渡段之間沉降預(yù)測(cè)的適用性，各種方法是否具有普遍性。

3.2 路隧過渡段數(shù)據(jù)分析研究

路隧過渡段選取隧道進(jìn)口前重點(diǎn)監(jiān)測(cè)的10 m范圍內(nèi)的三個(gè)斷面進(jìn)行研究分析。由于特殊原因，第5—10月份高鐵進(jìn)行全封閉調(diào)試，無法進(jìn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)，到第10月份才得已恢復(fù)監(jiān)測(cè)，所以中間有一段間斷期。

間斷期并沒有對(duì)數(shù)據(jù)擬合分析產(chǎn)生較大影響(見圖1)。在第10月、第11月份預(yù)測(cè)值偏差較大，整體分析并沒有受到影響。由于18個(gè)月的時(shí)間比較長，而且是按月為周期進(jìn)行監(jiān)測(cè)的，如果按天計(jì)算的話，計(jì)算量大、周期難以把握等因素可能使得擬合偏差較大，本文以月為計(jì)算單位進(jìn)行擬合。為了驗(yàn)證長期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)按月進(jìn)行擬合更方便、更可靠，進(jìn)行了數(shù)據(jù)對(duì)比分析。

從斷面K219+552可以看出(見表1)所有改進(jìn)的算法在不降低算法的相關(guān)系數(shù)的前提下，使得各自的誤差平方和大幅降低，使得預(yù)測(cè)曲線更接近真實(shí)情況，預(yù)測(cè)精度更高。而且可以看出改進(jìn)后的最終沉降量范圍為17.891～19.832 mm相差1.941 mm，而未改進(jìn)的方法最終沉降量范圍15.958～19.731 mm相差3.773 mm，改進(jìn)后的方法最終沉降量預(yù)測(cè)范圍比未改進(jìn)的預(yù)測(cè)范圍縮小了一倍。

從三個(gè)斷面的擬合預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)分析中可以看出(見表2—表4)，按天進(jìn)行曲線擬合相關(guān)系數(shù)有一些曲線不足0.92，而按月進(jìn)行預(yù)測(cè)其相關(guān)系數(shù)都大于0.92；按月進(jìn)行擬合的曲線預(yù)測(cè)值誤差平方和(除了指數(shù)法)都小于按天進(jìn)行預(yù)測(cè)的誤差平方和；按月進(jìn)行預(yù)測(cè)的最終沉降量范圍較小，波動(dòng)性小。雙曲線法、Asaoka法、三點(diǎn)法和指數(shù)法都適用于路隧過渡段的預(yù)測(cè)，按月進(jìn)行預(yù)測(cè)分析的數(shù)據(jù)明顯優(yōu)于按天進(jìn)行預(yù)測(cè)，而且改進(jìn)的擬合方法都優(yōu)于原擬合方法，在路隧過渡段的預(yù)測(cè)中改進(jìn)的指數(shù)法是最優(yōu)的。

圖1 斷面K219+552實(shí)測(cè)值與模型預(yù)測(cè)曲線

斷面K219+552雙曲線法預(yù)測(cè)值A(chǔ)saoka法預(yù)測(cè)值改進(jìn)的Asaoka法預(yù)測(cè)值三點(diǎn)法預(yù)測(cè)值改進(jìn)三點(diǎn)法預(yù)測(cè)值指數(shù)法預(yù)測(cè)值改進(jìn)指數(shù)法預(yù)測(cè)值相關(guān)系數(shù)0.949 0.952 0.959 0.963 0.963 0.964 0.964 誤差平方和/mm232.944 70.491 27.185 22.495 21.888 69.351 21.343 最終沉降量預(yù)測(cè)/mm19.731 17.891 17.891 19.525 18.994 15.958 19.832

表2 斷面K219+552曲線計(jì)算對(duì)比表

表3 斷面K219+547曲線計(jì)算對(duì)比表

表4 斷面K219+557曲線計(jì)算對(duì)比表

3.3 路橋過渡段數(shù)據(jù)分析研究

路橋過渡段數(shù)據(jù)監(jiān)測(cè)也是按月為周期進(jìn)行監(jiān)測(cè)，進(jìn)行了5個(gè)月的連續(xù)監(jiān)測(cè)與實(shí)測(cè)值進(jìn)行對(duì)比(見圖2)，對(duì)于短期數(shù)據(jù)進(jìn)行分析研究曲線擬合的適用性等其他條件。

圖2 斷面K235+430實(shí)測(cè)值與模型預(yù)測(cè)曲線

從斷面K235+430可以看出(見表5)改進(jìn)優(yōu)化方法對(duì)短期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)也有很好的適用性，相關(guān)系數(shù)都有所提高，誤差平方和基本上有所降低。改進(jìn)后的方法最終沉降量在4.571～5.229 mm相差0.658 mm，未改進(jìn)的方法最終沉降量預(yù)測(cè)3.310～5.229 mm相差1.919 mm，可見改進(jìn)后的方法對(duì)最終沉降量預(yù)測(cè)有明顯提高。

對(duì)于短期數(shù)據(jù)分析研究發(fā)現(xiàn)按天或是按月擬合數(shù)據(jù)，相關(guān)系數(shù)和誤差平方和相差并不大，只是在最終沉降量上，按月進(jìn)行預(yù)測(cè)其波動(dòng)性、范圍較小，更加具有指導(dǎo)意義。而且對(duì)于高速鐵路客運(yùn)專線沉降觀測(cè)數(shù)據(jù)而言，整體變形量較小，觀測(cè)數(shù)據(jù)難免出現(xiàn)起伏波動(dòng)的現(xiàn)象，導(dǎo)致應(yīng)用指數(shù)曲線法進(jìn)行沉降預(yù)測(cè)時(shí)，一些斷面無法進(jìn)行正常計(jì)算。因此，指數(shù)曲線法不能直接適應(yīng)高速鐵路客運(yùn)專線沉降量小、數(shù)據(jù)起伏波動(dòng)大的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)。

表5 路橋過渡段曲線擬合結(jié)果

4 結(jié) 論

高速鐵路過渡段線下、周圍環(huán)境情況復(fù)雜，其變形情況較普通路基變形有很大不同，研究傳統(tǒng)曲線擬合方法在路隧、路橋過渡段中的適用性對(duì)高速鐵路后期運(yùn)營維護(hù)有很重要的意義。通過采用自適應(yīng)二次最小二乘迭代的思想將Asaoka法、三點(diǎn)法、指數(shù)法進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)，提高了傳統(tǒng)曲線擬合的精度和預(yù)測(cè)最終沉降量的可靠性。通過實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的分析研究可以歸納幾點(diǎn)：

1)雙曲線法、三點(diǎn)法、Asaoka法、指數(shù)法在路隧、路橋過渡段具有較強(qiáng)的適用性和普遍性，都達(dá)到了相關(guān)系數(shù)R≥0.92的要求，而改進(jìn)的Asaoka 法 ，三點(diǎn)法和指數(shù)法通過數(shù)據(jù)驗(yàn)證則具有更強(qiáng)的適用性，只是數(shù)據(jù)的波動(dòng)會(huì)造成指數(shù)曲線法無法正常計(jì)算。

2)改進(jìn)的Asaoka法 ，三點(diǎn)法和指數(shù)法不論在長期還是在短期的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)擬合精度上都要優(yōu)于傳統(tǒng)曲線擬合的精度，對(duì)于最終沉降量的預(yù)測(cè)，優(yōu)化后的預(yù)測(cè)值其穩(wěn)定性、可靠性明顯高于傳統(tǒng)預(yù)測(cè)方法。

3)曲線擬合長期監(jiān)測(cè)數(shù)以月為計(jì)算單位預(yù)測(cè)精度遠(yuǎn)好于按天進(jìn)行預(yù)測(cè)，因?yàn)閷?shí)際監(jiān)測(cè)中按天進(jìn)行監(jiān)測(cè)周期波動(dòng)性較大，并不能完全做到整周期監(jiān)測(cè)。短期監(jiān)測(cè)按天按月進(jìn)行曲線擬合，擬合精度相差不大，只是在最終沉降量預(yù)測(cè)上按月進(jìn)行預(yù)測(cè)波動(dòng)性較小。本文建議曲線擬合按觀測(cè)周期進(jìn)行曲線擬合，按月或按周進(jìn)行擬合，短期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)可以按天進(jìn)行曲線擬合。

4)根據(jù)路隧、路橋各個(gè)斷面最終沉降量預(yù)測(cè)值表明，過渡段工后最終沉降量<50 mm，滿足規(guī)范要求，可以判斷路基工后沉降滿足無砟軌道鋪設(shè)條件。

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