張秀龍 鮑倩倩 楊明珠 田雪松

1)(東北石油大學電子科學學院,大慶 163318)

2)(遼寧大學物理學院,沈陽 110036)

3)(黑龍江科技大學理學院,哈爾濱 150001)

1 引 言

量子糾纏是量子物理區(qū)別于經(jīng)典物理的最顯著特征之一.它不但可用于驗證可觀測量之間量子關(guān)聯(lián)的非局域性,而且在量子信息處理和量子通信等領(lǐng)域有極其重要的應用價值.自薛定諤等提出量子糾纏以來,量子糾纏就引起了人們極大的興趣.人們在理論上和實驗上對宏觀物體之間的量子糾纏都做了廣泛研究,比如在原子系綜之間的糾纏[1,2]以及超導量子比特之間的糾纏[3?6].近年來由于納米技術(shù)的進步,使腔光力學得到了快速發(fā)展[7?10].最近,腔光力學系統(tǒng)中的量子糾纏引起了越來越多的關(guān)注,因為腔光力學系統(tǒng)中的光輻射壓力可以使系統(tǒng)中的各個子系統(tǒng)之間產(chǎn)生量子糾纏.例如,在理論上對光力學系統(tǒng)中諧振子之間的糾纏[11?14]、不同光模之間的糾纏[15?26]以及光模與諧振子之間的糾纏[27?35]都做了廣泛研究,而在最近一個實驗中實現(xiàn)了諧振子與微波場之間的量子糾纏[36].

本文研究了左右兩個光腔與中間一個力學振子耦合的光力系統(tǒng)中輸出光場之間的量子糾纏的性質(zhì),此系統(tǒng)中,在參數(shù)放大相互作用和劈裂相互作用的共同作用下,使左右兩腔中的光模之間產(chǎn)生量子糾纏,從而使經(jīng)過濾波器后的輸出光場之間也會產(chǎn)生量子糾纏.研究發(fā)現(xiàn),力學振子的弛豫速率、濾波器的帶寬以及非相等耦合(左右兩腔的有效光力耦合常數(shù)G1與G2不相等)都對輸出光場之間的量子糾纏大小有著顯著的影響.這些研究結(jié)果有望應用于在光力系統(tǒng)中實現(xiàn)量子態(tài)轉(zhuǎn)換、量子隱形傳態(tài)等量子信息處理過程.

2 理論模型與主要公式

我們研究了一個雙腔光力學系統(tǒng),如圖1所示,左右兩個光學腔與中間一個力學振子相耦合;分別表示光學腔i和力學振子的湮滅算符(本征頻率);κi和γ分別表示光腔i和力學振子的弛豫速率.驅(qū)動場Hd從左右兩側(cè)射入并驅(qū)動腔模ωi,則系統(tǒng)的哈密頓量可寫為

其中g(shù)i為光學腔i與力學振子之間的耦合常數(shù).如果用紅邊帶激光(ωd1=ω1?ωm)和藍邊帶激光(ωd2=ω2+ωm)分別驅(qū)動腔1和腔2,通過標準的線性化方法,在相對系統(tǒng)自由哈密頓量做旋轉(zhuǎn)以及在旋波近似下,則系統(tǒng)哈密頓量變?yōu)?/p>

由系統(tǒng)哈密頓量(2)可以得出系統(tǒng)算符的海森伯-郎之萬運動方程:

其中分別為力學振子和光腔的輸入熱噪聲算符,其關(guān)聯(lián)函數(shù)分別為Ni分別為力學振子和光學腔的平均熱占有數(shù).本文主要研究在系統(tǒng)參數(shù)滿足κi?γ和的條件下,濾波器帶寬σ、力學振子弛豫速率γ以及非相等耦合G2G2時,系統(tǒng)總是穩(wěn)定的[21,24].

圖1 雙腔光力學系統(tǒng)輸出光場示意圖Fig.1. Sketch of the output light fields in a doublecavity optomechanical system.

本文采用對數(shù)負性[38,39]的方法來數(shù)值計算兩個輸出光場之間的量子糾纏大小.經(jīng)過濾波器之后的輸出光場可以表示為

為簡單起見,采用方形濾波函數(shù)來輸出光場,即

其中θ[ω]為階躍函數(shù),σ為輸出光場的帶寬,ω為輸出光場的中心頻率.則經(jīng)過此方形濾波函數(shù)的輸出光場可以表示為

其中,τi為光場從光腔ωi的輸出時間,本文研究從兩光學腔同時輸出的光場之間的糾纏,所以可取τ1=τ2=0.用對數(shù)負性來計算輸出光場之間的量子糾纏度,其定義為

其中

和

以及4×4關(guān)聯(lián)矩陣V的定義為?,其中,且.2×2矩陣B,B′和C與關(guān)聯(lián)矩陣V的關(guān)系為

3 輸出光場之間的糾纏性質(zhì)

根據(jù)對數(shù)負性(9)式來分別討論力學振子的弛豫速率γ、濾波器帶寬σ以及非相等耦合G1>G2對輸出光場之間糾纏的影響.

首先研究力學振子的弛豫速率γ對糾纏的影響,這里主要討論強耦合情況(G>κ),并取參數(shù)G1=G2=G=5×105,κ1=κ2=κ=105以及σ→0.帶寬σ→0,此時輸出光場為單色平面波,濾波器的中心頻率ω即為輸出光場的頻率.圖2給出了在力學振子弛豫速率γ不同取值下,即γ=1(紅色實線),γ=102(藍色虛線),γ=104(綠色點線)時的輸出光場之間糾纏En隨著濾波器中心頻率ω/κ的變化曲線.從圖2可知,在σ→0的條件下,當輸出光場的中心頻率與光學腔共振時(在旋轉(zhuǎn)參考系下,共振時ω=0),兩個輸出光場之間的糾纏最大,糾纏隨著中心頻率ω的增加不斷減小,并且有En(ω)=En(?ω).通過計算可知,在共振時糾纏,由此可以看出在輸出光場中心頻率與光學腔共振頻率附近,力學振子的弛豫速率γ對輸出光場之間的糾纏有著很大的影響,γ=1時,En(0)≈16.81,γ=102時,En(0)≈12.21,γ=104時,En(0)≈7.60.而當輸出光場的中心頻率遠離光學腔的共振頻率時,力學振子的弛豫速率γ對糾纏的影響逐漸減小.對于弱耦合情況(G<κ),糾纏曲線形狀與強耦合情況沒有太大區(qū)別,只是糾纏數(shù)值相對較小,圖2只給出了γ=102時的弱耦合糾纏曲線,見黑色實線,其他參數(shù)為:G1=G2=G=2×104,κ1=κ2=κ=105.

圖2 在σ→0的條件下,力學振子弛豫速率γ取不同值時,輸出光場之間糾纏En隨著輸出光場中心頻率ω/κ的變化曲線 強耦合條件下(G=5κ=5×105),γ=1(紅色實線),γ=102(藍色虛線),γ=104(綠色點線);弱耦合條件下(G=κ/5=2×104),γ=102(黑色實線)Fig.2. Under the condition of σ → 0,the output entanglement En is plotted with the change of center frequency of output fields ω/κ for different mechanical decay γ:for strong coupling(G=5κ =5×105),γ =1(red solid line),γ=102(blue dashed line),γ=104(green dotted line);for weak coupling(G=κ/5=2×104),γ=102(black solid line).

由以上討論可知,當σ→0時輸出光場糾纏的最大值出現(xiàn)在共振處,即ω=0.然而接下來的討論發(fā)現(xiàn),濾波器半寬σ對輸出光場糾纏產(chǎn)生重要的影響.當σ取有限值時,糾纏的最大值不再出現(xiàn)在ω=0的位置,相反在ω=0處,糾纏取局部最小值.在這里我們只討論強耦合情況(弱耦合糾纏圖形只是數(shù)值較小),并取參數(shù)γ=1,G=5κ=5×105(G1=G2=G,κ1=κ2=κ).通過計算可知,當輸出光場中心頻率ω滿足時,. 圖3給出了在濾波器帶寬σ取不同值時輸出光場糾纏En隨著輸出光場中心頻率ω/κ的變化曲線:σ=103(紅色虛線),σ=104(藍色點線),σ=105(綠色實線).由圖3可知,輸出光場之間的糾纏En最大值出現(xiàn)在絕對值大于σ/2的某一中心頻率處,而在范圍內(nèi)幾乎為零,這是因為γ/σ≈0.這說明濾波器帶寬σ對共振頻率附近的糾纏有很強的抑制作用.輸出糾纏的最大值也隨著σ的增加不斷降低.由公式可知,當半寬σ不為零時,可以通過提高力學振子的弛豫速率γ的方法來提高共振頻率(ω=0)附近的輸出光場糾纏大小.

圖3 在濾波器帶寬σ取不同值時,輸出光場之間糾纏En隨著輸出光場中心頻率ω/κ的變化曲線 σ=103(紅色虛線),σ=104(藍色點線),σ=105(綠色實線);其他參數(shù) γ=1,G1=G2=G=5×105,κ1=κ2=κ=105Fig.3.The output entanglement En is plotted with the change of center frequency of output fields ω/κ for different filter bandwidth σ: σ =103(red dashed line),σ=104(blue dotted line),σ=105(green solid line).Other parameters:γ=1,G1=G2=G=5×105,κ1= κ2=κ =105.

最后討論非相等耦合(G1>G2)對輸出光場糾纏的影響,這里分強耦合和弱耦合兩種情況討論,參數(shù)取γ=1,σ=103,κ=105.強耦合情況下(G1=G=5×105>κ),圖4給出了在G2/G1取不同值時輸出糾纏En隨著輸出光場中心頻率ω/κ的變化曲線:G2/G1=1(紅色虛線);G2/G1=0.95(藍色點線);G2/G1=0.90(黑色實線).當G2/G1=1時,由上面的討論可知,濾波器帶寬σ對ω=0附近的糾纏產(chǎn)生很強的抑制作用.但是如果采用非相等耦合,則可以有效抵制濾波器帶寬σ對輸出糾纏的抑制作用(見圖4中的藍色點線和黑色實線).由圖4可知,與相等耦合時(紅色虛線)在ω=0附近的輸出糾纏相比,非相等耦合時的輸出糾纏得到大幅提高,并在共振頻率處取局部最大值,而且非相等耦合時輸出光場糾纏會出現(xiàn)三個峰值.這是因為在強耦合條件下哈密頓量Hint的三個本征模發(fā)生劈裂[22].圖5給出了在弱耦合時(G1=G=2×104<κ),在G2/G1取不同值時,輸出糾纏En隨著輸出光場中心頻率ω/κ的變化曲線:G2/G1=1(紅色虛線);G2/G1=0.95(藍色點線);G2/G1=0.90(黑色實線).由圖5可見,在弱耦合時輸出光場糾纏值比強耦合時小很多,由于是弱耦合,所以不會出現(xiàn)本征模劈裂現(xiàn)象,而輸出糾纏卻出現(xiàn)兩個峰值,這是因為濾波器半寬σ對共振頻率ω=0附近的輸出糾纏En有很強的抑制作用,使本來不應該出現(xiàn)劈裂的現(xiàn)象出現(xiàn)了兩個峰.

圖4 在強耦合條件下,G2/G1取不同值時輸出糾纏En隨著輸出光場中心頻率ω/κ的變化曲線 G2/G1=1(紅色虛線),G2/G1=0.95(藍色點線),G2/G1=0.90(黑色實線);其他參數(shù)γ=1,σ=103,κ=105,G1=5κFig.4. With strong coupling,the output entanglement En is plotted with the change of center frequency of output fields ω/κ for different values of G2/G1:G2/G1=1(red dashed line),G2/G1=0.95(blue dotted line),G2/G1=0.90(black solid line).Other parameters:γ =1,σ =103,κ =105,G1=5κ.

圖5 在弱耦合條件下,G2/G1取不同值時輸出糾纏En隨著輸出光場中心頻率ω/κ的變化曲線 G2/G1=1(紅色虛線),G2/G1=0.95(藍色點線),G2/G1=0.90(黑色實線);其他參數(shù)γ=1,σ=103,κ=105,G1=κ/5Fig.5. With weak coupling,the output entanglement En is plotted with the change of center frequency of output fields ω/κ for different values of G2/G1:G2/G1=1(red dashed line),G2/G1=0.95(blue dotted line),G2/G1=0.90(black solid line).Other parameters:γ=1,σ=103,κ=105,G1=κ/5.

4 結(jié) 論

對雙腔光力學系統(tǒng)中輸出光場之間的糾纏性質(zhì)進行了分析.研究發(fā)現(xiàn),此系統(tǒng)中力學振子的弛豫速率γ和濾波器帶寬σ的大小以及非相等耦合G1>G2條件對輸出光場之間糾纏的大小都有著顯著的影響,特別是在相等耦合時(G1=G2)和輸出光場中心頻率在光學腔本征頻率附近時,濾波器帶寬σ對糾纏有很強的抑制作用;但是如果采用非相等耦合,則可以有效抵制濾波器帶寬的這種抑制作用;當系統(tǒng)在強耦合參數(shù)區(qū)域時,如果采用非相等耦合,則輸出光場糾纏會出現(xiàn)三個峰值,這是因為此時系統(tǒng)的哈密頓量Hint的三個本征模發(fā)生劈裂;而對于弱耦合糾纏會出現(xiàn)兩個峰值,這是因為濾波器半寬σ對共振頻率ω=0附近的輸出糾纏En有很強的抑制作用,使本來不應該出現(xiàn)劈裂的現(xiàn)象出現(xiàn)了兩個峰.這些研究結(jié)果有望應用于光力系統(tǒng)中量子態(tài)轉(zhuǎn)換、量子隱形傳態(tài)等量子信息處理過程.

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