張熙程 方龍杰 龐霖

(四川大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,成都 610065)

1 引 言

近年來(lái),通過(guò)相位調(diào)制技術(shù)控制光波在生物組織等強(qiáng)散射介質(zhì)中的傳輸逐漸引起了人們的研究興趣.目前的相位調(diào)制技術(shù)包含了逐個(gè)調(diào)節(jié)相位[1]、分區(qū)調(diào)節(jié)相位[2]、遺傳算法(GA)優(yōu)化相位[3]、測(cè)量傳輸矩陣[4,5]及本研究小組提出的四分法調(diào)制相位[6,7]等.其中,通過(guò)測(cè)量傳輸矩陣來(lái)控制光在散射介質(zhì)中的傳播是一種快速且有效的方法,是因?yàn)閭鬏斁仃嚹苊鞔_表征輸出光場(chǎng)與輸入光場(chǎng)的線性關(guān)系[8?15].

目前,測(cè)量散射介質(zhì)傳輸矩陣(TM)的實(shí)驗(yàn)都是在開(kāi)放系統(tǒng)中進(jìn)行的[16?29],實(shí)驗(yàn)結(jié)果必定存在誤差.原因在于:首先,給定入射光場(chǎng)后,實(shí)驗(yàn)收集的出射光場(chǎng)是有限的;其次,探測(cè)器本身與環(huán)境噪聲均對(duì)測(cè)量結(jié)果引入了誤差.因此,實(shí)驗(yàn)測(cè)得的傳輸矩陣不可能是介質(zhì)本身的本征傳輸矩陣,僅是介質(zhì)傳輸矩陣的近似.因而利用傳輸矩陣得到的輸出通道的效率,即透過(guò)散射介質(zhì)聚焦的焦點(diǎn)強(qiáng)度并不是最高的.目前,對(duì)散射介質(zhì)研究的焦點(diǎn)多集中于盡量增加輸入通道的數(shù)目來(lái)增加輸出通道的效率,尚未見(jiàn)從優(yōu)化傳輸矩陣(即搜索介質(zhì)的本征傳輸矩陣)的角度出發(fā)去增加輸出通道效率的報(bào)道.本文提出以實(shí)驗(yàn)測(cè)得的傳輸矩陣為基礎(chǔ)來(lái)尋找靠近介質(zhì)本征傳輸矩陣的一種方法,探討如何提高散射介質(zhì)的成像效果.本文通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的傳輸矩陣進(jìn)行反演操作,并通過(guò)奇異值分解獲得散射介質(zhì)TM的奇異值,然后對(duì)奇異值直接優(yōu)化處理獲取介質(zhì)的本征傳輸矩陣的近似.本方法以輸出通道的聚焦效率為目標(biāo)函數(shù),使用GA優(yōu)化傳輸矩陣的奇異值.

2 傳輸矩陣優(yōu)化原理

散射介質(zhì)實(shí)驗(yàn)傳輸矩陣優(yōu)化的原理與過(guò)程如圖1所示.首先,通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲得介質(zhì)的傳輸矩陣;其次,對(duì)介質(zhì)的傳輸矩陣進(jìn)行奇異值分解,獲得代表介質(zhì)傳輸矩陣的奇異值,并按照從大到小的順序排列;然后,以輸出通道的聚焦效率作為目標(biāo)函數(shù),對(duì)奇異值分布進(jìn)行優(yōu)化運(yùn)算,選擇出優(yōu)化的奇異值,利用矩陣求逆得到介質(zhì)傳輸矩陣的逆矩陣,在此實(shí)驗(yàn)條件下獲取散射介質(zhì)本征傳輸矩陣的近似;最后,利用得到的逆矩陣求出入射場(chǎng),加載到空間光調(diào)制器(SLM)上,得到更明銳的焦點(diǎn),驗(yàn)證介質(zhì)的傳輸矩陣優(yōu)化.

圖1 優(yōu)化實(shí)驗(yàn)所測(cè)傳輸矩陣的原理與過(guò)程Fig.1.Principle and process of optimizing the measured transmission matrix.

3 原理驗(yàn)證

傳輸矩陣表征了介質(zhì)的散射特性,輸入電場(chǎng)Ein與輸出電場(chǎng)Eout的線性關(guān)系用介質(zhì)的傳輸矩陣聯(lián)系:

其中m,n分別對(duì)應(yīng)輸入輸出通道數(shù),分別對(duì)應(yīng)m個(gè)元素的輸出場(chǎng)列向量與n個(gè)元素的輸入場(chǎng)列向量,tmn為傳輸矩陣的元素,T為介質(zhì)的傳輸矩陣.因此,可以通過(guò)測(cè)量對(duì)應(yīng)輸入光場(chǎng)的輸出分布求出確定實(shí)驗(yàn)條件下的傳輸矩陣.本實(shí)驗(yàn)中利用Hadamard矩陣和四個(gè)參考光干涉產(chǎn)生正交的輸入場(chǎng),測(cè)量輸出光場(chǎng)分布,并通過(guò)求解線性方程組獲取散射介質(zhì)的傳輸矩陣[12?14].實(shí)驗(yàn)中SLM有32×32=1024個(gè)獨(dú)立控制單元,輸出光強(qiáng)分布由電荷耦合器(CCD)來(lái)測(cè)量.通過(guò)求解線性方程組獲得散射介質(zhì)的傳輸矩陣.實(shí)驗(yàn)可以通過(guò)任意形式的輸入場(chǎng)進(jìn)行干涉實(shí)驗(yàn),測(cè)量輸出光場(chǎng)分布,再通過(guò)求解方程組獲取介質(zhì)的傳輸矩陣,但建立的方程組中,線性獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)不能少于求解所需獨(dú)立方程的個(gè)數(shù).另外可以用Hadamard矩陣作為輸入光場(chǎng)的方法,詳細(xì)內(nèi)容見(jiàn)參考文獻(xiàn)[30].

實(shí)驗(yàn)光路如圖2所示.使用波長(zhǎng)λ=632.8 nm的圓偏光He-Ne激光器(長(zhǎng)春瑞研光電科技有限公司)作為實(shí)驗(yàn)的光源.光路中所用的光學(xué)散射介質(zhì)S是由直徑為5μm的氧化鋁(Al2O3,浙江武義恒宇儀器有限公司)球形顆粒與PDMS(聚二甲基硅氧烷,美國(guó)道康寧)均勻混合并固化在顯微鏡載玻片上的均勻涂層,厚度約為100μm.來(lái)自激光器的圓偏振光通過(guò)豎直方向透振的偏振片P后被針孔濾波,接著由一個(gè)放大倍數(shù)為40×的顯微物鏡O1與凸透鏡L1(焦距100 mm),得到擴(kuò)束之后的線偏振平行光,使得其偏振方向與SLM的位相調(diào)制最敏感的方向一致.并照射到液晶SLM(Holoeye PLUTO-TELCO,分辨率為1920×1080,每個(gè)像素的大小為8μm×8μm)上.SLM產(chǎn)生的32×32=1024個(gè)調(diào)制輸入模式通過(guò)L2(焦距300 mm)與L3(焦距100 mm)這一4f系統(tǒng)縮束,然后由顯微物鏡O2(10×,NA=0.25)聚焦到散射樣品的一側(cè),最后通過(guò)顯微物鏡O3(20×,NA=0.40)收集出射面的散射光并成像到CCD(加拿大Pointgrey生產(chǎn),實(shí)驗(yàn)中所用模式為F7_Mono8_960×600_Mode1,每個(gè)像素的大小為5.86μm×5.86μm)接受窗.

圖2 實(shí)驗(yàn)光路圖 Laser是波長(zhǎng)為632.8 nm的圓偏光氦氖激光器;P是豎直方向透振的偏振片;O1,O2,O3為顯微物鏡,放大倍數(shù)分別為40×,10×,20×,數(shù)值孔徑NA分別為0.65,0.40,0.25;L1,L2,L3是焦距分別為100 mm,300 mm,100 mm的凸透鏡;M是平面鏡;BS是分光鏡;SLM是純相位調(diào)制的液晶SLM,分辨率為1920×1080,單個(gè)像素大小為8μm×8μm;CCD是分辨率為1920×1200@41 fps的圖像傳感器,像素大小為 5.86μm×5.86μm;CCD與SLM通過(guò)電腦(PC)實(shí)時(shí)控制;sample是PDMS與直徑約為5μm球形氧化鋁顆粒均勻混合并固化到載玻片上制作而成Fig.2.Schematic diagram of the experiment.A He-Ne laser is circularly polarized with a wavelength of 632.8 nm;P is a polarizer;O1,O2,and O3are microscopic objectives,and the magnifications are 40×,10×,and 20×,respectively;numerical aperture NA=0.65,0.40,and 0.25,respectively;L1,L2,and L3are lenses with focal lengths of 100 mm,300 mm,and 100 mm,respectively;M is a plane mirror;BS is a non-polarizing 50%beam splitter;SLM stands for a spatial light modulator,the resolution of SLM is 1920×1080 pixels;the size of a pixel is 8μm×8μm;the CCD is a detector with a resolution of 1920×1200;the sampling frequency is 41 fps,and the pixel size is 5.86μm×5.86μm;the CCD and the SLM are controlled by a personal computer(PC);the sample is PDMS and its diameter is about 5μm;the spherical alumina particles are uniformly mixed and cured on a glass slide.

實(shí)驗(yàn)中首先設(shè)定好目標(biāo)焦點(diǎn)的具體位置,然后以Hadamard矩陣作為正交輸入基加載到SLM上并隨即在CCD上獲得與輸入相對(duì)應(yīng)的輸出響應(yīng)(散斑圖案),此過(guò)程需要重復(fù)4096次.TM聚焦完成后,通過(guò)計(jì)算以獲得并存儲(chǔ)傳輸矩陣的振幅和相位信息.由于SLM是純相位調(diào)制光學(xué)元件,我們從獲得的傳輸矩陣中取出目標(biāo)焦點(diǎn)的相位信息重構(gòu)輸入相位,加載到SLM上便可以輸出TM聚焦獲得的目標(biāo)焦點(diǎn).此步的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示,其中圖3(a)為傳輸矩陣的相位分布RGB圖(共1024行、1024列),每一行對(duì)應(yīng)一種輸出模式的相位信息;圖3(b)為利用圖3(a)中的第671行的相位信息重構(gòu)輸入場(chǎng)獲得的相位掩?；叶葓D,對(duì)應(yīng)32×32=1024個(gè)輸入通道模式;圖3(c)是將圖3(b)的相位加載到SLM上后CCD輸出的聚焦結(jié)果,對(duì)應(yīng)傳輸矩陣第671行得到的輸出場(chǎng)分布.

理論上講,在獲得了系統(tǒng)的傳輸矩陣后,即可計(jì)算得到任何輸出場(chǎng)分布所需要的輸入場(chǎng).為了使輸出場(chǎng)滿足特殊要求,比如在指定位置聚焦、聚焦多個(gè)焦點(diǎn)等,我們對(duì)傳輸矩陣進(jìn)行反演后得到輸入場(chǎng)的相位分布.由(1)式,輸入場(chǎng)與輸出場(chǎng)通過(guò)傳輸矩陣相聯(lián)系,可以得到

其中T表示實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的實(shí)際傳輸矩陣,T?1表示對(duì)T進(jìn)行反演(求逆矩陣).將該反演的相位Ph(Ein)加載到SLM上,即可得到所要求的出射場(chǎng)分布,例如聚焦的出射場(chǎng)[0···0 1 0···0].然而,由于散射系統(tǒng)是一個(gè)開(kāi)放系統(tǒng),計(jì)算傳輸矩陣時(shí)并沒(méi)有測(cè)得所有出射信號(hào),因此,傳輸矩陣的逆矩陣并不存在(或非有限值).

圖3 TM聚焦的實(shí)驗(yàn)結(jié)果 (a)傳輸矩陣TM的相位信息;(b)用目標(biāo)焦點(diǎn)的相位信息重構(gòu)該焦點(diǎn)的輸入相位掩模;(c)將重構(gòu)的輸入相位掩模加載到SLM上,在CCD上獲得的TM聚焦結(jié)果Fig.3.Experimental results of focusing light by TM approach:(a)Phase mask of the transmission matrix;(b)phase mask of a focal point;(c)the optimized output intensity in the target plane.

為了避免這樣的問(wèn)題,數(shù)學(xué)上可通過(guò)奇異值分解的方法計(jì)算逆矩陣.首先,將需要求逆的目標(biāo)矩陣(如這里的傳輸矩陣T)進(jìn)行變換:

其中T為傳輸矩陣,U是一個(gè)正交矩陣,V也是一個(gè)正交矩陣(V′是V的轉(zhuǎn)置矩陣),奇異值矩陣D是對(duì)角矩陣(D=[λi]).T的逆矩陣與D的倒數(shù)的直接關(guān)系為

圖4 (a)直接反演所得輸入場(chǎng)的相位分布;(b)將(a)圖的相位分布加載到SLM上,獲得的輸出結(jié)果,并未獲得目標(biāo)焦點(diǎn),反而引入了無(wú)物理意義的誤差Fig.4.(a)The optimized phase mask of the direct inversion;(b)the output intensity distribution corresponding to the phase mask of Fig.(a),in which the target focus can’t be seen since many random errors.

其中U′是U的轉(zhuǎn)置矩陣.將方程(4)用于方程(2)中即可計(jì)算獲得產(chǎn)生任意輸出場(chǎng)的輸入場(chǎng)位相分布.例如,通過(guò)方程(2)和方程(4)計(jì)算得到.圖3(a)中縱坐標(biāo)671處對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)的輸入場(chǎng)相位分布,如圖4(a)所示.然而將其加入到實(shí)驗(yàn)裝置上的LSM后,在CCD相應(yīng)位置并沒(méi)有得到所期望的焦點(diǎn),如圖4(b).從圖4(b)可以看到,出射面沒(méi)有形成聚焦.

因此,方程(4)直接得到的矩陣并不代表介質(zhì)或系統(tǒng)的傳輸矩陣(或逆矩陣).顯然,直接進(jìn)行奇異值分解得到的奇異值分布也存在問(wèn)題,這是由于矩陣反演過(guò)程中極小奇異值的倒數(shù)變得異常大,以至于對(duì)噪聲非常敏感,如方程(5)所示.因此去掉這些極小的奇異值是必要的.

其中T?1表示濾波后的傳輸矩陣逆矩陣;D?1表示濾波后的奇異值逆矩陣,也是一個(gè)對(duì)角矩陣;N是保留的奇異值個(gè)數(shù).

傳輸矩陣T奇異值分解后,減小因變換中引入的誤差是優(yōu)化傳輸矩陣的第一步.首先,將獲得的傳輸矩陣進(jìn)行奇異值分解,求出奇異值λi(奇異值分解的結(jié)果是按照從大到小的順序排列的);然后,從最小的奇異值逐一去掉,并利用保留下來(lái)的所有奇異值按由大到小的順序重構(gòu)維度有所降低的奇異值矩陣D,并根據(jù)(5)式求出降低了變換誤差的實(shí)驗(yàn)傳輸矩陣的逆矩陣T?1;最后利用(2)式重構(gòu)輸入場(chǎng)并同時(shí)檢測(cè)對(duì)應(yīng)的反饋結(jié)果,以便獲得最佳的奇異值組合.實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示,其中圖5(a)為奇異值分布曲線,縱坐標(biāo)表示奇異值的大小,橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)奇異值重大到小排列的占位,排在第1位的是最大的奇異值2.2193×106,排在第1024位的是最小的奇異值29,奇異值的最大值與最小值之間有5個(gè)數(shù)量級(jí)的差異;圖5(b)為奇異值倒數(shù)的分布曲線,它的分布剛好與奇異值分布相反,是從小到達(dá)排列的,縱坐標(biāo)表奇異值倒數(shù)的大小,橫坐標(biāo)與圖5(a)意義相同;圖5(c)顯示了被保留(顯示為1)與被去掉(顯示為0)的奇異值的占位分布;圖5(d)為去掉奇異值后利用剩余的奇異值(主要是大奇異值)重構(gòu)輸入相位而得到的焦點(diǎn)光強(qiáng)變化曲線;通過(guò)光強(qiáng)曲線信息,可以找到獲得最大光強(qiáng)的那些奇異值的占位信息.圖5(d)的曲線分布表明,連續(xù)去掉極小的奇異值,利用剩下的奇異值重構(gòu)聚焦結(jié)果,焦點(diǎn)歸一化光強(qiáng)(由圖5(d)光強(qiáng)的RGB值大小表示)的變化趨勢(shì)為:增加到177,然后下降到144;在圖5(d)所示的曲線中某一點(diǎn)的意義為:從大到小排列1024個(gè)奇異值,當(dāng)給定某一橫坐標(biāo),例如800,則縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)CCD所探測(cè)到的光強(qiáng).此光強(qiáng)所代表的意義是:保留前800個(gè)大的奇異值,去掉其余的224個(gè)小的奇異值,然后利用這800個(gè)大的奇異值重構(gòu)輸入相位,并將此重構(gòu)的輸入相位加載到SLM上,隨即讓CCD直接探測(cè)目標(biāo)焦點(diǎn)區(qū)域的光強(qiáng).其中圖5(e)就是利用反饋光強(qiáng)最大值177所對(duì)應(yīng)的那些奇異值(前1003個(gè)大的奇異值),重構(gòu)入射場(chǎng)獲得的相位分布;圖5(f)是圖5(e)的相位加載到SLM上后輸出的焦點(diǎn),這與圖4(b)的聚焦結(jié)果有本質(zhì)差異.

上述結(jié)果表明,介質(zhì)或系統(tǒng)傳輸矩陣是可以利用輸出通道(焦點(diǎn))的增強(qiáng)效率為評(píng)價(jià)函數(shù)來(lái)進(jìn)行優(yōu)化的.以上我們只是逐一去掉奇異值,同時(shí)觀察焦點(diǎn)的增強(qiáng)效率來(lái)優(yōu)化傳輸矩陣,以輸出場(chǎng)最大為目標(biāo)來(lái)尋找優(yōu)化的傳輸矩陣.從光強(qiáng)曲線的變化趨勢(shì)分析,非極小奇異值應(yīng)該也同樣可進(jìn)行優(yōu)化來(lái)尋找本征傳輸矩陣的近似.

圖5 傳輸矩陣奇異值分解與減小變換誤差的實(shí)驗(yàn)結(jié)果 (a)菱形對(duì)應(yīng)的綠色曲線為奇異值λ的分布曲線;(b)叉形對(duì)應(yīng)的橙色曲線是奇異值倒數(shù)1/λ的分布曲線;(c)連續(xù)法篩選出的最優(yōu)奇異值組合,橫坐標(biāo)N表示奇異值從大到小排序所占的位置,1表示保留的奇異值,0表示去掉的奇異值;(d)逐一去掉較小的奇異值后,利用剩余的奇異值重構(gòu)輸入相位,并實(shí)時(shí)探測(cè)反饋的聚焦光強(qiáng),最后描繪出重構(gòu)結(jié)果的光強(qiáng)變化曲線;(e)利用最大光強(qiáng)反饋的奇異值信息(圖中是從大到小排列的前1003個(gè)奇異值),重構(gòu)入射場(chǎng)的相位灰度圖;(f)利用重構(gòu)的輸入相位獲得的焦點(diǎn)Fig.5.The experimental results of the singular value decomposition and the related results:(a)The curve of singular values(up rectangles);(b)the curve of the inverse values of the singular values;(c)the curve of reduced singular values,in which 1 represents the reserved singular values and 0 represents the replaced singular values;(d)the intensity curve with different singular values;(e)the optimized phase distribution;(f)the optimized intensity distribution in the CCD plane.

在上述實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,我們選擇GA來(lái)進(jìn)行第二階段優(yōu)化,即全局優(yōu)化奇異值.前面的實(shí)驗(yàn)去除奇異值的數(shù)值誤差后,獲得了從大到小的連續(xù)1003個(gè)奇異值,并在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行GA優(yōu)化.GA的流程圖與相關(guān)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6所示,其中圖6(a)為GA流程圖.實(shí)驗(yàn)中,首先產(chǎn)生120個(gè)初始種群(由0和1組成的1024個(gè)元素的篩選向量),優(yōu)化過(guò)程中由篩選向量對(duì)應(yīng)位置的元素(0或1)去乘以奇異值組合中對(duì)應(yīng)位置的奇異值,與0位置對(duì)應(yīng)相乘的奇異值將被去掉,而與1對(duì)應(yīng)位置相乘的奇異值將被保留,并以聚焦效率為GA的適應(yīng)度函數(shù)計(jì)算所有個(gè)體的適應(yīng)度,然后按照適應(yīng)度函數(shù)值從大到小進(jìn)行排序并判斷是否達(dá)到最優(yōu)奇異值組合.是,則終止優(yōu)化并輸出最優(yōu)個(gè)體;否,則選出這一代最優(yōu)的兩個(gè)個(gè)體作為親代,然后進(jìn)行單點(diǎn)交叉親代個(gè)體的部分編碼,其余部分編碼以大于等于0.6的變異率產(chǎn)生新的編碼,最后產(chǎn)生新的更優(yōu)子代新種群.然后再計(jì)算新種群中每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值、排序并判斷是否達(dá)到最優(yōu).是,則終止GA并輸出最優(yōu)解;否,就再次進(jìn)入下一交叉變異循環(huán),直到獲得最優(yōu)的奇異值組合.經(jīng)過(guò)GA全局篩選獲得最優(yōu)奇異值組合后,利用獲得的最優(yōu)奇異值組合重構(gòu)輸入相位分布,將此相位分布加載到SLM上以獲得優(yōu)化的聚焦效果.

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6所示.介質(zhì)傳輸矩陣的奇異值分布曲線與圖5(a)相同,此處不再贅述;圖6(b)顯示了GA選擇優(yōu)化后,被保留(顯示為1)與被去掉(顯示為0)的奇異值的占位分布,經(jīng)過(guò)GA優(yōu)化選擇奇異值后,從大到小去掉了第83個(gè)、第179個(gè)、第678個(gè)、第932個(gè)、第1004個(gè)以及1020—1024最后5個(gè),總共去掉了大小都有的10個(gè)奇異值;圖6(c)是優(yōu)化過(guò)程中,歸一化光強(qiáng)的增強(qiáng)曲線,遺傳了2021代后終止了優(yōu)化,輸出的最優(yōu)個(gè)體為圖6(b)中保留的奇異值;圖6(d)是利用GA選出的最優(yōu)奇異值組合,重構(gòu)輸入場(chǎng)獲得的相位灰度圖;圖6(e)是將圖6(d)中的相位加載到SLM上后輸出的最終聚焦結(jié)果,從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)看,比去掉極小的奇異值尾數(shù)所得的焦點(diǎn)光強(qiáng)又進(jìn)一步增強(qiáng).

圖6 GA全局優(yōu)化奇異值的實(shí)驗(yàn)結(jié)果 (a)GA流程圖;(b)GA全局篩選出的最優(yōu)奇異值組合,1024個(gè)奇異值從大到小依次排列,1對(duì)應(yīng)的位置表示被保留的奇異值,0對(duì)應(yīng)的位置表示被去掉的奇異值,最終去掉了第83,179,678,932,1004,1020—1024這10個(gè)奇異值;(c)GA優(yōu)化選擇奇異值的過(guò)程中,目標(biāo)焦點(diǎn)歸一化光強(qiáng)的增強(qiáng)曲線;(d)利用最優(yōu)奇異值組合重構(gòu)輸入場(chǎng)所得的相位灰度圖;(e)利用重構(gòu)的輸入相位獲得的最終焦點(diǎn)Fig.6.The experimental results of the genetic algorithm:(a)The flow diagram of the genetic algorithm;(b)the optimized set of singular values selected by GA approach,in which the discarded singular values are 83,179,678,923,1004,1020 to 1024;(c)the intensity curve during the GA optimization process;(d)the phase mask of the optimized phase distribution;(e)the optimized intensity pattern.

4 結(jié)果對(duì)比

至此,我們得到同一介質(zhì)或系統(tǒng)的三種傳輸矩陣:實(shí)驗(yàn)檢測(cè)獲得的傳輸矩陣(簡(jiǎn)稱為TM)、奇異值分解并去極小尾數(shù)后獲得的一級(jí)近似本征傳輸矩陣(簡(jiǎn)稱為WS_TM)及奇異值分解結(jié)合GA進(jìn)行的全局優(yōu)化獲得的二級(jí)近似本征傳輸矩陣(GA_TM).本節(jié)通過(guò)以上傳輸矩陣對(duì)輸出場(chǎng)的貢獻(xiàn)來(lái)對(duì)進(jìn)行對(duì)比,展示我們提出的傳輸矩陣優(yōu)化的有效性.

由所得TM,WS_TM及GA_TM,經(jīng)方程(2)求得在CCD特定位置形成焦點(diǎn)的輸入相位分布,加載在SLM后即可得到如圖7所示的結(jié)果.圖7(a),(d),(g)分別對(duì)應(yīng)TM,WS_TM與GA_TM的聚焦結(jié)果,歸一化最大光強(qiáng)Imax對(duì)應(yīng)的RGB值分別為129,177與192,WS_TM與GA_TM的背景噪聲明顯低于TM的背景噪聲,信噪比相對(duì)較高;而圖7(d),(g)間的背景噪聲大小、信噪比的高低肉眼不能直接分辨,計(jì)算結(jié)果列于表1.圖7(b),(c),(e),(f),(h)與(i)的灰度值大小對(duì)應(yīng)歸一化后的相對(duì)光強(qiáng),0為純黑色(相對(duì)光強(qiáng)為零),255為純白色(相對(duì)光強(qiáng)最大).圖7(b),(e),(h)分別對(duì)應(yīng)圖7(a),(d),(g)的焦點(diǎn)灰度圖,紅色小方框表示目標(biāo)焦點(diǎn)的聚焦范圍,對(duì)應(yīng)CCD上焦點(diǎn)的位置和大小(5×5個(gè)像素);而圖7(c),(f),(i)分別對(duì)應(yīng)圖7(a),(d),(g)去掉焦點(diǎn)后的背景灰度圖,橙色小方框表示去掉焦點(diǎn)的區(qū)域,并且填充為無(wú)背景噪聲貢獻(xiàn)的0值(純黑色).實(shí)驗(yàn)中,由于聚焦的散射光不可能完全被限制在CCD上所設(shè)置的目標(biāo)范圍,而是在該區(qū)域附近一個(gè)較小的范圍內(nèi).因此背景圖片中去焦點(diǎn)的橙色小方框比焦點(diǎn)設(shè)定像素5×5要大些,以便達(dá)到盡可能多地去除焦點(diǎn)光強(qiáng)同時(shí)又保留了真實(shí)背景的效果.數(shù)據(jù)結(jié)果見(jiàn)表1,其中第一列為獲得焦點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)方式;第二列為焦點(diǎn)歸一化光強(qiáng)的最大值;第三列為焦點(diǎn)的信噪比.

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以計(jì)算GA優(yōu)化與去尾數(shù)消數(shù)值誤差(WS)的聚焦效率η.定義聚焦效率為:最大光強(qiáng)差I(lǐng)GA/WS-ITM與傳輸矩陣聚焦的最大光強(qiáng)ITM之比.

計(jì)算結(jié)果表明:GA優(yōu)化與去尾數(shù)WS的聚焦效率分別比TM聚焦效率高ηGA=48.8%,ηWS=33.3%.

表1 三種方法聚焦的歸一化最大光強(qiáng)與信噪比Table 1.Normalized intensity and signal-to-noise ratio for three approaches.

圖7 TM聚焦、去尾數(shù)減小變化誤差(WS)以及GA優(yōu)化的實(shí)驗(yàn)結(jié)果 (a),(d),(g)分別為TM,WS和GA聚焦的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,歸一化最大光強(qiáng)的RGB值分別為129,177和192;(b),(e),(h)分別為TM,WS和GA聚焦的灰度圖,紅色小框?qū)?yīng)聚焦區(qū)域,大小為5×5像素;(c),(f),(i)分別為TM,WS和GA聚焦的背景,橙色方框填充為純黑色以便去除焦點(diǎn),大小為20×20像素Fig.7.The experimental results by TM,WS,and GA approaches:(a),(d),(g)The color intensity distribution in the output plane by TM,WS and GA approaches,respectively;(b),(e),(h)the greyscale intensity distribution in the output plane by TM approach,WS and GA approach,respectively;(c),(f),(i)the background noise of the results,in which the rectangles represent the discarded focus.

下面計(jì)算信噪比.定義焦點(diǎn)對(duì)背景的歸一化平均光強(qiáng)之比為信噪比SNR,即

其中分別表示焦點(diǎn)、背景的歸一化平均光強(qiáng).計(jì)算表明GA優(yōu)化的信噪比最高,TM聚焦的信噪比最低,SNR依次為10.29,9.73,7.54,GA優(yōu)化與直接去尾數(shù)WS分別將信噪比提高了36.5%和29.1%.

5 討 論

在消除物理上的奇異現(xiàn)象和降低傳輸矩陣反演引起的奇異現(xiàn)象時(shí),我們從數(shù)學(xué)上將產(chǎn)生奇異現(xiàn)象的少數(shù)奇異值直接設(shè)置為零.這樣處理相當(dāng)于降低了傳輸矩陣的維度,同時(shí)也向傳輸矩陣中引入了誤差.對(duì)奇異值優(yōu)化而言,直接去奇異值極小尾數(shù)的一階優(yōu)化與GA全局選擇的二階優(yōu)化都能增強(qiáng)焦點(diǎn)的光強(qiáng)并提高信噪比.另外需要說(shuō)明的是,雖然GA是全局優(yōu)化模式,但是當(dāng)陷入局部最優(yōu)模式后,甚至達(dá)不到直接去尾數(shù)的聚焦效果.這樣的實(shí)驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)圖8與表2.圖8(a)—(c)是裝置設(shè)置與優(yōu)化參數(shù)固定的情況下獲得的一組實(shí)驗(yàn)結(jié)果,分別對(duì)應(yīng)TM,WS和GA聚焦,本組實(shí)驗(yàn)中WS和GA聚焦都增強(qiáng)了聚焦效率和信噪比,但是GA卻不如WS聚焦結(jié)果,這是GA陷入局域小的緣故;圖8(d)—(f)是改變了激光光強(qiáng)、移動(dòng)了介質(zhì)的輻照位置以及另外的優(yōu)化參數(shù)等條件的情況下獲得的另一組實(shí)驗(yàn)結(jié)果,可以看出,這一組實(shí)驗(yàn)中TM,WS和GA聚焦三種方式的效果都極差,雖然能看見(jiàn)焦點(diǎn),但聚焦效率與信噪比都很差.根源在于:最初實(shí)驗(yàn)獲得的傳輸矩陣的有效信息太少、噪聲信息太多,加上變換引入的誤差使優(yōu)化的效果顯著下降,甚至無(wú)效果或更差.從理論上分析,因去掉了部分奇異值,丟掉了傳輸矩陣的部分信息,GA優(yōu)化奇異值與直接去奇異值尾數(shù)都不可能達(dá)到本征傳輸矩陣的結(jié)果,只能是更進(jìn)一步地接近它.

圖8 GA優(yōu)化較WS聚焦結(jié)果差和無(wú)效優(yōu)化的實(shí)驗(yàn)結(jié)果 (a),(b),(c)為裝置及優(yōu)化參數(shù)固定所得的結(jié)果 (a)TM優(yōu)化結(jié)果,(b)直接去尾數(shù)(WS)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,(c)GA聚焦結(jié)果,這組實(shí)驗(yàn)中去TM奇異值尾數(shù)(WS)較GA優(yōu)化好,GA優(yōu)化陷入局域小;(d),(e),(f)降低激光光強(qiáng)與優(yōu)化參數(shù)設(shè)置為一組值所得的結(jié)果,(d)GA優(yōu)化結(jié)果,(e)直接去尾數(shù)(WS)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,(f)TM聚焦結(jié)果,這組實(shí)驗(yàn)沒(méi)有優(yōu)化效果,有些GA與WS的實(shí)驗(yàn)結(jié)果甚至還不如TM聚焦Fig.8.Comparisons of without converging in the optimization:(a),(b),(c)Correspond one of the experiment,in which GA optimization does not converge,(a)the field distribution of the focal point after the TM evaluation,(b)the focal point after WS optimization,(c)the focus after GA optimization without converging;the focus of WS is better than that after GA in this experiments,meaning that the optimization was terminated at the local extra in the GA processing;(d),(e),(f)correspond the case in which the illumination power was reduced,(d)the field distribution at the focal point with the optimized phase pattern after TM evaluation,(e)the focal point after WS optimization,(f)the focal point after GA optimization.

本實(shí)驗(yàn)的光路簡(jiǎn)單,操作方便,實(shí)驗(yàn)結(jié)果主要受儀器調(diào)節(jié)、優(yōu)化參數(shù)設(shè)置和環(huán)境變化(如空氣流動(dòng),溫度變化)等因素的影響;另外,介質(zhì)的移動(dòng)、激光光強(qiáng)的衰減、噪聲水平的變化等因素也可能對(duì)實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生不可預(yù)測(cè)的結(jié)果.實(shí)驗(yàn)中,入射場(chǎng)的調(diào)制模式若低于16×16=256個(gè)模式,則無(wú)法得到聚焦效果,因?yàn)閷?shí)驗(yàn)測(cè)得的傳輸矩陣僅包含了介質(zhì)本征傳輸矩陣較少的信息,使所測(cè)結(jié)果的誤差信息遠(yuǎn)大于有效信息,分解所得的奇異值就很難表示出傳輸矩陣的有效信息,最后導(dǎo)致嚴(yán)重的物理奇異現(xiàn)象.由于SLM調(diào)制入射場(chǎng)的模式數(shù)量將反映散射介質(zhì)傳輸矩陣的精細(xì)程度,進(jìn)而影響聚焦效果,理論上應(yīng)該是調(diào)制的輸入模式越多,實(shí)驗(yàn)測(cè)得的TM越接近介質(zhì)的本征傳輸矩陣.若入射場(chǎng)的調(diào)制模式太多,如128×128或者更高,聚焦優(yōu)化完成實(shí)驗(yàn)的時(shí)間太長(zhǎng),對(duì)于靜態(tài)介質(zhì),這樣的時(shí)間可以接受.但是對(duì)于動(dòng)態(tài)介質(zhì),例如生物介質(zhì),其靜態(tài)時(shí)間在毫秒量級(jí)以下,可采用數(shù)字微鏡(digital micromirror)來(lái)實(shí)現(xiàn)[26,27].

對(duì)傳輸矩陣進(jìn)行奇異值分解獲得的奇異值是從大到小排列的,末尾那些極小的奇異值對(duì)輸入場(chǎng)信息的傳輸貢獻(xiàn)卻非常有限,反演(求逆)后,這些奇異值的倒數(shù)將會(huì)變得異常的大,引入的誤差使實(shí)驗(yàn)出現(xiàn)異常的聚焦結(jié)果.從連續(xù)去尾數(shù)的光強(qiáng)曲線分析發(fā)現(xiàn):去掉相鄰的兩個(gè)尾數(shù)時(shí),焦點(diǎn)光強(qiáng)有增有減,也有不變.這表明連續(xù)去掉的極小奇異值并不是一個(gè)最好的方法,而通過(guò)全局優(yōu)化選擇則可以獲得更好的效果.需要強(qiáng)調(diào)的是,除了通過(guò)GA全局優(yōu)化選擇外,還可以通過(guò)其他全局優(yōu)化的方法進(jìn)行優(yōu)化,如模擬退火、模式搜索算法等.

本文在進(jìn)行GA優(yōu)化的過(guò)程中,直接對(duì)所有的奇異值進(jìn)行GA選擇優(yōu)化極易陷入局域最優(yōu)而終止優(yōu)化過(guò)程.為了保證收斂于全局最優(yōu),在GA優(yōu)化開(kāi)始前最好先去掉幾個(gè)極小的奇異值尾數(shù).但是去掉太多又失去了很多傳輸矩陣的有效信息,無(wú)法得到精確的優(yōu)化位相分布.另外,在GA產(chǎn)生新個(gè)體時(shí),去掉奇異值的概率如果太大,優(yōu)化結(jié)果去掉的奇異值也越多,所測(cè)傳輸矩陣保留的有效信息就越少,GA聚焦的結(jié)果就越差.

6 結(jié) 論

到目前為止,有關(guān)TM的研究,通常是傳輸矩陣的實(shí)驗(yàn)檢測(cè)、利用傳輸矩陣聚焦和成像等.由于環(huán)境變化、儀器探測(cè)等影響,實(shí)驗(yàn)測(cè)得的TM并非介質(zhì)的本征傳輸矩陣.我們提出在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上測(cè)得的傳輸矩陣可進(jìn)一步優(yōu)化.本文在傳輸矩陣的理論背景下,以實(shí)驗(yàn)測(cè)得的TM為基礎(chǔ),利用所測(cè)TM的奇異值的可能誤差大小進(jìn)行TM的一階優(yōu)化;在去掉少數(shù)對(duì)噪聲敏感的極小奇異值后,再通過(guò)GA對(duì)TM進(jìn)行二階全局優(yōu)化,將光在介質(zhì)中的傳輸效率和信噪比分別提高了48.8%和36.5%,能使實(shí)驗(yàn)所測(cè)傳輸矩陣的光學(xué)性質(zhì)更靠近散射介質(zhì)的本征傳輸矩陣.本文提出的方法可以用于通過(guò)散射介質(zhì)聚焦或者成像的光場(chǎng)傳輸控制中,例如生物組織成像、腦成像及診斷等.

[1]Vellekoop I M,Mosk A P 2007Opt.Lett.32 2309

[2]Vellekoop I M,Mosk A P 2008Opt.Commun.281 3071

[3]Conkey D B,Brown A N,Caravaca-Aguirre A M,Piestun R 2012Opt.Express20 4840

[4]Booth M J,Neil M A,Juskaitis R,Wilson T 2002Proc.NAS USA99 5788

[5]Vellekoop I M 2008Ph.D.Dissertation(Enschede:Univeristy of Twente)(in Netherlands)

[6]Fang L,Zhang X,Zuo H,Pang L 2018Opt.Commun.407 301

[7]Fang L,Zhang C,Zuo H,Zhu J,Pang L 2017Chin.Opt.Lett.15 102901

[8]Vellekoop I M,Aegerter C M 2010Opt.Lett.35 1245

[9]Vellekoop I M,Aegerter C M 2010Proc.SPIE7554 755430

[10]Vellekoop I M,Cui M,Yang C 2012Appl.Phys.Lett.101 2309

[11]Vellekoop I M,Lagendijk A,Mosk A P 2010Nat.Photon.4 320

[12]Vellekoop I M,Putten E G V,Lagendijk A,Mosk A P 2008Opt.Express16 67

[13]Popof fS,Lerosey G,Fink M,Boccara A C,Gigan S 2010Nat.Commun.1 81

[14]Popof fS M,Lerosey G,Carminati R,Fink M,Boccara A C,Gigan S 2010Phys.Rev.Lett.104 100601

[15]Popof fS M,Lerosey G,Fink M,Boccara A C,Gigan S 2011New J.Phys.3 1

[16]Chaigne T,Katz O,Boccara A C,Fink M,Bossy E,Gigan S 2013Nat.Photon.8 58

[17]Dai F 1992IEEE Trans.Microw.Theor.Tech.40 1538

[18]de Aguiar H B,Gigan S,Brasselet S 2016Phys.Rev.A94 043830

[19]Gao G F,Zhao J Z,Fu Z X 2014Adv.Mat.Res.1027 262

[20]Guillaume G,Fortin N 2014J.Building Perform.Simulat.7 445

[21]Han G,Wang T 2014The Proceedings of the Second International Conference on Communications,Signal Processing,and SystemsTianjin,China,September 1,2013 p383

[22]Kim M,Choi W,Choi Y,Yoon C,Choi W 2015Opt.Express23 12648

[23]Patil M B,Okuyama Y,Ohkura Y,Toyabe T,Ihara S 1994Solid-State Electron.37 1359

[24]Tripathi S,Paxman R,Bifano T,Toussaint K C 2012Opt.Express20 16067

[25]Akbulut D,Huisman T J,Putten E G V,Vos W L,Mosk A P 2011Opt.Express19 4017

[26]Conkey D B,Caravaca-Aguirre A M,Piestun R 2012Opt.Express20 1733

[27]Tao X,Bodington D,Reinig M,Kubby J 2015Opt.Express23 14168

[28]Zhang X,Kner P 2014J.Opt.16 125704

[29]Li Z,Cao J,Zhao X,Liu W 2015Opt.Commun.338 11

[30]Larrat B,Pernot M,Montaldo G,Fink M 2010IEEE Trans.Ultrason.Ferroelectr.Frequency Control57 1734