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        讀《籬笆怎么圍面積最大》的思考

        2018-06-08 02:47:27
        關(guān)鍵詞:分類

        (湖北省孝感市文昌中學(xué))

        問題有一堵長為12m的墻,利用這堵墻和長為60m的籬笆圍成一個矩形養(yǎng)雞場,怎樣圍面積最大?最大面積是多少?

        這是由人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級上冊(以下統(tǒng)稱“教材”)的內(nèi)容演變而來的一道題.祝立新老師在2017年《中國數(shù)學(xué)教育》(初中版)第3期《籬笆怎么圍面積最大》一文中,從四個不同的位置情形入手,進行了非常詳盡的討論分析,并且做了引申和拓展,讀后很受啟發(fā).筆者在受益匪淺之余,也進行了一些思考.

        思考1:問題中“利用這堵墻”的含義,整體上看可分為“一邊靠墻”和“一邊包含墻”兩種情形.至于教材中的圖4,通過平移矩形,完全可以轉(zhuǎn)化為前面的兩種情形之一.下面,我們分兩種情況討論如下.

        (1)若一邊靠墻,如圖1,同祝老師的分析,得到當AB=12m,養(yǎng)雞場面積最大為288m2;

        圖1

        (2)若一邊包含著墻,如圖2所示.從整體上看,墻可以看成是邊DC上運動的“線段”,邊長與墻長的差即為矩形這一邊所用的籬笆長.

        圖2

        設(shè)AB=xm,

        則AD+x+BC+(x-12)=60.

        所以AD=BC=(36-x) m.

        所以S矩形ABCD=x(36-x)=-(x-18)2+324.

        因為-1<0,

        所以當x=18時,S矩形ABCD有最大值324.

        綜上歸納,可得當矩形的長和寬都是18m時,養(yǎng)雞場面積最大,最大面積是324 m2.

        思考2:上述結(jié)論中,養(yǎng)雞場面積最大時,所建矩形的“一邊包含墻”,并且其形狀正好是一個正方形.聯(lián)想到“周長一定的所有矩形中,正方形的面積最大”,于是閃現(xiàn)出一個整體思想新解法.

        解:把這堵墻看成一段特殊的籬笆,

        則共有籬笆72m.

        設(shè)這些籬笆圍成的矩形的一邊長為xm,

        則矩形的另一邊長為(36-x) m.

        所以S矩形ABCD=x(36-x)=-(x-18)2+324.

        因為-1<0,

        所以當x=18時,S矩形ABCD有最大值324,此時矩形為邊長等于18的正方形.

        因為18>12,

        所以這堵墻可以成為上述正方形一邊上的一部分.

        所以以這堵墻為基礎(chǔ),圍建成邊長為18m的正方形,便得到了符合題意的面積最大的養(yǎng)雞場.

        思考3:上面運用數(shù)學(xué)整體思想方法,算“總賬”,巧轉(zhuǎn)化,避免了局部分析過程中的分類討論之“繁”,簡潔明了,并且還原了問題內(nèi)含的本質(zhì).運用這種整體轉(zhuǎn)化思想方法解決祝老師文中的拓展問題,也可以使得其過程簡化.

        拓展1:有一堵長為am的墻,利用這堵墻和長為60m的籬笆圍成一個矩形養(yǎng)雞場,怎樣圍面積最大,最大面積是多少?

        解析:先把這堵墻看成一段特殊的籬笆,

        則共有籬笆(a+60) m.

        同上面的研究方法得到當這些籬笆圍成邊長為的正方形時,其面積最大.

        再分類討論如下.

        (1)若即當a≤20時,同上,以這堵墻為基礎(chǔ),圍建成邊長為的正方形,便得到了符合題意的面積最大的養(yǎng)雞場.

        此時養(yǎng)雞場最大面積為

        (2)若即當a>20時,由于“墻”不能彎曲,所以上述正方形無法圍成,于是問題轉(zhuǎn)化為矩形“一邊靠墻”類型問題.

        同圖1,設(shè)AB=xm,

        所以

        再分類討論如下.

        ①如果20<a<30,則0<x≤a.

        函數(shù)在此區(qū)間單調(diào)遞增,

        所以當x=a時,此時矩形兩鄰邊長分別為am,養(yǎng)雞場最大面積為

        ②如果a≥30,因為

        所以當x=30時,S矩形ABCD有最大值450,此時矩形的長為30m,寬為15m,養(yǎng)雞場最大面積是450 m2.

        思考4:如果這堵墻的長度不變,而籬笆長是一個變數(shù),情況又怎么樣?我們進行另一個層面的拓展如下.

        拓展2:有一堵長為12m的墻,利用這堵墻和長為am的籬笆圍成一個矩形養(yǎng)雞場,怎樣圍面積最大,最大面積是多少?

        解析:先把這堵墻看成一段特殊的籬笆,則共有籬笆(a+12)m.

        同上面的研究方法得到當這些籬笆圍成邊長為的正方形時,其面積最大.

        再分類討論如下.

        (1)若即當a≥36時,同上分析,以這堵墻為基礎(chǔ),圍建成邊長為的正方形,便得到了符合題意的面積最大的養(yǎng)雞場.此時養(yǎng)雞場最大面積為

        (2)若即當a<36時,同上,問題轉(zhuǎn)化為矩形“一邊靠墻”類問題.

        如圖1,設(shè)AB=x,

        所以

        再分類討論如下.

        ①如果則24<a<36.

        因為0<x≤12,

        所以函數(shù)在此區(qū)間單調(diào)遞增.

        所以當x=12時,矩形ABCD的面積有最大值,最大值為

        此時矩形兩鄰邊長分別為12 m,養(yǎng)雞場最大面積為(6a-72) m2.

        ②如果即0<a≤24.

        因為

        所以當時,S矩形ABCD有最大值此時矩形的長為寬為養(yǎng)雞場最大面積是

        思考5:如果這堵墻呈“L”形,又將會出現(xiàn)什么情況?看下面的拓展.

        拓展3:如圖3,有一堵總長為24 m的“L”形墻ECF,其中EC⊥CF,且EC=CF,利用這堵墻和長為am的籬笆圍成一個矩形養(yǎng)雞場,怎樣圍面積最大?最大面積是多少?

        圖3

        解析:類似于上面的分析,先把這堵墻看成一段特殊的籬笆,則共有籬笆()a+24 m.

        同上面的研究得到當這些籬笆圍成邊長為的正方形時,其面積最大.

        再分類討論如下.

        (1)若即a≥24時,同上,以這堵“L”形墻為基礎(chǔ),圍建成邊長為的正方形,便得到了符合題意的面積最大的養(yǎng)雞場,此時養(yǎng)雞場最大面積為

        (2)若即當a<24時,同上,矩形與“L”墻的位置關(guān)系歸納為兩種:矩形“僅有一邊靠墻”或矩形“相鄰兩邊都靠墻”.

        由于CE=CF,不失一般性,不妨假設(shè)CD邊總是靠墻CE,如圖4和圖5所示.

        圖4

        圖5

        注意上面第(1)種情況中的一個特例:當a=24時,取得最大面積的養(yǎng)雞場恰好是以“L”形墻為相鄰邊的正方形(此時矩形相鄰兩邊都靠墻).

        因此,我們可以肯定,當a<24時,矩形若要取得最大面積,其相鄰兩邊都要靠墻,如圖5所示.

        設(shè)AB=x,

        則AD=a-x.

        所以

        顯然當時,S矩形ABCD有最大值此時矩形的長和寬都為最大面積是

        籬笆圍成矩形面積最大值問題,確實是一個易被學(xué)生操作理解,易于形成數(shù)學(xué)模型的綜合性載體.實際上,我們還可以尋找新的觀察點再深入研究,這里不再贅述.

        [1]祝立新.籬笆怎么圍面積最大[J].中國數(shù)學(xué)教育(初中版),2017(3):9-11.

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