成 樞，郭祥琳，馮東恒

(山東科技大學(xué) 測(cè)繪科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266590)

用于變形預(yù)測(cè)的方法很多，例如，時(shí)間序列、灰色系統(tǒng)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和卡爾曼濾波等。每種預(yù)測(cè)方法都有自己的特點(diǎn)[1-3]，如：時(shí)間序列分析法可以較好地?cái)M合出序列中的趨勢(shì)項(xiàng)；灰色模型能通過小樣本數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行規(guī)律的正確描述。但是，每一種單一方法也有自身的局限性[1,3-4]，如：時(shí)間序列模型難以適應(yīng)隨時(shí)間和環(huán)境而變化的影響因素，進(jìn)而影響預(yù)測(cè)的精度；灰色模型對(duì)起伏較大的數(shù)據(jù)擬合精度較低且隨著建模序列長(zhǎng)度的增加使模型不穩(wěn)定。在工程實(shí)踐中，通常選擇兩種及以上的模型進(jìn)行組合。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)組合模型進(jìn)行了深入的研究，格雷特等[5]把組合方法分為兩水平組合方法和通過“合奏”方式進(jìn)行的組合方法，兩種形式的組合方法都相應(yīng)的提高了預(yù)測(cè)的精度，但通過“合奏”方式并沒有真正避免單一模型所具有的局限性。通過對(duì)灰色系統(tǒng)和時(shí)間序列組合[6-7]，證明了灰色-時(shí)序模型較單一模型的預(yù)測(cè)精度有了很大提高；通過對(duì)灰色模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的組合[8]，證明了組合模型能兼顧二者的優(yōu)點(diǎn)。但這些與灰色模型組成的組合模型都未能避免灰色模型自身因預(yù)測(cè)長(zhǎng)度的增加而使預(yù)測(cè)精度逐漸降低的弊端。

本文針對(duì)灰色系統(tǒng)隨著預(yù)測(cè)的進(jìn)行，因序列過長(zhǎng)使模型不穩(wěn)定的問題，改進(jìn)了灰色模型，使得進(jìn)行建模的序列達(dá)到了一個(gè)動(dòng)態(tài)平衡的目的。通過灰色系統(tǒng)與時(shí)間序列進(jìn)行模型組合，對(duì)地鐵沉降作預(yù)測(cè)，并給出本模型的評(píng)價(jià)指標(biāo)。利用已有監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)建立組合模型，同時(shí)對(duì)組合模型的效果進(jìn)行檢驗(yàn)與分析。

1 GM-AR組合模型

1.1 灰色GM(1,1)模型

灰色系統(tǒng)[9]由鄧聚龍教授于1982年提出，根據(jù)灰色系統(tǒng)建立灰色預(yù)測(cè)模型，對(duì)數(shù)據(jù)下一階段的變化趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)。在灰色預(yù)測(cè)模型中，其核心內(nèi)容是GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的建立[10]。

(1)

式中：a為發(fā)展系數(shù)；b為灰色作用量。

隨著時(shí)間的推進(jìn)，地表沉降的因素會(huì)發(fā)生變化[11]，原有預(yù)測(cè)模型難以適應(yīng)新變化。由灰色系統(tǒng)的理論可知，倘若在這種情況下仍使用原預(yù)測(cè)模型，很難保證預(yù)測(cè)模型的精度和可靠性，為此可用改進(jìn)的GM(1,1)預(yù)測(cè)模型進(jìn)行地鐵沉降的預(yù)測(cè)。

1.2 改進(jìn)的GM(1,1)模型

在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行預(yù)測(cè)。

1.3 AR模型

常見的時(shí)間序列模型有三種[14]，即AR(自回歸)模型、MA(移動(dòng)平均)模型和ARMA(自回歸移動(dòng)平均)模型，其中AR模型和MA模型是ARMA模型的特殊形式。研究表明，高階的ARMA模型可由高階的AR模型來代替[15]，因此本文采用AR模型。AR模型在時(shí)刻t的響應(yīng)Xt僅與其以前時(shí)刻的響應(yīng)Xt-1，Xt-2，…，Xt-n有關(guān)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

Xt=φ1Xt-1+φ2Xt-2+…+φnXt-n+wt.

(2)

式中：ω(i=1,2,…,n)為模型自回歸系數(shù)；wt為白噪聲。

1.4 GM-AR組合預(yù)測(cè)模型

本文采用灰色GM(1,1)預(yù)測(cè)模型處理監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序列中的趨勢(shì)項(xiàng)，以此來反應(yīng)數(shù)據(jù)序列的發(fā)展動(dòng)向；采用AR預(yù)測(cè)模型處理監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序列中的波動(dòng)項(xiàng)即對(duì)殘差序列進(jìn)行預(yù)測(cè)；將兩者相加作為最終的預(yù)測(cè)結(jié)果。

1)趨勢(shì)項(xiàng)的確定。對(duì)灰色GM(1,1)模型求解可得

(3)

(4)

2)波動(dòng)項(xiàng)的確定。在采用AR模型對(duì)殘差序列進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，首先要對(duì)殘差序列的平穩(wěn)性進(jìn)行檢驗(yàn)，最常用的檢驗(yàn)法為逆序檢驗(yàn)法。

設(shè)殘差序列為e，即

e={e1,e2,…,eM}.

統(tǒng)計(jì)量Z為

(5)

若|Z|<1.96，說明殘差序列是平穩(wěn)的，否則殘差序列是非平穩(wěn)的，需對(duì)殘差序列進(jìn)行差分處理，直至殘差序列平穩(wěn)。

其次要為AR模型定階。本文采用AICC準(zhǔn)則對(duì)模型的階數(shù)進(jìn)行判定，即

(6)

由上式計(jì)算AR模型對(duì)應(yīng)的AICC值，最終取極小值所對(duì)應(yīng)的p值，此時(shí)p值即為AR模型的階數(shù)，進(jìn)而可得最優(yōu)模型。

通過對(duì)AR(p)模型的計(jì)算，可得波動(dòng)項(xiàng)的值為

(7)

確定趨勢(shì)項(xiàng)和波動(dòng)項(xiàng)之后，可根據(jù)式(4)和式(7)對(duì)地鐵站的沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)建立GM-AR組合預(yù)測(cè)模型，求得t時(shí)刻的預(yù)測(cè)值xt，即

(8)

2 精度評(píng)定

2.1 GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的精度評(píng)定

計(jì)算后驗(yàn)差比值c和小概率p為

若c和p符合精度要求則說明模型適合監(jiān)測(cè)點(diǎn)的預(yù)測(cè)，否則修正殘差，再一次建模，直至符合要求。其精度指標(biāo)如表1所示。

表1 灰色預(yù)測(cè)模型精度等級(jí)

2.2 GM-AR預(yù)測(cè)模型的精度評(píng)定

根據(jù)建立的組合預(yù)測(cè)模型，將得到的預(yù)測(cè)值與實(shí)際觀測(cè)值進(jìn)行對(duì)比，從而確定組合預(yù)測(cè)模型的精度。評(píng)價(jià)組合預(yù)測(cè)模型精度的指標(biāo)主要有殘差、相對(duì)誤差等。

(9)

(10)

通過式(9)和式(10)計(jì)算相應(yīng)精度指標(biāo)，即可對(duì)GM-AR組合模型的精度進(jìn)行評(píng)定，從而比較模型之間的精度。

3 實(shí)例分析與應(yīng)用

為驗(yàn)證各模型間的預(yù)測(cè)效果，以某城市地鐵建設(shè)中地鐵站的二等水準(zhǔn)精度的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)例驗(yàn)證。所選地鐵站為地下兩層島式車站，車站主體基坑采用地下連續(xù)墻維護(hù)結(jié)構(gòu)。車站一側(cè)為居民區(qū)；另一側(cè)地面為電力電纜，地下分布著城市供水管道、城市燃?xì)夤艿篮蛧?guó)家電纜等。

本文選取該地鐵站J1號(hào)45期的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行應(yīng)用與分析。通過對(duì)所選取觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，研究GM(1，1)模型、GM-AR模型和改進(jìn)后GM-AR模型的預(yù)測(cè)精度，討論何種模型對(duì)地鐵施工引起的沉降預(yù)測(cè)更加精確。

3.1 數(shù)據(jù)的預(yù)處理

受施工場(chǎng)地地質(zhì)、周圍環(huán)境、天氣等因素的影響，每期觀測(cè)數(shù)據(jù)的時(shí)間間隔不同，而預(yù)測(cè)模型一般要求觀測(cè)數(shù)據(jù)組成的時(shí)間序列是等間隔的。因此，首先對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。根據(jù)該地鐵站所處地質(zhì)條件，并結(jié)合相同地質(zhì)條件下地鐵站沉降觀測(cè)方案，本文采用線性內(nèi)插法將實(shí)際觀測(cè)到的高程值轉(zhuǎn)化為等間隔的高程觀測(cè)值數(shù)據(jù)，預(yù)處理后結(jié)果見表2。

3.2 模型的建立

1)對(duì)J1號(hào)選取前30期數(shù)據(jù)進(jìn)行GM(1,1)建模，驗(yàn)差評(píng)定精度?？傻肑1號(hào)點(diǎn)GM(1,1)模型參數(shù)：aJ1=2.794 2×10-6，bJ1=72.965 5，后驗(yàn)差cJ1=0.238 2<0.35，pJ1=1>0.95，根據(jù)表1可知該預(yù)測(cè)模型擬合精度能達(dá)到一級(jí)。

2)建立模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，可得殘差序列，對(duì)殘差序列建立AR模型。

對(duì)殘差序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，|ZJ1|=0.785<1.96，說明殘差序列是穩(wěn)定，對(duì)該序列建立AR模型；

利用AICC準(zhǔn)則對(duì)J1號(hào)點(diǎn)殘差值定階，由式(6)得J1號(hào)點(diǎn)殘差值階數(shù)p=8；

對(duì)AR模型求參，可得預(yù)測(cè)值的模型為

eJ1(t)=-0.818 4eJ1(t-1)-0.193 7eJ1(t-2)+

0.305 5eJ1(t-3)+0.006 5eJ1(t-4)+

0.153 8eJ1(t-5)-0.161 3eJ1(t-6)-

0.095 1eJ1(t-7)+0.156 3eJ1(t-8).

3.3 實(shí)驗(yàn)分析

分別采用三種方案對(duì)原始高程值進(jìn)行分析求得預(yù)測(cè)高程值：

方案一：由前30期數(shù)據(jù)建立GM(1,1)模型，進(jìn)而預(yù)測(cè)出后15期高程值；

方案二：用GM(1,1)模型預(yù)測(cè)出監(jiān)測(cè)點(diǎn)的大致沉降趨勢(shì)，用AR模型預(yù)測(cè)出殘差的變化趨勢(shì)，最終通過二者相加求得GM-AR模型的預(yù)測(cè)值；

方案三：用改進(jìn)后GM(1,1)模型預(yù)測(cè)出監(jiān)測(cè)點(diǎn)的大致沉降趨勢(shì)，即先預(yù)測(cè)出31～35期高程值，然后利用6～35期數(shù)據(jù)再次用GM(1,1)模型預(yù)測(cè)出36～40期數(shù)據(jù)，以此每預(yù)測(cè)5期數(shù)據(jù)更新一下預(yù)測(cè)模型，最終通過和AR模型預(yù)測(cè)出的殘差值相加求得改進(jìn)的GM-AR模型的預(yù)測(cè)值。

通過三種方案的實(shí)施，利用式(9)和式(10)可得J1號(hào)點(diǎn)各模型的殘差值和相對(duì)誤差。各模型殘差和相對(duì)誤差對(duì)比如表2所示；各模型預(yù)測(cè)結(jié)果與原始值對(duì)比如圖1所示。

表2 J1號(hào)點(diǎn)各模型預(yù)測(cè)結(jié)果數(shù)據(jù)對(duì)比表

圖1 各模型預(yù)測(cè)結(jié)果與原始值對(duì)比圖

由表2和圖1可知，GM(1,1)模型預(yù)測(cè)結(jié)果的相對(duì)誤差保持在0.22%～0.88%，說明該模型對(duì)地鐵沉降的預(yù)測(cè)符合精度要求，但其預(yù)測(cè)值總體要高于實(shí)測(cè)值，即該模型能預(yù)測(cè)出地鐵沉降的總體趨勢(shì)而不能預(yù)測(cè)出具有隨機(jī)性的波動(dòng)項(xiàng)；GM-AR組合模型較好地解決了GM(1,1)模型不能預(yù)測(cè)波動(dòng)項(xiàng)的問題，總體誤差較GM(1,1)模型提升30%～50%，但對(duì)較長(zhǎng)期數(shù)的預(yù)計(jì)會(huì)產(chǎn)生數(shù)據(jù)冗余，影響預(yù)測(cè)的精度；通過改進(jìn)的GM-AR組合模型，使之成為一個(gè)動(dòng)態(tài)的等維GM-AR組合模型，在GM-AR組合模型的基礎(chǔ)上使精度再度提升10%～30%，預(yù)測(cè)效果較好。

4 結(jié)束語

本文研究傳統(tǒng)GM(1,1)模型、GM-AR組合模型和改進(jìn)的GM-AR模型在地鐵沉降監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用，對(duì)地鐵站觀測(cè)站J1號(hào)前30期數(shù)據(jù)建立預(yù)測(cè)模型，并采用后15期數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，驗(yàn)證三種模型在地鐵沉降預(yù)測(cè)中的可行性。最終，GM(1,1)模型可以對(duì)地鐵沉降做整體預(yù)測(cè)，但無法對(duì)波動(dòng)性的殘差進(jìn)行修正；通過用AR模型對(duì)殘差值進(jìn)行修正預(yù)測(cè)，與GM(1,1)組合模型，使得預(yù)測(cè)值得到一定程度的改善；在此基礎(chǔ)上進(jìn)行組合模型的改進(jìn)，避免預(yù)測(cè)產(chǎn)生冗余數(shù)據(jù)，使得預(yù)測(cè)精度得到進(jìn)一步地提高。

[1] 吳雅,楊叔子,陶建華. 灰色預(yù)測(cè)與時(shí)序預(yù)測(cè)的探討[J]. 華南理工大學(xué)學(xué)報(bào),1988,16(3):27-33.

[2] 徐秀杰,黃張?jiān)?凌晨陽,等. 基于小波分析的灰色組合模型在變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用[J].工程勘察,2014(4):80-83.

[3] 潘國(guó)榮,谷川. 形變監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)組合預(yù)測(cè)[J]. 大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué),2006,26(4):27-29.

[4] 王強(qiáng),戴晟暉. 灰色理論與時(shí)序模型的發(fā)動(dòng)機(jī)狀態(tài)監(jiān)測(cè)分析[J]. 計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2009,45(8):246-248.

[5] [美]格雷特,李洪成. 時(shí)間序列預(yù)測(cè)實(shí)踐教程[M]. 北京：清華出版社,2012:38-40.

[6] 單銳,王淑花,高東蓮,等. 基于時(shí)間序列模型與灰色模型的組合預(yù)測(cè)模型的研究[J]. 燕山大學(xué)學(xué)報(bào),2012,36(1):79-83.

[7] 劉燕芳,陳啟華,丁林磊. 灰色組合模型在變形監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用[J]. 工程勘察,2013(1):58-60.

[8] 王忠桃. 灰色預(yù)測(cè)模型相關(guān)技術(shù)研究[D].西安：西南交通大學(xué),2008.

[9] 鄧聚龍. 灰理論基礎(chǔ)[M]. 武漢:華中科技大學(xué)出版社,2002.

[10] 鄧聚龍. 灰色系統(tǒng)基本方法:漢英對(duì)照[M].2版.武漢：華中科技大學(xué)出版社, 2005:35-36.

[11] CHOU W I,BOBET A. Predictions of ground deformations in shallow tunnels in clay[J]. Tunnelling and Underground Space Technology,2002,27(1):3-19.

[12] 袁景竣,鐘珞,江瓊,等. 新陳代謝GM(1,1)建模與應(yīng)用[J]. 武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)(信息與管理工程版)，2005(2):168-170

[13] 潘華志,衛(wèi)建東,夏志國(guó),等. 動(dòng)態(tài)灰色模型在變形預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J]. 測(cè)繪科學(xué),2007,27(4):121-124.

[14] 王振龍. 時(shí)間序列分析[M]. 北京:中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社,2000.

[15] 楊叔子,吳雅,軒建平. 時(shí)間序列分析的工程應(yīng)用[M].2版.武漢:華中科技大學(xué)出版社,2007:1-19.