（湖北省孝感市文昌中學(xué)）

問題有一堵長為12m的墻，利用這堵墻和長為60m的籬笆圍成一個矩形養(yǎng)雞場，怎樣圍面積最大？最大面積是多少？

這是由人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）的內(nèi)容演變而來的一道題.祝立新老師在2017年《中國數(shù)學(xué)教育》（初中版）第3期《籬笆怎么圍面積最大》一文中，從四個不同的位置情形入手，進行了非常詳盡的討論分析，并且做了引申和拓展，讀后很受啟發(fā).筆者在受益匪淺之余，也進行了一些思考.

思考1：問題中“利用這堵墻”的含義，整體上看可分為“一邊靠墻”和“一邊包含墻”兩種情形.至于教材中的圖4，通過平移矩形，完全可以轉(zhuǎn)化為前面的兩種情形之一.下面，我們分兩種情況討論如下.

（1）若一邊靠墻，如圖1，同祝老師的分析，得到當AB=12m，養(yǎng)雞場面積最大為288m2；

圖1

（2）若一邊包含著墻，如圖2所示.從整體上看，墻可以看成是邊DC上運動的“線段”，邊長與墻長的差即為矩形這一邊所用的籬笆長.

圖2

設(shè)AB=xm，

則AD+x+BC+(x-12)=60.

所以AD=BC=(36-x) m.

所以S矩形ABCD=x(36-x)=-(x-18)2+324.

因為-1＜0，

所以當x=18時，S矩形ABCD有最大值324.

綜上歸納，可得當矩形的長和寬都是18m時，養(yǎng)雞場面積最大，最大面積是324 m2.

思考2：上述結(jié)論中，養(yǎng)雞場面積最大時，所建矩形的“一邊包含墻”，并且其形狀正好是一個正方形.聯(lián)想到“周長一定的所有矩形中，正方形的面積最大”，于是閃現(xiàn)出一個整體思想新解法.

解：把這堵墻看成一段特殊的籬笆，

則共有籬笆72m.

設(shè)這些籬笆圍成的矩形的一邊長為xm，

則矩形的另一邊長為(36-x) m.

所以S矩形ABCD=x(36-x)=-(x-18)2+324.

因為-1＜0，

所以當x=18時，S矩形ABCD有最大值324，此時矩形為邊長等于18的正方形.

因為18＞12，

所以這堵墻可以成為上述正方形一邊上的一部分.

所以以這堵墻為基礎(chǔ)，圍建成邊長為18m的正方形，便得到了符合題意的面積最大的養(yǎng)雞場.

思考3：上面運用數(shù)學(xué)整體思想方法，算“總賬”，巧轉(zhuǎn)化，避免了局部分析過程中的分類討論之“繁”，簡潔明了，并且還原了問題內(nèi)含的本質(zhì).運用這種整體轉(zhuǎn)化思想方法解決祝老師文中的拓展問題，也可以使得其過程簡化.

拓展1：有一堵長為am的墻，利用這堵墻和長為60m的籬笆圍成一個矩形養(yǎng)雞場，怎樣圍面積最大，最大面積是多少？

解析：先把這堵墻看成一段特殊的籬笆，

則共有籬笆(a+60) m.

同上面的研究方法得到當這些籬笆圍成邊長為的正方形時，其面積最大.

再分類討論如下.

（1）若即當a≤20時，同上，以這堵墻為基礎(chǔ)，圍建成邊長為的正方形，便得到了符合題意的面積最大的養(yǎng)雞場.

此時養(yǎng)雞場最大面積為

（2）若即當a＞20時，由于“墻”不能彎曲，所以上述正方形無法圍成，于是問題轉(zhuǎn)化為矩形“一邊靠墻”類型問題.

同圖1，設(shè)AB=xm，

則

所以

再分類討論如下.

①如果20＜a＜30，則0＜x≤a.

函數(shù)在此區(qū)間單調(diào)遞增，

所以當x=a時，此時矩形兩鄰邊長分別為am，養(yǎng)雞場最大面積為

②如果a≥30，因為

所以當x=30時，S矩形ABCD有最大值450，此時矩形的長為30m，寬為15m，養(yǎng)雞場最大面積是450 m2.

思考4：如果這堵墻的長度不變，而籬笆長是一個變數(shù)，情況又怎么樣？我們進行另一個層面的拓展如下.

拓展2：有一堵長為12m的墻，利用這堵墻和長為am的籬笆圍成一個矩形養(yǎng)雞場，怎樣圍面積最大，最大面積是多少？

解析：先把這堵墻看成一段特殊的籬笆，則共有籬笆(a+12)m.

同上面的研究方法得到當這些籬笆圍成邊長為的正方形時，其面積最大.

再分類討論如下.

（1）若即當a≥36時，同上分析，以這堵墻為基礎(chǔ)，圍建成邊長為的正方形，便得到了符合題意的面積最大的養(yǎng)雞場.此時養(yǎng)雞場最大面積為

（2）若即當a＜36時，同上，問題轉(zhuǎn)化為矩形“一邊靠墻”類問題.

如圖1，設(shè)AB=x，

則

所以

再分類討論如下.

①如果則24＜a＜36.

因為0＜x≤12，

所以函數(shù)在此區(qū)間單調(diào)遞增.

所以當x=12時，矩形ABCD的面積有最大值，最大值為

此時矩形兩鄰邊長分別為12 m，養(yǎng)雞場最大面積為(6a-72) m2.

②如果即0＜a≤24.

因為

所以當時，S矩形ABCD有最大值此時矩形的長為寬為養(yǎng)雞場最大面積是

思考5：如果這堵墻呈“L”形，又將會出現(xiàn)什么情況？看下面的拓展.

拓展3：如圖3，有一堵總長為24 m的“L”形墻ECF，其中EC⊥CF，且EC=CF，利用這堵墻和長為am的籬笆圍成一個矩形養(yǎng)雞場，怎樣圍面積最大？最大面積是多少？

圖3

解析：類似于上面的分析，先把這堵墻看成一段特殊的籬笆，則共有籬笆()a+24 m.

同上面的研究得到當這些籬笆圍成邊長為的正方形時，其面積最大.

再分類討論如下.

（1）若即a≥24時，同上，以這堵“L”形墻為基礎(chǔ)，圍建成邊長為的正方形，便得到了符合題意的面積最大的養(yǎng)雞場，此時養(yǎng)雞場最大面積為

（2）若即當a＜24時，同上，矩形與“L”墻的位置關(guān)系歸納為兩種：矩形“僅有一邊靠墻”或矩形“相鄰兩邊都靠墻”.

由于CE=CF，不失一般性，不妨假設(shè)CD邊總是靠墻CE，如圖4和圖5所示.

圖4

圖5

注意上面第（1）種情況中的一個特例：當a=24時，取得最大面積的養(yǎng)雞場恰好是以“L”形墻為相鄰邊的正方形（此時矩形相鄰兩邊都靠墻）.

因此，我們可以肯定，當a＜24時，矩形若要取得最大面積，其相鄰兩邊都要靠墻，如圖5所示.

設(shè)AB=x，

則AD=a-x.

所以

顯然當時，S矩形ABCD有最大值此時矩形的長和寬都為最大面積是

籬笆圍成矩形面積最大值問題，確實是一個易被學(xué)生操作理解，易于形成數(shù)學(xué)模型的綜合性載體.實際上，我們還可以尋找新的觀察點再深入研究，這里不再贅述.

［1］祝立新.籬笆怎么圍面積最大［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2017（3）：9-11.