張新明，王 霞，涂 強，康 強

(1. 河南師范大學計算機與信息工程學院 河南 新鄉(xiāng) 453007；2. 河南省高校計算智能與數(shù)據(jù)挖掘工程技術(shù)研究中心 河南 新鄉(xiāng) 453007)

使用傳統(tǒng)的優(yōu)化方法已經(jīng)無法有效地解決現(xiàn)實中的許多優(yōu)化問題，因此，近年來引進了大量的自然啟發(fā)式算法。自然啟發(fā)式算法又稱為智能優(yōu)化算法，受啟發(fā)于自然界生物的社會行為等。粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization, PSO)算法[1]作為較早的自然啟發(fā)式算法，它模擬了鳥群或魚群捕食時的社會行為。該算法因需調(diào)整的參數(shù)較少和易于實施的優(yōu)勢在許多優(yōu)化問題上被廣泛使用，但仍然存在早熟收斂、極易陷入局部最優(yōu)等問題。針對PSO存在的問題，研究人員已經(jīng)提出了許多基于PSO的改進算法[2-10]，目的在于提高PSO的優(yōu)化性能。文獻[2]通過反向?qū)W習與局部學習的協(xié)同行為，提出了具有反向?qū)W習和局部學習能力的PSO算法(reverselearning and local-learning PSO, RLPSO)。文獻[3]結(jié)合自適應勞動分工模塊，采用凸算子和反射算子，提出了自適應勞動分工的PSO算法。文獻[4]將PSO與兩種人類最好的學習策略(包括自我調(diào)節(jié)慣性權(quán)重、在全局搜索方向進行自我認知)進行結(jié)合實現(xiàn)算法的快速收斂，提出了一種自我調(diào)節(jié)PSO算法(self regulating PSO, SRPSO)。文獻[5]針對PSO的早熟收斂問題，引進5次連續(xù)變異策略，提出了一種增強領導者的PSO算法(enhanced leader PSO, ELPSO)。文獻[6]結(jié)合PSO和Levy Flight算子，提出了嵌入Levy Flight的PSO算法(PSO with Levy Flight, LFPSO)。文獻[7]結(jié)合動態(tài)概率PSO算法的特點，提出了一種基于異構(gòu)多種群策略的DPPSO算法。文獻[10]提出了一種自適應慣性權(quán)重策略，每一個粒子在不同維都有它自己的慣性權(quán)重，是一種新的基于自適應慣性權(quán)重的PSO算法。但以上算法或多或少存在如下問題：優(yōu)化效率不高，普適性不強等。另外，在現(xiàn)有的改進算法中，許多是對PSO的基本參數(shù)進行研究和改進，以便提高算法的性能。在PSO參數(shù)研究文獻中，對慣性權(quán)重ω、學習因子1c和2c參數(shù)研究較多，但對速度邊界參數(shù)Vmax和Vmin研究甚少。

本文針對LFPSO存在的問題，首先改進Levy Flight，然后引進趨優(yōu)算子，并使趨優(yōu)算子與改進的Levy Flight算子交替執(zhí)行；最后對固定速度邊界采用動態(tài)調(diào)整策略，構(gòu)成改進的LFPSO(improved LFPSO,ILFPSO)算法。

1 LFPSO算法

圖1 LFPSO算法流程圖

LFPSO算法[6]將Levy Flight嵌入到PSO算法中，用于解決PSO的早熟收斂和全局搜索能力不足的問題。Levy Flight是一種非高斯隨機過程，是從Levy穩(wěn)定分布中提取的隨機游走方式，確保了PSO可以更有效地進行全局搜索而不會陷入局部停滯。LFPSO算法為每個粒子的試驗次數(shù)設置一個閾值，在閾值以內(nèi)的粒子速度與其位置更新如下：

而超出閾值時，粒子則執(zhí)行Levy Flight操作，對粒子的位置進行重新分配：

式中，符號⊕表示數(shù)組中每個對應元素的乘法運算。LFPSO算法的基本流程圖如圖1所示。其中，trial(i)表示第i個粒子當前的試驗次數(shù)，limit表示為每個粒子設置的閾值。值得注意的是：若更新后的粒子較優(yōu)，trial(i)重置為0，否則trial(i)就加1。

2 趨優(yōu)算子與Levy Flight混合的粒子群優(yōu)化算法(ILFPSO)

2.1 LFPSO存在的問題

LFPSO存在的兩大問題：1) 由于Levy步長的計算公式中參數(shù)β的取值范圍為(0,2)，不合適，有可能產(chǎn)生無效解。2) 由于LFPSO是針對原始的PSO全局搜索能力差的問題引進Levy Flight，用于提高全局搜索能力；雖然全局能力有所提升，但仍然存在收斂速度慢，優(yōu)化效率低和普適性不強的問題，其主要原因是探索與開采沒有達到平衡?，F(xiàn)代智能優(yōu)化算法不是僅追求全局搜索能力或者局部搜索能力單方面的提升，而是考慮二者的平衡，這樣才能提高算法的整體優(yōu)化性能。針對以上問題，ILFPSO有3點創(chuàng)新：

1) 改進Levy Flight以減少無效解；

2) 將既有一定的全局搜索能力又有較強的局部搜索能力的趨優(yōu)算子與改進的Levy Flight融合，使其全局搜索能力和局部搜索能力同時提高，二者達到平衡；

3) 將LFPSO中固定的速度邊界改為動態(tài)調(diào)整，以便搜索前期易于找到全局最優(yōu)點，后期容易獲得局部最優(yōu)解，也用于平衡探索與開采能力。

2.2 改進的Levy Flight算子

Levy Flight作為一種隨機游走方式，其長跳躍的搜索方式與偶爾短跳躍的搜索方式交叉執(zhí)行，保證了算法能夠及時跳出局部最優(yōu)點，擴大了粒子的搜索范圍。Levy分布中，參數(shù)β影響較大，其小值執(zhí)行長距離跳躍，防止陷入局部最小值。由于Levy步長中β的取值范圍是(0,2]，不夠合適，在低值區(qū)域易產(chǎn)生無效的σ，最終產(chǎn)生無效的粒子。本文將Levy分布中參數(shù)β的取值范圍更精確選擇為[0.1,2]，防止產(chǎn)生無效解。參數(shù)β取值的程序偽代碼見算法1。

算法1：β取值限定

求解Levy分布中的β值：β=2?rnd；

根據(jù)式(4)求解步長s

其中，rand表示在區(qū)間[0,1]中均勻分布的隨機數(shù)。Levy分布中的步長s為：

式中，u和v分別服從正態(tài)分布[6]：

式中，

式中，Γ是標準的伽馬函數(shù)。從式(4)中獲得步長s值來更新第i個粒子iX的位置。

圖2 參數(shù)β與σ值的關(guān)系曲線

通過分析可知，參數(shù)β影響著σ的取值。通過大量的實驗發(fā)現(xiàn)：

1)β取值為區(qū)間[0,0.000 3]之間的隨機數(shù)時，σ為無窮值(即無效)，導致s為無效值。

2)β取值為區(qū)間[0.000 3,0.1]之間的隨機數(shù)時，σ過大，它又導致兩種結(jié)果：①s過大，隨機步長過大，此跳躍無意義；②s趨于0，使此跳躍在實質(zhì)上未發(fā)生。為了能更清晰地看出參數(shù)β對σ值的影響，參數(shù)β取[0.05,0.1]之間的數(shù)，β對σ值的影響曲線如圖2所示。從圖2可知，隨著參數(shù)β減少，σ值呈指數(shù)級增加，進而無效。

2.3 趨優(yōu)算子

文獻[11]提出了一種全局最優(yōu)和聲搜索算法，該算法首次使用了趨優(yōu)算子，見算法2，通過將最優(yōu)和聲的信息賦給當前和聲，提高了搜索能力。從算法2可知，趨優(yōu)算子充分地利用了群體歷史最優(yōu)解的位置信息，從解的角度向群體中當前最優(yōu)解趨近，故稱趨優(yōu)算子[11-12]；從維的角度發(fā)生突變，通過隨機選取最優(yōu)解中某一維度的值直接替換當前維度的值，提高全局搜索能力。此算子主要體現(xiàn)在局部搜索能力上，全局搜索能力有限，所以從總體上講，更側(cè)重于提高算法優(yōu)化精度和收斂速度。

2.4 Levy Flight算子與趨優(yōu)算子有機融合

使用趨優(yōu)概率pa將Levy算子與趨優(yōu)算子交替運行。當均勻分布在[0,1]中的隨機數(shù)小于0.5時，趨優(yōu)概率pa取值為0.5，否則取值為0.99。采取這樣的隨機選取方式，減少了人工選取pa參數(shù)的過程。下面分別對兩種趨優(yōu)概率的情況進行分析：

1) 當pa=0.5時，趨優(yōu)算子與Levy算子交替運行的概率均等。若隨機數(shù)大于pa值，執(zhí)行趨優(yōu)算子，獲取一個隨機維，將全局最優(yōu)解隨機維的值賦給當前維。此時，當前粒子向當前最優(yōu)位置趨近，加快了收斂速度。若小于pa值，執(zhí)行Levy算子，提高全局搜索能力。兩種算子的交叉執(zhí)行，提高了算法的整體搜索能力。

2) 當pa=0.99時，趨優(yōu)算子運行的概率極小，多數(shù)情況下僅執(zhí)行改進的Levy Flight操作，更強化全局搜索，且改進的Levy Flight算子防止產(chǎn)生無效解。

2.5 速度邊界的動態(tài)更新

本文將LFPSO算法中的恒定速度邊界值改為對速度的邊界動態(tài)更新。首先設置動態(tài)邊界的極值(最大值0v和最小值1v)，然后動態(tài)調(diào)整，隨著迭代次數(shù)的增加，速度的上邊界maxV由大變小。在每次迭代中，對粒子的速度邊界更新公式為：

式中，minV為速度的下邊界；t為當前迭代次數(shù)；MaxDT為最大迭代次數(shù)。原算法中，固定的速度邊界值不利于探索與開采的平衡。而在ILFPSO中，由于引進了動態(tài)更新機制，前期階段，算法中的粒子分布范圍較為廣泛，根據(jù)式(2)，若粒子速度大，其位置變化范圍大，即擴大了粒子的搜索空間，增加了找到全局最優(yōu)值的概率；而在后期階段，粒子分布相較于前期較為集中，粒子速度小，其位置變化范圍小，即縮減了搜索空間的范圍，增加了粒子尋找局部最優(yōu)值的概率，提高了搜索精度，從而提高了局部搜索能力。因此，動態(tài)的速度邊界調(diào)整機制有利于尋找全局和局部最優(yōu)解，即前期有利于搜索全局最優(yōu)解，后期能加快算法的收斂速度。

2.6 ILFPSO算法流程

基于以上3點創(chuàng)新，ILFPSO的算法流程如下：

1) 初始化參數(shù)。參數(shù)包括學習因子1c和2c、試驗次數(shù)trail、閾值limit等。2) 隨機初始化種群的位置和速度，計算適應度值，選擇個體歷史最優(yōu)值pbest和全局最優(yōu)值gbest。3) 用式(7)和式(8)動態(tài)更新速度邊界，隨機選取趨優(yōu)概率pa的值。4) 若trail(i)未超過limit，則對粒子的速度和位置按式(2)更新，并進行邊界檢查。否則執(zhí)行流程5)，并將trail(i)重置為0。5) 當隨機數(shù)大于pa，則執(zhí)行趨優(yōu)算子，否則執(zhí)行改進的Levy Flight算子。6) 計算粒子的適應度值，更新trail(i)，并更新個體歷史最優(yōu)解pbest和全局最優(yōu)解gbest。7) 判斷是否滿足終止準則，若滿足則算法終止，否則返回流程3)。

ILFPSO融入了3點創(chuàng)新，提升了優(yōu)化效率，較好地平衡了探索與開采能力，提高了算法整體性能。

3 仿真實驗及結(jié)果分析

3.1 測試函數(shù)與實驗環(huán)境

為測試本文提出的ILFPSO算法的尋優(yōu)能力，選用4類benchmark函數(shù)進行仿真實驗，分別為：單峰函數(shù)、多峰函數(shù)、平移函數(shù)和旋轉(zhuǎn)函數(shù)[13]。表1和表2給出了這4類28個benchmark函數(shù)的名稱、搜索范圍和理論最優(yōu)值(Fmin)情況，函數(shù)的相關(guān)表達式見文獻[3-6,13]。單峰函數(shù)只有一個全局最優(yōu)點，適合用于評估算法的開采能力；多峰函數(shù)有多個局部最優(yōu)點，適合用于評估算法的探索能力；平移函數(shù)和旋轉(zhuǎn)函數(shù)用于評估優(yōu)化算法解決復雜優(yōu)化問題的能力。

選取這28個benchmark函數(shù)，目的在于檢測ILFPSO算法的優(yōu)化性能，通過與國外學者提出的LFPSO算法、增強領導者粒子群算法(ELPSO)、自我調(diào)節(jié)粒子群優(yōu)化算法(SRPSO)進行優(yōu)化性能、收斂性、運行時間的對比，驗證ILFPSO的優(yōu)越性。所有的仿真實驗均在操作系統(tǒng)為Windows 7、CPU為主頻為3.10 GHz和內(nèi)存為4 GB的PC上進行，編程語言采用MATLAB R2014a。

表1 單峰和多峰benchmark函數(shù)信息表

表2 平移和旋轉(zhuǎn)benchmark函數(shù)信息表

3.2 優(yōu)化性能對比

為了控制參數(shù)對各個算法性能的影響，也為了公平起見，所有算法的最大迭代次數(shù)都設為2 500，種群數(shù)量都設為20，函數(shù)的維數(shù)n設為30。ILFPSO最大速度初值0v和終值1v分別設置為位置邊界最大長度的20%和0.1%，學習因子1c、2c和慣性權(quán)重因子w同LFPSO參數(shù)設置。LFPSO、ELPSO和SRPSO參數(shù)設置見相應的參考文獻。表3和表4分別給出了4種算法在28個benchmark函數(shù)上30次獨立運行的尋優(yōu)結(jié)果減去理想最優(yōu)值(Fmin)后(除f15以外)的最大值(Max)、最小值(Min)、均值(Mean)和方差(Std)，其中黑體代表算法中的最優(yōu)者。

表3 4種函數(shù)對單峰和多峰函數(shù)的性能測試結(jié)果

續(xù)表

表4 4種算法對平移和旋轉(zhuǎn)函數(shù)的性能測試結(jié)果

采用單峰函數(shù)進行算法的性能測試，主要是檢測算法的局部搜索能力和收斂精度。4種算法在7個單峰函數(shù)f1～f6和f19上的性能測試數(shù)據(jù)看出，在Max、Min、Mean和Std上，與LFPSO、ELPSO、SRPSO相比，ILFPSO均表現(xiàn)了優(yōu)異的開采能力。這說明具有較強局部搜索能力的趨優(yōu)算子融合到Levy Flight中和動態(tài)調(diào)整速度邊界這兩項改進是有效的，提高了算法的局部搜索能力和收斂精度，尤其在f3、f4和f19上大幅度領先于LFPSO。

通過使用15個多峰函數(shù)f7～f18，f20～f22對4種算法進行性能測試，以檢驗算法的全局搜索能力。對于多峰函數(shù)f7～f15、f17、f18、f20、f22，ILFPSO明顯優(yōu)于其他3種對比算法，效果最好。在Max、Min和Mean上，ILFPSO均獲得了最小值，說明該算法在求解多峰函數(shù)時全局搜索能力較強。在Std上，ILFPSO也都獲得了最小的值，這說明其穩(wěn)定性最強。當求解函數(shù)f16、f21時，ILFPSO的性能測試結(jié)果相對來說稍差，但對于求解函數(shù)f16時，在Mean上，ILFPSO獲得了最好的結(jié)果；在Std上，則是SRPSO表現(xiàn)了最優(yōu)的性能，ILFPSO次之；在Max上，SRPSO獲得了最好的值，ILFPSO次之；在Min上，ELPSO獲得了最小的值，ILFPSO次之。而對于函數(shù)f21，ELPSO表現(xiàn)的尋優(yōu)能力最優(yōu)，ILFPSO次之。但是相對于LFPSO，ILFPSO具有更強的搜索能力，這說明趨優(yōu)算子與Levy Flight算子融合是有效的，能很好地平衡全局和局部搜索能力，使得算法整體優(yōu)化性能得到了大幅度的提高。

通過求解6個平移和旋轉(zhuǎn)函數(shù)以檢驗ILFPSO解決復雜優(yōu)化問題的能力，結(jié)果如表4所示。從表4可以看出，在求解函數(shù)f24、f25、f27、f28時，在Max、Min、Mean和Std上，ILFPSO均優(yōu)于其他3種對比算法；在求解函數(shù)f23時，ELPSO表現(xiàn)出了最佳的尋優(yōu)能力，ILFPSO稍差；而在求解f26時，在Max、Min和Mean上，ILFPSO最佳。相對于LFPSO，在所有的6個復雜函數(shù)f23～f28上，ILFPSO表現(xiàn)更優(yōu)。這說明ILFPSO解決復雜優(yōu)化問題的能力具有較強的競爭力。

綜上所述，本文提出的ILFPSO算法在28個benchmark函數(shù)中的25個函數(shù)上都獲得了最優(yōu)的性能，充分證明了ILFPSO的普適性較強。雖然對于求解個別benchmark函數(shù)仍存在相對較差的性能，但在求解所有28個benchmark函數(shù)上，ILFPSO優(yōu)于LFPSO，整體上說明本文提出的3點改進可行。

3.3 收斂性分析

為更清晰地看出ILFPSO算法的收斂性能，實驗給出了4種算法在求解所有函數(shù)時的收斂曲線圖，如圖3所示。因版面限制，只從4類benchmark函數(shù)中選取6個函數(shù)進行展示，將平均適應度值(對于函數(shù)f25，每次的結(jié)果減去Fmin再進行平均)作為評估算法性能的主要參考值，測試迭代次數(shù)為2 500時算法的收斂性能。

圖3 4種算法在4類benchmark函數(shù)上的收斂曲線圖

從圖3可以看出，ILFPSO在對f5、f7、f27等函數(shù)進行優(yōu)化時收斂速度大幅度優(yōu)于其他3種對比算法；而針對f1、f10、f25等函數(shù)，ILFPSO收斂性能也明顯優(yōu)于其他對比算法。另外，雖然ILFPSO在優(yōu)化f21、f23等函數(shù)時收斂性能稍差，ELPSO最好，但ILFPSO緊跟其后，排在第2位。從整體情況來看，ILFPSO在28個函數(shù)上的收斂性能都優(yōu)于LFPSO，這些再一次證明ILFPSO的改進策略是有效的。

3.4 運行時間對比

4種優(yōu)化算法的運行時間結(jié)果如表5所示。從表5可以看出，當求解單峰函數(shù)f1～f6、f19時，ELPSO的運行速度最快，ILFPSO的運行速度次之，但ILFPSO大幅度領先另外2種對比算法LFPSO和SRPSO。

表5 4種優(yōu)化算法運行時間對比

續(xù)表

在求解多峰函數(shù)f7、f8、f10、f15、f17、f18、f21和f22時，ELPSO運行速度最快，而求解f9、f11～f14、f16和f20時，ILFPSO運行速度最快；當求解平移和旋轉(zhuǎn)函數(shù)f23～f25和f27時，ILFPSO耗時最少，求解旋轉(zhuǎn)函數(shù)f26和f28時，ELPSO耗時最少，但二者相差不大。從表5最后一行看，ILFPSO的平均運行時間是0.833 5 s，是4種算法中耗時最少的，約為LFPSO(1.797 7 s)的50%，其主要原因見3.5節(jié)計算復雜度分析。

3.5 復雜度分析

一般來講，一個優(yōu)化算法的計算復雜度由兩部分組成：目標函數(shù)的計算復雜度和優(yōu)化算法自身的計算復雜度，本文重點分析ILFPSO與LFPSO計算復雜度。因為兩種算法的目標函數(shù)評價次數(shù)相同，目標函數(shù)的計算復雜度相同，所以在此僅分析兩種算法自身的復雜度。LFPSO中Levy Flight算子的計算復雜度高，當嵌入計算復雜度較低的趨優(yōu)算子時，兩個算子交替運行，如此降低了ILFPSO的整體計算復雜度。另外，ILFPSO消除無效解也在一定程度上提高了算法的計算效率。

3.6 ILFPSO與RLPSO的性能對比

為進一步說明ILFPSO算法的尋優(yōu)能力，選取f1、f3、f7、f9、f11、f19作為測試函數(shù)。將ILFPSO算法與國內(nèi)目前最優(yōu)秀的具有反向?qū)W習和局部學習能力的PSO算法(RLPSO)[2]進行對比。兩種算法的參數(shù)：維數(shù)n為30，種群數(shù)量為20。兩種算法的實驗數(shù)據(jù)如表6所示，RLPSO的實驗數(shù)據(jù)直接來自文獻[2]。

從表6可以看出，不管是Mean還是Std，ILFPSO大幅度優(yōu)于RLPSO，說明ILFPSO全局搜索能力更好，收斂速度更快以及收斂精度更高，而且對比實驗中本文提出ILFPSO的最大目標函數(shù)評價次數(shù)(maxEFs)比RLPSO少得多，前者為5×104，后者為1×105，這更說明ILFPSO比RLPSO優(yōu)化性能好。

表6 ILFPSO與RLPSO算法的結(jié)果對比

通過以上仿真實驗及結(jié)果對比，ILFPSO很好地避免了LFPSO中出現(xiàn)的收斂速度慢、易產(chǎn)生無效解、搜索效率不高以及普適性不強等問題。這些問題的解決主要因為：

1) ILFPSO為平衡原始算法的全局和局部搜索能力以及加快算法的收斂速度而引進了趨優(yōu)算子；

2) 對速度的邊界進行動態(tài)更新，提高了ILFPSO的前期全局搜索能力和后期局部搜索能力；

3) 改進的Levy Flight算子避免出現(xiàn)無效解。因此，與LFPSO、ELPSO、SRPSO和RLPSO相比，ILFPSO具有更高的優(yōu)化效率，更好的普適性。

4 結(jié)束語

針對LFPSO中出現(xiàn)的搜索效率不高和普適性不強等問題，本文提出了一種趨優(yōu)算子與Levy Flight混合的粒子群優(yōu)化算法。首先改進Levy Flight算子，解決了LFPSO中易產(chǎn)生無效解的問題。然后控制趨優(yōu)算子與Levy Flight的交替運行，更好地平衡了算法的全局與局部搜索能力，提高了算法的普適性。最后在每次迭代時對速度的邊界進行動態(tài)更新，用于提高前期全局搜索能力和后期局部搜索能力。28個benchmark函數(shù)仿真實驗結(jié)果表明本文提出的方法是有效的，與當前最優(yōu)秀的PSO改進算法相比，ILFPSO更具有競爭性和普適性。

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