王晶東， 陳廣俊， 湯翔， 李妍， 王旭

（1.長春理工大學(xué)，長春130022；2.中國電力工程顧問集團東北電力設(shè)計院有限公司，長春130022）

0 引言

全國大學(xué)生工程訓(xùn)練綜合能力競賽[1]已經(jīng)成功舉辦四屆，吸引全國眾多重點院校參與其中，有效地培養(yǎng)了大學(xué)生動手實踐、運用理論知識的能力。由于“8”字形小車[2]，對尺寸設(shè)計、機械加工的精度要求較高，為避免主要尺寸誤差對小車運行軌跡造成較大誤差，本文在利用解析法[3]建立小車轉(zhuǎn)向以及運行軌跡的數(shù)學(xué)模型[4]，并利用MATLAB對小車運行軌跡進行仿真[5]，在得出單周期小車最優(yōu)尺寸的前提下，為減小累積誤差，對小車進行多周期仿真，最終得出小車參數(shù)最優(yōu)值，為無碳小車的設(shè)計提供了有效的參考。

1 工作原理分析

圖1 小車三維模型

所設(shè)計的無碳小車具體結(jié)構(gòu)如圖1所示。小車整體機構(gòu)主要分為驅(qū)動部分和換向部分，且均由線軸驅(qū)動。當重錘下落，其重力勢能通過線軸轉(zhuǎn)換為小車各部分的驅(qū)動力。

換向部分利用不完全齒輪實現(xiàn)間歇運動，由與線軸固聯(lián)的不完全齒輪1驅(qū)動，其通過曲柄滑塊的簡單變形機構(gòu)撥動轉(zhuǎn)向架，實現(xiàn)前輪的間歇擺動。曲柄的有效半徑和撥桿在滑塊上的位置均可調(diào)，主要用于控制前輪的初始角度和擺角的大小。驅(qū)動部分主要通過一對增速較大的直齒輪實現(xiàn)，線軸與驅(qū)動大齒輪固聯(lián)。由于“8”字形小車轉(zhuǎn)彎半徑較小，兩個后輪應(yīng)該具有良好的差速性能。本設(shè)計中，通過后輪單輪驅(qū)動，另一后輪與后軸鉸鏈連接，可自由轉(zhuǎn)動，解決了差速問題[6-7]。

2 轉(zhuǎn)向機構(gòu)分析

2.1 驅(qū)動方程的建立

由于小車在運行過程中速度基本恒定，假設(shè)線軸的角速度ω1已知，且ω1=0.2π(rad/s），根據(jù)傳動比公式

式中：ω1為驅(qū)動大齒輪角速度，其與繞線軸角速度相等；ω2為驅(qū)動輪角速度；Z1為大驅(qū)動齒輪齒數(shù)，取130；Z2為小驅(qū)動齒輪齒數(shù)，取20。則可得驅(qū)動輪角速度ω2=0.13π(rad/s），則驅(qū)動輪線速度vq2=r2ω2=0.078π(m/s），其中r2為驅(qū)動輪半徑，取60 mm。

2.2 轉(zhuǎn)角方程的建立

由于小轉(zhuǎn)向機構(gòu)具有間歇性，即轉(zhuǎn)向部分運動的數(shù)學(xué)模型是基于時間的分段函數(shù)。分析不完全齒輪間歇傳動特點可知，轉(zhuǎn)向機構(gòu)的運動周期T0與線軸轉(zhuǎn)動周期相同，均為10 s。

由于齒輪嚙合線速度相等，可得ωb1rb1=ωb2rb2，式中：ωb1為不完全齒輪1的角速度，ωb1=ω1=0.2π(rad/s）；ωb2為不完全齒輪2角速度；rb1為不完全齒輪1的半徑，取40 mm；rb2為不完全齒輪2半徑，取10mm。則可得不完全齒輪2角速度ωb2=0.8π(rad/s）。

由不完全齒輪2的角速度可知，在連續(xù)工作時，轉(zhuǎn)向機構(gòu)的運行周期T1=2.5 s，則轉(zhuǎn)向機構(gòu)在間歇工作周期T0=10 s時，有7.5 s不動作，則可設(shè)定動作時間區(qū)間為

其中，k∈N，則當t∈T時，ωb2=0.8π(rad/s），其余時間，ωb2=0。

圖2 曲柄滑塊運動簡圖

可得曲柄的線速度v3=ωb2r=0.8πr，其中，t∈T，r為曲柄的有效長度，其值可通過優(yōu)化軌跡確定。

轉(zhuǎn)向部分曲柄滑塊的運動關(guān)系如圖2所示。

由圖2可得滑塊直線移動的速度

將v3、ωb2代入式（2），可得

圖3為滑塊通過撥頭撥動轉(zhuǎn)向架擺動的運動簡圖。

圖3 滑塊撥動轉(zhuǎn)向架運動簡圖

由圖3可得：

式中：φ為轉(zhuǎn)向架與車身夾角，0＜φ＜π；a為前輪立軸線與撥桿端部撥頭在垂直于車身方向投影的垂直距離，a=19 mm；b為前輪立軸線與撥桿端部撥頭在平行車身方向上投影的垂直距離。則可得

其中，b0為初始值，可通過優(yōu)化軌跡確定其值。

將a、b的參數(shù)值以及式（5）代入式（4），可得轉(zhuǎn)向架與車身的夾角

由于前輪與車身方向的夾角與轉(zhuǎn)向架與車身的夾角互余，則可得前輪與車身方向的夾角

考慮到前輪輪軸隨時間變化間歇擺動，故將θ寫成關(guān)于時間的分段函數(shù)

式中：ψ=b0+0.8πrcos（0.8πt）；k∈N。

根據(jù)式（6），利用MATLAB繪制出如圖4所示的前輪擺角變化曲線。

圖4 小車前輪擺角隨時間變化關(guān)系

由圖4可知，小車前輪每個周期內(nèi)包括2次換向，2次間歇停止擺動，符合實際情況，驗證了所建立方程正確。由圖4易知，前輪偏向于車身一側(cè)時，角度值為正，偏向于車身另一側(cè)時角度值則為負。

圖5 小車簡化模型

3 運行軌跡分析

將三輪小車模型簡化為二輪車以簡化小車的模型。設(shè)二輪小車某一時刻前輪的轉(zhuǎn)角為θ（t），其模型簡圖如圖5所示。

其中，A代表驅(qū)動輪轉(zhuǎn)軸軸心，B代表轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)軸軸心。在較小的時間段δ(t）內(nèi)，小車由AB移動到A′B′。若忽略AA′在豎直方向上的二階小量，即認為δ（t）時間后，A′仍在線段AB上[10-11]。

繪制的小車簡化模型運動軌跡如圖6所示。

小車由初始位置A0B0經(jīng)過3δ（t）移動到A3B3。在求小車運行軌跡方程時，忽略小車自身運動狀態(tài)，以小車前輪軸心B為小車質(zhì)點，則B點位置坐標代表小車位置。以B0點為原點，小車初始位置A0B0所在直線為x軸，建立直角坐標系。

圖6 簡化小車模型運動軌跡圖

圖6中，L為小車車身長度，取L=137 mm，即A0B0=A1B1=A2B2=A3B3=L=137 mm。R為驅(qū)動輪的線速度vq2與微小時間段δ（t）的乘積，即R=vq2δ（t），其中vq2=0.078π m/s。

仿真時，仿真時間設(shè)置為1s，步數(shù)設(shè)置為100，則取δ（t）=0.01 s，將參數(shù)代入，求出R=2.45 mm，即A0A1=A1A2=A2A3=R=2.45mm。

根據(jù)正弦定理，在圖6中，以三角形A1B0B1為參考對象，可得：

則B1點坐標：

同理在三角形A2B1B2中，可得

則B1B2與x軸正方向的夾角

可得B2點坐標：

同理可得B3點坐標：

由數(shù)學(xué)歸納法[12]得Bn點坐標：

4 軌跡仿真及參數(shù)優(yōu)化

根據(jù)上式，利用MATLAB中編寫小車運行軌跡程序[13]，并對其仿真。所編寫程序要實現(xiàn)參數(shù)人機交互[14]，即每次仿真之前，要鍵盤輸入曲柄的有效長度r和b的初始值b0，計算機便會繪制出對應(yīng)輸入?yún)?shù)的小車軌跡。

首先，對小車軌跡在一個周期10 s內(nèi)進行調(diào)整，取得合適參數(shù)，使小車軌跡盡可能接近“8”字形，然后根據(jù)所取參數(shù)，繼續(xù)優(yōu)化仿真，得到如圖7所示小車軌跡圖。

圖7 一個周期小車的運動軌跡

圖8 多周期小車運動軌跡

對圖7（b）進行分析知，當r=0.005 mm，b=0.013 mm時，小車在一個周期內(nèi)可形成一個完整封閉的“8”字形軌跡，而其它圖內(nèi)“8”字形軌跡都不完整，當一個周期結(jié)束時，小車無法返回起點位置。

通過對小車在單個周期內(nèi)軌跡的仿真分析，得到參數(shù)r、b的初步優(yōu)化值。也驗證了所建立小車軌跡模型的正確性。觀察圖7（b），可看出“8”字形軌跡中間交叉點偏向于一側(cè)，這正是轉(zhuǎn)向機構(gòu)不對稱性在軌跡上的反應(yīng)[15]。

為了觀察小車累積誤差大小，再次利用MATLAB對小車在20個運動周期內(nèi)的運行軌跡進行仿真，仿真結(jié)果如圖8所示。圖8（a）中，參數(shù)設(shè)置為一個周期的優(yōu)化值。易知，小車軌跡的重復(fù)性很差，所以要對初選參數(shù)值進一步優(yōu)化，使軌跡的重復(fù)性滿足要求[16]。

圖8（b）、圖8（c）中，“8”字形軌跡隨時間沿圓弧方向平移，圖8（d）、圖8（e）、圖8（f）中，軌跡隨時間繞圓形旋轉(zhuǎn)，軌跡的重復(fù)性較差。在圖8（g）中，小車軌跡重復(fù)性好，20個周期內(nèi)，小車軌跡位置基本不變，可以有效地避免小車碰樁，所以結(jié)合單周期、多周期小車軌跡優(yōu)化分析，參數(shù)的最優(yōu)值r=0.005 35 m，b=0.013 45 m。

5結(jié) 論

1）設(shè)計了一種軌跡近似于“8”字型的無碳小車，詳細介紹了其內(nèi)部結(jié)構(gòu)與工作原理，并利用解析法建立了小車轉(zhuǎn)向機構(gòu)以及運行軌跡的數(shù)學(xué)模型。

2）根據(jù)建立的小車軌跡模型，利用MATLAB對小車運行軌跡進行仿真，得到一個運行周期內(nèi)的小車參數(shù)最優(yōu)值。為了減小小車累積誤差，在單周期最優(yōu)值基礎(chǔ)上進行多周期仿真，分析仿真結(jié)果，得到小車軌跡最小誤差時的小車最優(yōu)參數(shù)值r=0.005 35 m，b=0.013 45 m。

[1]裴鑫智.開展大學(xué)生工程訓(xùn)練綜合能力競賽的意義—以無碳小車的改進和優(yōu)化為例[J].山西科技,2015,30(5):103-104,109.

[2]王立靖,隋紅艷,王麗.“無碳小車”機械結(jié)構(gòu)的創(chuàng)新性設(shè)計及仿真分析[J].機械工程師,2016(2):120-121.

[3]劉洋,姜吉光,謝醇.基于“軌跡分析法”的無碳小車微調(diào)機構(gòu)的創(chuàng)新設(shè)計[J].機械傳動,2015,39(12):83-87.

[4]卞玉帥,陳正強,晁興旺.無碳小車軌跡建模與參數(shù)優(yōu)化[J].科技視界,2013(33):171,173.

[5]武時會.8字形無碳小車的建模與Matlab仿真[J].科技風,2017(14):28-29.

[6]濮良貴,紀名剛.機械設(shè)計[M].7版.北京:高等教育出版社,2001:186-236.

[7]朱孝錄.機械傳動設(shè)計手冊[M].北京:電子工業(yè)出版社,2007.

[8]李杰,謝良喜,馬昭,等.無碳小車軌跡模擬及轉(zhuǎn)向機構(gòu)的優(yōu)化[J].機械工程師,2015(7):36-38.

[9]同濟大學(xué).高等數(shù)學(xué)[M].北京:北京高等教育出版社,2006.

[10]方興.智能車動力學(xué)模型參數(shù)辨識方法研究[D].上海:上海交通大學(xué),2009.

[11]曹斌,張海波,朱華炳.基于槽輪機構(gòu)的8字軌跡無碳小車設(shè)計[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2014(6):661-665.

[12]楊志安,李高峰,賈培強.基于數(shù)學(xué)歸納法的“工程力學(xué)”教學(xué)實踐[J].唐山學(xué)院學(xué)報,2010,23(3):1-3,6.

[13]黃忠霖.自動控制原理的MATLAB實現(xiàn)[M].北京:國防工業(yè)出版社,2007.

[14]楊俊哲.高速異步電機參數(shù)化設(shè)計[D].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué),2013.

[15]梁宗銓.鉸接轉(zhuǎn)向機構(gòu)的誤差對遙控的影響[J].礦山機械,1989(7):33-35.

[16]趙華成,劉武,潘聰華,等.重力勢能驅(qū)動的自行避障小車設(shè)計與制作[J].浙江水利水電學(xué)院學(xué)報,2016,28(6):73-76.（責任編輯 馬忠臣）