陳麗敏 ，景 敏 ，王 瑾

（ 1.遼寧省基礎(chǔ)教育教研培訓(xùn)中心； 2.沈陽師范大學(xué)）

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的細(xì)胞，概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)的生命力在于數(shù)學(xué)概念的抽象性、概括性及應(yīng)用的廣泛性.數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷概念的引入、概念的形成、概念的鞏固和概念的應(yīng)用四個階段.然而在實(shí)際的教學(xué)中，一些教師對于概念教學(xué)的認(rèn)識還存在著諸多的誤區(qū).下面筆者結(jié)合課堂觀察的教學(xué)片斷，分析問題產(chǎn)生的原因，并提出改進(jìn)的教學(xué)建議.

一、概念的引入情境牽強(qiáng)

概念的引入是概念教學(xué)的開始，其重要性不言而喻.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師通常選擇學(xué)生所了解的、與這一概念相聯(lián)系的生活實(shí)例引入概念，讓學(xué)生通過這些實(shí)例直觀地看出它們的共同特點(diǎn)，然后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象概括，獲得一般性的概念.例如，三角形概念的引入，應(yīng)該指出概念引入所使用的實(shí)例，泛指用以引入概念的感性材料，既可以是某種具體實(shí)物，又可以是學(xué)生已學(xué)過的某些數(shù)學(xué)知識.又如，無理數(shù)概念的引入，無論是數(shù)學(xué)情境引入數(shù)學(xué)概念，還是現(xiàn)實(shí)生活情境引入數(shù)學(xué)概念，教師都需要明確概念引入的必要性.下面以三角形外角概念的教學(xué)和旋轉(zhuǎn)的概念教學(xué)為例進(jìn)行剖析.

案例1：三角形外角概念教學(xué)片斷.

在三角形外角概念的教學(xué)中，教師通過給出如圖1所示的圖片，讓學(xué)生觀察飛機(jī)三個尾翼構(gòu)成的三角形，以及其外部的∠1，引入外角的概念.

圖1

問題分析：在上面的問題情境中，教師使用的是具體實(shí)物，即飛機(jī)尾翼的情境.首先，飛機(jī)尾翼的情境并不能說明外角概念引入的必要性，更糟糕的是，飛機(jī)尾翼的三個角從視覺上不在一個平面上.因此，用飛機(jī)尾翼的情境引入外角的概念是不恰當(dāng)?shù)?

三角形的外角概念引入的必要性是源于平面幾何的研究內(nèi)容，即平面幾何是研究圖形基本要素之間的位置和數(shù)量關(guān)系，以及圖形運(yùn)動和變化過程中的不變性和不變量.既然三角形的內(nèi)角之間存在內(nèi)角和定理，那么，三角形的外角之間又存在哪些規(guī)律呢？這是我們引入三角形外角概念的必要性.

教學(xué)建議：鑒于上述分析，將建議三角形外角概念的引入從圖形入手，即先給出一個三角形，將三角形的三條邊都反向延長，與其相鄰的邊構(gòu)成的三個角是三角形的外角.在實(shí)際的教學(xué)中，教師要展示外角的形成過程.通過畫出三個外角之后，讓學(xué)生歸納概括出外角概念的內(nèi)涵，并探索三角形外角的規(guī)律，在探索完外角和定理后，教師簡要說明外角引入的必要性，如圖2所示.

圖2

案例2：旋轉(zhuǎn)的概念教學(xué)片斷.

在“圖形的旋轉(zhuǎn)”一課的教學(xué)中，教師出示如圖3所示的圖片，并提出問題：這些物體你見過嗎？這些物體的運(yùn)動有哪些共同的特點(diǎn)，你能嘗試歸納出來嗎？

圖3

問題分析：首先，旋轉(zhuǎn)概念的內(nèi)涵是運(yùn)動，通常需要動態(tài)的演示來突出概念的本質(zhì)屬性.該教師呈現(xiàn)靜態(tài)的圖片作為實(shí)例，讓學(xué)生歸納旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn).顯然，學(xué)生如果知道這個實(shí)物在現(xiàn)實(shí)中是如何運(yùn)動的，這樣處理是可以的.但是，如果學(xué)生沒見過這些物體，或者不清楚它們的運(yùn)動情況，那么歸納旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)屬性將無從談起.其次，即使學(xué)生知道這些物體在現(xiàn)實(shí)生活中是如何旋轉(zhuǎn)的，學(xué)生需要在頭腦中想象這些實(shí)物運(yùn)動的場面，這樣可能增加學(xué)生的工作記憶的負(fù)荷，導(dǎo)致學(xué)生不能集中注意力歸納旋轉(zhuǎn)的特征.

教學(xué)建議：建議教師利用信息技術(shù)手段給學(xué)生呈現(xiàn)動態(tài)旋轉(zhuǎn)的實(shí)物.

二、概念的形成沒有和學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)建立有效的聯(lián)結(jié)

建構(gòu)主義強(qiáng)調(diào)，教師要把當(dāng)前學(xué)生所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容盡量和學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生對聯(lián)系加以認(rèn)真的思考，對新信息重新認(rèn)識和編碼，建構(gòu)自己的理解.在這一過程中，學(xué)生原有的知識經(jīng)驗(yàn)因?yàn)樾轮R經(jīng)驗(yàn)的進(jìn)入而發(fā)生調(diào)整和改變.但是，在實(shí)際的教學(xué)中，一些教師忽視學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，導(dǎo)致學(xué)生在理解概念時發(fā)生困難.下面以加權(quán)平均數(shù)的教學(xué)為例進(jìn)行剖析.

案例3：加權(quán)平均數(shù)的概念教學(xué)片斷.

教師出示問題情境：一家公司打算招聘一名英文翻譯，對甲、乙兩名應(yīng)試者進(jìn)行了聽、說、讀、寫的英語水平測試，兩名公司員工的各項(xiàng)成績（百分制）如下表所示.

聽說讀寫甲乙85 73 78 80 85 82 73 83

問題1：如果公司想招一名綜合能力較強(qiáng)的翻譯，計算兩名應(yīng)試者的平均成績，應(yīng)該錄用誰？

學(xué)生通過計算，得出甲的成績的平均數(shù)為80.25，乙的成績的平均數(shù)為79.5.得出甲的綜合能力較強(qiáng)，應(yīng)該錄用甲.

問題2：如果公司想招一名筆譯能力較強(qiáng)的翻譯，用算術(shù)平均數(shù)來衡量他們的成績合理嗎？

有學(xué)生提出不合理，如果想招筆譯能力較強(qiáng)的翻譯，應(yīng)該重視讀和寫的分?jǐn)?shù).從表中甲和乙的讀、寫成績很難分辨哪個成績好.

師：如果將聽、說、讀、寫的成績按照2∶1∶3∶4的比例確定，從他們的成績來看，應(yīng)該錄取誰？

學(xué)生根據(jù)教師給定的比例，計算甲、乙的成績時出現(xiàn)困難，有的學(xué)生計算甲、乙的成績用了如下的公式.

甲的成績?yōu)?85×2+78×1+85×3+73×4)÷4；

乙的成績?yōu)?73×2+80×1+82×3+83×4)÷4.

問題分析：加權(quán)平均數(shù)是學(xué)生在學(xué)習(xí)了算術(shù)平均數(shù)之后學(xué)習(xí)的另外一個描述數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量.權(quán)有兩種表現(xiàn)形式：一種是相對數(shù)，即我們通常所說的百分比（頻率）；一種是絕對數(shù)，即數(shù)據(jù)中各數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)（頻數(shù)）.與絕對數(shù)形式的權(quán)比較，相對數(shù)形式的權(quán)能更加直觀地反映權(quán)在評價中的作用.同時，相對數(shù)形式的權(quán)也是學(xué)生比較熟知的.上面的問題情境中，算術(shù)平均數(shù)對一些學(xué)生產(chǎn)生了負(fù)面的影響，導(dǎo)致這些學(xué)生列式錯誤.學(xué)生的回答情況表明，雖然有些學(xué)生能夠正確列式，計算出加權(quán)平均數(shù)，也只是生搬硬套公式，對權(quán)的理解存在一些困惑.

教學(xué)建議：在加權(quán)平均數(shù)的教學(xué)中，為了將加權(quán)平均數(shù)和學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)建立有效聯(lián)結(jié)，并直觀地反映權(quán)在評價中的作用，建議教師在學(xué)生體會到算術(shù)平均數(shù)不能解決問題2的時候，明確引入加權(quán)平均數(shù)的必要性.之后通過學(xué)生比較熟悉的百分?jǐn)?shù)大小來區(qū)分聽、說、讀、寫的重要程度.例如，教師給出聽、說、讀、寫分別占總成績的20%，10%，30%，40%，引導(dǎo)學(xué)生來計算加權(quán)平均數(shù).在學(xué)生明白了百分?jǐn)?shù)表示的權(quán)之后，教師再給學(xué)生出示絕對數(shù)形式（比例）的權(quán)，并引導(dǎo)學(xué)生將絕對數(shù)形式（比例）的權(quán)轉(zhuǎn)化為百分?jǐn)?shù)的形式來計算加權(quán)平均數(shù).

三、概念鞏固環(huán)節(jié)中不恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用了概念辨析

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，很多教師在給概念下完定義之后，通常會直接提供一些反例讓學(xué)生辨析.這些反例的確可以使學(xué)生對概念理解更精確、準(zhǔn)確.但是，是不是所有的數(shù)學(xué)概念的教學(xué)都需要反例這一辨析的環(huán)節(jié)呢？數(shù)學(xué)概念具有一些特征，如過程性特征，關(guān)系特征等.過程性特征指概念的定義反映了某種數(shù)學(xué)過程或規(guī)定的操作過程.例如，平均數(shù)的概念隱含著將幾個數(shù)相加，再除以個數(shù)的運(yùn)算操作過程；向量的加法的概念規(guī)定了“形”（三角形法則）的操作過程.同樣，有序數(shù)對和平面直角坐標(biāo)系的概念隱含著二維平面內(nèi)點(diǎn)的位置確定的工具和方法的過程性特征.下面以這兩個概念為例進(jìn)行剖析.

案例4：有序數(shù)對概念教學(xué)片斷.

教師講完有序數(shù)對的概念之后，出示一道選擇題.用7和8組成一個有序數(shù)對，可以寫成（ ）.

（A）(7，8) （B）(8，7)

（C）7，8或者8，7 （D）(7，8)或(8，7)

問題分析：有序數(shù)對的概念是一種表示的方法和工具，是一種規(guī)定性的概念，具有一定的過程性特征，這個概念的內(nèi)涵不是特別豐富，也不容易與臨近概念發(fā)生混淆.教師教給學(xué)生正確的表示方法之后，大部分學(xué)生都能夠正確表示.因此，面對這類具有過程性特征的概念，教師不宜在下定義之后，設(shè)計選擇題讓學(xué)生辨析，而應(yīng)在學(xué)生具體操作過程中出現(xiàn)了錯誤再予以糾正，如果在具體的操作過程中不出現(xiàn)錯誤，就可以不列舉反例來讓學(xué)生辨析.

教學(xué)建議：上面的有序數(shù)對的選擇題可以改為填空題：在電影票上，將7排8號記為(7，8)，那么8排7號記為____.

也可以改為選擇題：在電影票上，將7排8號記為(7，8)，那么8排7號記為（ ）.

（A）(7，8) （B）(8，7)

（C）7，8或者8，7 （D）(7，8)或(8，7)

這樣，我們在有序數(shù)對的具體應(yīng)用過程中來考查學(xué)生是否掌握了有序數(shù)對的表示方法.

案例5：平面直角坐標(biāo)系教學(xué)片斷.

教師講完平面直角坐標(biāo)系的概念之后，出示一道選擇題.以下四個選項(xiàng)中，平面直角坐標(biāo)系是（ ）.

問題分析：與有序數(shù)對概念類似，平面直角坐標(biāo)系的概念也是一種表示方法和工具，是一種規(guī)定性的概念，也具有一定的過程性特征.

教學(xué)建議：對于上面的平面直角坐標(biāo)系的表示方法問題，可以讓學(xué)生自己畫一個平面直角坐標(biāo)系，或者讓學(xué)生在解決實(shí)際問題中建立一個直角坐標(biāo)系，從而考查學(xué)生是否掌握了平面直角坐標(biāo)系的表示方法.

四、概念應(yīng)用中缺失有效的反饋與評價

概念學(xué)習(xí)完之后，教師通常會設(shè)計一些拓展性的練習(xí)題，來診斷學(xué)生對概念的內(nèi)涵是否理解.下面以等可能事件的概率的第2課時的教學(xué)為例進(jìn)行剖析.

案例6：“等可能事件的概率（2）”教學(xué)片斷.

在第一節(jié)課中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等可能事件的概念和計算方法，這節(jié)課學(xué)生將進(jìn)一步理解等可能事件的含義和等可能事件概率的計算方法，并應(yīng)用其解決簡單的問題.

教學(xué)片斷1.

師：盒子里一共有7個球，4個紅球，3個白球，那么摸到紅球和白球的概率各為多少？

幾乎所有的學(xué)生都異口同聲地回答道，概率各為當(dāng)教師問學(xué)生答案根據(jù)的時候，部分學(xué)生保持沉默.

生1：摸到紅球的概率不就是等于紅球的總數(shù)除以總的個數(shù)嘛.

這時，教師沒有進(jìn)一步澄清生1在概念理解中存在的模糊，僅僅是在ppt上指出要將紅球分別標(biāo)出1，2，3，4，白球分別標(biāo)出1，2，3，之后再計算紅球的概率和白球的概率，并強(qiáng)調(diào)給球標(biāo)出數(shù)字是答題的需要.

問題分析：很顯然，學(xué)生對于等可能事件的概率的認(rèn)識還停留在小學(xué)階段，即摸到某種顏色的球的概率通常是利用該顏色球的個數(shù)除以所有球的個數(shù)，而對于為什么能夠應(yīng)用等可能事件的概率的計算方法解決該問題，似乎沒有深入理解.運(yùn)用等可能事件的概率計算方法求解隨機(jī)事件的概率，首先，需要判斷該隨機(jī)事件是否是等可能事件，其判斷的重要條件之一就是每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同.因?yàn)檫@些球除顏色外大小、質(zhì)地等完全相同，所以每個球被摸到的可能性相同.在該問題解決中，給球編號是便于我們對這個試驗(yàn)，以及這種概率計算方法進(jìn)行分析.

教學(xué)建議：對于上面的紅球和白球的問題，教師在發(fā)現(xiàn)學(xué)生對等可能事件概念理解出現(xiàn)問題的時候，應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生分析這個摸球問題是否符合等可能事件的條件，如果符合，那么就可以用等可能事件概率來解決.為此，學(xué)生首先要弄清楚哪些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，顯然不是摸到紅球的可能性與摸到白球的可能性相同，而是摸到其中任意一個球的可能性相同.由于紅球有4個，白球有3個，且每次試驗(yàn)有且只有一個結(jié)果出現(xiàn)，那么，在實(shí)驗(yàn)中如何區(qū)分摸到相同顏色球的結(jié)果呢？我們可以給每一個球標(biāo)號紅1，紅2，紅3，紅4，白1，白2，白3.顯然，摸到紅球的事件包含4種結(jié)果，所以紅球的概率就是同理，摸到白球的概率是

教學(xué)片斷2.

在練習(xí)的時候，教師出示問題：思考能否用7個除顏色外完全相同的球設(shè)計一個摸球游戲，使得摸到紅球的概率和白球的概率各為

生2：我設(shè)計3個紅球，3個白球，1個黃球，這樣摸到紅球和白球的概率各為

當(dāng)教師問摸到黃球怎么辦時候，生2回答摸到黃球的時候放回去，不算數(shù).

教師的反饋是“生2沒有設(shè)計出符合條件的摸球游戲”，至于生2的回答為什么不正確，教師沒有說明.

問題分析：很顯然，學(xué)生對于這個問題的誤解還是源于學(xué)生對等可能事件的概念理解不深刻.

教學(xué)建議：在生2回答“摸到黃球的時候放回去，不算數(shù)”之后，教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)，等可能事件要求每次試驗(yàn)有且只有其中的一種結(jié)果出現(xiàn)，摸到黃球說明這個事件已經(jīng)發(fā)生了，它的結(jié)果已經(jīng)作為一個基本事件在樣本空間中出現(xiàn)了，而我們?nèi)绻近S球就放回去不算，這和等可能事件的概念不符合.

綜上所述，可以看出部分教師對于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)在概念的引入、形成、鞏固、應(yīng)用中存在上文描述的一些問題，而這些問題的產(chǎn)生源于教師對于數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的心理過程缺乏深刻理解.因此，加強(qiáng)教師對于數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，對于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的心理過程的充分認(rèn)識，是概念有效教學(xué)的前提.

［1］中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］邵光華，章建躍.數(shù)學(xué)概念的分類、特征及其教學(xué)探討［J］.課程·教材·教法，2009（7）:47-51.

［3］潘玉恒，楊珂玲.論數(shù)學(xué)概念的定義方式［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2012（4）:32-35.