吳文卿

【摘要】本文運(yùn)用行動研究的研究方法，對于APOS理論應(yīng)用于小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)進(jìn)行研究，探索其中的活動階段，精心設(shè)計各層次的活動和環(huán)環(huán)相扣的問題鏈，豐富表象，有效增強(qiáng)學(xué)生的思辨、推理能力。

【關(guān)鍵詞】APOS理論 概念本質(zhì) 追問 推理 思辨

【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）13-0136-02

美國數(shù)學(xué)教育學(xué)家杜賓斯基的APOS理論指出學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程要經(jīng)歷活動、過程、對象、圖式等四個階段。APOS理論當(dāng)中的活動階段相當(dāng)于對概念屬性的具體操作、觀察，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的具體實例階段。這一階段其實就是學(xué)生表象形成階段，變換概念的非本質(zhì)屬性特征，突出本質(zhì)屬性，從而使概念的表征達(dá)到一個較高水平的概括。基于學(xué)生認(rèn)知起點，如何在活動階段層層推進(jìn)，深挖概念的本質(zhì)？如何引領(lǐng)學(xué)生主動探究，使學(xué)生在比較中，思維碰撞中，語言交流中深化對概念本質(zhì)的理解，提升思辨能力？結(jié)合教學(xué)課例談?wù)勔恍┧伎己鸵娊狻?/p>

一、追問中理清本質(zhì)。

皮亞杰認(rèn)為“智慧源自動作”，動手操作是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效手段。為了形成“反省”，學(xué)生必須把自己的實踐操作變成思考的對象，這是認(rèn)知概念的必要條件和前提。如何在直觀操作與抽象概括之間建立橋梁？

《軸對稱圖形》【教學(xué)回放】

怎樣剪出一個軸對稱圖形呢？

1.教師邊示范邊引導(dǎo)學(xué)生觀察。

教師對折一張純色的折紙，思考：為什么要對折？

生：對折后剪出來的兩邊圖形就能完全重合。

接著學(xué)生指導(dǎo)老師畫一半圖形。

師追問：為什么只畫一半圖形？

生：因為剛才對折，剪出來的兩部分是同樣的。

接著老師畫圖、剪、打開，舉著圖形問：是一個對稱圖形嗎？怎樣證明？

學(xué)生提出對折的方法，老師依言對折圖形，指著問：對折后，這是圖形的一半，另一半呢？（學(xué)生指出反過來。）

觀察思考：對折后兩邊圖形的大小怎樣？形狀怎樣？圖案怎樣？

生：對折后兩邊圖形無論是大小、還是形狀、圖案都是完全重合的。

2.PPT呈現(xiàn)樣例，學(xué)生操作。

展示匯報，追問：為什么剪的是對稱圖形？

認(rèn)知確定對折后完全重合才是軸對稱圖形，這是學(xué)生認(rèn)知的難點，教學(xué)中要給予特別關(guān)注，操作的目的是通過折紙片、畫圖和剪紙片的過程，展現(xiàn)了形成一個軸對稱圖形的過程。引導(dǎo)學(xué)生在剪紙活動中認(rèn)識軸對稱圖形，如果學(xué)生對軸對稱圖形的理解只停留在怎樣剪，沒有從概念的本質(zhì)去認(rèn)識，那么這節(jié)課更像手工課。“為什么要對折？”“為什么只畫一半圖形？”“為什么剪的是對稱圖形？”操作的目的是為了數(shù)學(xué)抽象，只有通過步步深入追問操作背后的原理，才能“褪去”一切無關(guān)的非本質(zhì)屬性，讓操作回歸到數(shù)學(xué)本質(zhì)的內(nèi)涵，才能讓學(xué)生站在數(shù)學(xué)的高度去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

二、推理中扣問本質(zhì)。

《標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出：推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理能從深度和廣度兩方面解釋隱藏在表面現(xiàn)象后面的客觀規(guī)律和思想要素。在概念教學(xué)中，將各種直觀模型和驗證方法之間的聯(lián)系加以溝通，引導(dǎo)學(xué)生體會概念的內(nèi)在核心，同時把推理能力的培養(yǎng)有機(jī)融合其中，幫助學(xué)生形成研究論證數(shù)學(xué)問題的科學(xué)方法。

《小數(shù)的性質(zhì)》【教學(xué)回放】

1.創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)沖突。導(dǎo)入：由金箍棒能變長變短引出在整數(shù)末尾添上“0”或去掉“0”，學(xué)生直觀感受變化。在0.1米的末尾試著添上“0”時，金箍棒的長度卻沒有發(fā)生變化。

思考：為什么“0.1米=0.10米=0.100米”？

2.操作觀察，初步感知

師：能不能用學(xué)過的知識來解決？

（1）學(xué)生自由選擇材料操作驗證。

①在米尺圖找一找0.1米、0.10米、0.100米的實際長度，比一比；②在方格圖上涂色表示這三個小數(shù)，比一比；③在數(shù)位順序表填這三個小數(shù)，比一比。

（2）學(xué)生匯報

①米尺圖組

生：在米尺圖指著10cm的距離，這是1dm，也是10cm，也是100mm，對應(yīng)的小數(shù)分別是0.1m、0.10m、0.100m，所以：0.1m=0.10m=0.100m

追問：結(jié)合0.1m、0.10m、0.100m的具體含義，說明它們是如何相等的？

結(jié)合學(xué)生匯報出示：

0.1m →■m 1dm=10cm

■m=1cm，0.10m 10個■m→10cm

■m=1mm，0.100m 100個■m→100mm=10cm

因為： 1dm=10cm=100mm

所以：0.1m=0.10m=0.100m

師：運(yùn)用單位間換算把用米作單位的小數(shù)改寫成較小單位的整數(shù)比較大小，也就是把小數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)比較。

②方格圖組

生：通過重合發(fā)現(xiàn)這三個小數(shù)表示的涂色部分是相等的，所以這三個小數(shù)是相等的。

追問：它們的意義相同嗎？大小怎么就相等了呢？

③數(shù)位順序表組

生：這三個小數(shù)個位都是0，1都在十分位上，而且0.10、0.100末尾的“0”都表示這個數(shù)位上什么也沒有，所以這三個小數(shù)的大小相等。

追問：它們的意義不同，大小怎么就相等了呢？

結(jié)合方格圖組和數(shù)位順序表組的匯報，PPT出示

0.1→1個■

0.10→10個■→1個■

0.100→100個■→1個■

所以：0.1m=0.10m=0.100m

師：根據(jù)小數(shù)的意義推導(dǎo)出這3個小數(shù)是相等的。

小數(shù)意義的掌握是本節(jié)課知識的支撐點，小數(shù)的性質(zhì)是對小數(shù)意義的進(jìn)一步認(rèn)識。通過前測可知，68%的學(xué)生盡管知道小數(shù)的末尾添上“0”或者去掉“0”，小數(shù)的大小不變，但小數(shù)的形式發(fā)生變化后為什么大小不變？大部分學(xué)生未能說清楚。因此本課的難點是理解在小數(shù)部分什么位置添“0”去“0”，小數(shù)大小不變。在大問題“能不能用學(xué)過的知識來解決？”統(tǒng)領(lǐng)下，提供數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具學(xué)生自由選擇操作驗證。學(xué)生都圍繞大問題經(jīng)歷用轉(zhuǎn)換單位比較、利用小數(shù)意義等值推導(dǎo)等數(shù)學(xué)工具證明小數(shù)性質(zhì)的過程，在推理論證中扣問小數(shù)意義的本質(zhì)，同時增強(qiáng)邏輯推理能力。

三、思辨中深入本質(zhì)。

學(xué)生學(xué)習(xí)概念要經(jīng)歷一個復(fù)雜的認(rèn)知過程才能實現(xiàn)從感性向理性的過渡，教師除了要提供典型、豐富的實例豐富學(xué)生的感知，同時還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多層次的辨析，層層深入本質(zhì)，使學(xué)生對概念內(nèi)涵的理解從文字層面進(jìn)入實質(zhì)層面。

《用字母表示數(shù)》【教學(xué)回放】

1.感知用字母來表示不確定的數(shù)。

（用字母a來表示吳老師的年齡）。

2.感知同一事件，不同的字母表示不同的數(shù)。

辨析：用a表示周老師的年齡可以嗎？

學(xué)生都明確不可以。

師：在同一問題中，通常用不同的字母表示不同的數(shù)，在這里用除a外的字母表示更合適（板：y）。

思考：如果a和y比較大小會怎樣？它們之間的關(guān)系確定嗎？

學(xué)生匯報3種情況并表示關(guān)系不確定。

3.具體情境中字母式。

（1）補(bǔ)充信息，明析歲數(shù)之間的關(guān)系。

（2）師生共同舉例，從個別到一般概括所有的情況。（吳老師a歲，周老師（a+7）歲）

追問：為什么a+7能表示周老師的歲數(shù)？

生：a是吳老師的歲數(shù)，加上她們的年齡差7歲就等于周老師的歲數(shù)。

師：哦，是因為根據(jù)她們的數(shù)量關(guān)系“吳老師的歲數(shù)+吳老師與周老師相差的歲數(shù)=周老師的歲數(shù)”得來的。

（3）辨析中明確字母式的優(yōu)勢。

思考討論：用字母a表示吳老師的年齡，在增加了一個信息后也增加了一種表達(dá)方式，字母式a+7。比較y和a+7，有什么不同？你更喜歡哪種表達(dá)方式？為什么？

生各執(zhí)一詞，有的喜歡y，因為看起來簡潔；有的喜歡a+7，因為更具體。

小結(jié)：a+7不僅表示了周老師的年齡，還能表示兩位老師之間的年齡關(guān)系。

4.理解升華。

（1）遷移解讀神秘人的年齡信息（神秘人的年齡是（a-14）歲）。

思考：從a-14你讀懂了什么？你能像剛才那樣用數(shù)量關(guān)系式表述神秘人的年齡嗎？

生：吳老師的歲數(shù)-14=神秘人的歲數(shù)

（2）師生共同舉例，以表格形式羅列吳老師和神秘人的具體年齡。

（3）觀察思考：吳老師的年齡在變，神秘人的年齡在變，但什么不變？

生：神秘人和吳老師的年齡差不變。

（4）變換方式

如果用y表示神秘人的年齡，吳老師和周老師的年齡怎么表示？

吳老師的年齡是（y+14）歲，周老師的年齡是（y+21）歲。

追問：為什么可以這樣表示？

生：因為吳老師比神秘人大14歲，所以用神秘人的歲數(shù)+14=吳老師的歲數(shù)；周老師比神秘人大21歲，所以用神秘人的歲數(shù)+21=周老師的歲數(shù)。

追問：周老師的年齡為什么一會兒加7，一會兒加21??？

生：因為加7是跟吳老師的年齡a歲比的，加21是跟神秘人的年齡y歲比的。

師：說得真好！字母表示的數(shù)量發(fā)生了變化，字母式也會發(fā)生相應(yīng)的變化。有什么是始終不變的？

生：他們之間的年齡差始終不變。

《用字母表示數(shù)（一）》的教學(xué)難點是結(jié)合具體情境，理解含有字母的式子不僅能表示數(shù)量，還能表示數(shù)量關(guān)系。其核心本質(zhì)是表示數(shù)量關(guān)系。在這一環(huán)節(jié)中筆者安排了三次思辨，在思辨中層層遞進(jìn)加深對用字母表示數(shù)的本質(zhì)理解。

1.兩位老師的年齡問題呈現(xiàn)同一問題情境，學(xué)生在思辨中感悟到同一事件，不同的字母表示不同的數(shù)，而且之間存在不確定的比較關(guān)系。

2.比較y和a+7。這沖突問題是學(xué)生認(rèn)知的生長點，首次嘗試了用字母表示數(shù)過渡到用字母式表示數(shù)。體會兩者之間的區(qū)別，字母式既可表示數(shù)量，又可以表示數(shù)量間的關(guān)系，因此，在同一事件中兩個數(shù)若有聯(lián)系，盡量用字母式表示比較方便。

3.變換表示方式。在系列化的年齡問題情境中，學(xué)生重復(fù)多次根據(jù)兩人之間的年齡關(guān)系式寫出對應(yīng)的字母式并對這一活動進(jìn)行反省，都是在同一思維水平下的操作活動，“周老師的年齡為什么一會兒加7，一會兒加21??？”這樣的思辨是對用字母式表示數(shù)的深入探究，促使學(xué)生更靈活地理解函數(shù)思想和對應(yīng)思想視角下的用字母式表示數(shù)的本質(zhì)。

綜上所述，APOS理論應(yīng)用于概念教學(xué)，將數(shù)學(xué)知識和探究活動有效結(jié)合，更能深入概念形成過程的內(nèi)部本質(zhì)，更能反映學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)概念的思維過程。在活動階段基于學(xué)生的認(rèn)知起點，精心設(shè)計各層次的活動和環(huán)環(huán)相扣的問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生把操作、思維、語言三者有機(jī)結(jié)合起來，不斷積累活動經(jīng)驗，豐富表象，為數(shù)學(xué)概念的形成提供反省抽象的對象，有效增強(qiáng)學(xué)生的思辨、推理能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]《小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)：行與思》林武著 —北京：教育科學(xué)出版社2014.3

[2]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.