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        巧用斜率求參數(shù)的范圍

        2018-06-09 03:47:39朱帥

        ◎朱帥

        例1:[2014·山東理20]設(shè)函數(shù)(k為常數(shù),e=2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù)).

        (1)當(dāng) k≤0時,求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間;

        (2)若函數(shù) f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個極值點(diǎn),求 k的取值范圍.

        解析:本題問題(2)要求k的取值范圍,我們可以用斜率來解決問題:

        若函數(shù) f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個極值點(diǎn),則方程 f′(x)=0在(0,2)內(nèi)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,∵x∈(0,2),∴x3>0,x-2<0,所以f′(x)=0等價于ex-kx=0,

        從而方程ex-kx=0在(0,2)內(nèi)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根?!啾硎竞瘮?shù)y=ex在x∈(0,2)內(nèi)圖像上的點(diǎn)P(x,ex)與坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)的連線l的斜率,由圖(1)知,l介于切線l1與割線l2之間,從而k介于切線k1與割線k2之間.

        設(shè)切點(diǎn)為 (x0,y0),則 y′=ex,所以 k1=ex0,

        例2:[2016·廣州二模理21]已知函數(shù) f(x)=e-x-ax(x∈ R).

        (Ⅰ)當(dāng)a=-1時,求函數(shù)f(x)的最小值;

        (Ⅱ)若x≥0時,f(-x)+ln(x+1)≥1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

        (Ⅲ)求證:.

        解析:本題問題(2)求a的取值范圍,我們可以用斜率來解決問題:

        依題意,x≥0時,即 f(-x)+ln(x+1)≥1即 ex+ax+ln(x+1)-1≥0.

        ∴ ax≥1-ex-ln(x+1)

        當(dāng)x=0時,上式恒成立,此時a∈R

        令,則k表示函數(shù)

        g(x)=ex+ln(x+1)-1圖像上的點(diǎn)

        P(x,ex+ln(x+1)-1)(x∈(0,+∞))與坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)的連線l的斜率,由圖(2)知,l介于切線 l1與 y軸之間,因為 g′(x)=ex+,∴函數(shù)g(x)在(0,+∞)遞增且遞增速度越來越快,又g(x)過原點(diǎn) O(0,0),∴ k>g′(0) =2,即,

        從而a≥-2,綜上所述,a∈[-2,+∞)

        例3:[2016·湛江一模理21]設(shè)函數(shù) f(x)=(ax+1)e-x(a∈ R).

        (I)當(dāng) a>0時,求 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

        (II)對任意 x∈[0,+∞),f(x)≤x+1恒成立,求實(shí)數(shù) a的取值范圍

        解析:本題問題(2)求a的取值范圍,我們可以用斜率來解決問題:

        f(x)=(ax+1)e-x≤x+1恒成立,x∈[0,+∞)

        當(dāng)x=0時,上式恒成立,此時a∈R

        則 k表示函數(shù)g(x)=ex(x+1)-1圖像上的點(diǎn)P(x,ex(x+1)-1)(x∈(0,+∞))與坐標(biāo)原點(diǎn) O(0,0)的連線l的斜率,由圖(3)知,l介于切線 l1與 y軸之間。因為 g′(x)=(x+2)ex,∴函數(shù) g(x)在 (0,+∞)遞增且遞增速度越來越快,又g(x)過原點(diǎn)O(0,0),∴ k>g′(0)=2,即,從而a≤2,綜上所述,a∈(-∞,2]

        點(diǎn)評:例1—例3中解法,不僅省去了復(fù)雜的計算過程,而且它的原理更貼近初等數(shù)學(xué),學(xué)生也非常容易掌握.在高中數(shù)學(xué)中,有關(guān)函數(shù)的證明題,學(xué)生大都會首先想到構(gòu)造函數(shù),通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性來證明.經(jīng)過多年的解題訓(xùn)練,很多學(xué)生都形成了慣性思維,很難再有新的突破.但如果我們認(rèn)真觀察,用心去想,很多問題是可以跳出慣性的約束,另外一種再平凡不過的方法或許會讓我們柳暗花明.特別是高等數(shù)學(xué)的方法用之于初等數(shù)學(xué)時,一定要抓住實(shí)質(zhì).導(dǎo)數(shù)離散化之后就是斜率,從這個意義上講,斜率更具有根本意義,而且在高中數(shù)學(xué)中斜率還是一個核心概念.

        構(gòu)造斜率只是解決恒成立問題中求參數(shù)的取值范圍的一種方法,并非適用于所有的問題,但是如果條件適合,構(gòu)造斜率往往能讓我們變抽象為直觀,減少分類討論的麻煩,甚至簡化許多繁瑣的計算,達(dá)到事半功倍的效果。

        [1] 劉有良.構(gòu)造解析幾何模型解代數(shù)問題[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊.2002,11(下),50-51.

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