沈海全

(浙江省紹興市越州中學(xué) 312000)

一、教材習(xí)題呈現(xiàn)

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)·選修2-2·A版》(人民教育出版社，2007年1月第二版)第32頁習(xí)題1.3.B第1(3)題：利用函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式ex>1+x,x≠0，并通過函數(shù)圖象直觀驗(yàn)證.

這個(gè)不等式的證明非常容易，只要構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex-x-1，由f′(x)=ex-1知，當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)<0，則f(x)≥f(x)min=f(0)=0，即ex>1+x,x≠0.

二、教材習(xí)題拓展

下面根據(jù)結(jié)論：ex≥1+x(x∈R) ①進(jìn)行拓展變形得到以下重要結(jié)論，

根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式互化，可得

ex≥1+x?x≥ln(1+x)(x>-1)③,

注：上述不等式當(dāng)且僅當(dāng)x=0等號成立.

三、高考真題鏈接

下面利用以上結(jié)論解決高考試題.

評注本題是教材習(xí)題的直接體現(xiàn)，比較大小則是不等式的應(yīng)用.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

由⑥得,x∈[1,2]時(shí)，lnx≤x-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號成立.

只需證3x3-6x2-2x+4<0，只需證(3x2-2)(x-2)<0.

評注利用教材習(xí)題的結(jié)論.問題轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式不等式恒成立問題，直接揭示問題背景，巧妙得解.

解(1)利用數(shù)學(xué)歸納法和反證法可證得，具體過程略.

所以當(dāng)n≥2時(shí),

評注本題第二小題利用教材習(xí)題的結(jié)論問題變得簡單，避開了構(gòu)造函數(shù)的解題策略.

例4 (2017高考全國卷(Ⅲ)第21題)已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx.

(1)若f(x)≥0，求a的值；

綜上所述，a=1.

評注利用教材習(xí)題的結(jié)論第一小題解法顯得非常巧妙，無需研究函數(shù)性質(zhì)，給人耳目一新的感覺.

從根本上講，高考試題是萬變不離其宗的，再復(fù)雜的問題也是從課本知識點(diǎn)、能力考查點(diǎn)衍生而來. 因此，我們要切實(shí)做到重視課本，但僅此還不夠. 因?yàn)楦呖济}還要由知識立意向能力立意轉(zhuǎn)變. 有些問題，特別是有深刻背景的問題，要在課本的基礎(chǔ)上有所變化，有所“拔高”. 當(dāng)然又不能高到“高處不勝寒”的境界.

參考文獻(xiàn)：

[1]浙江省教育廳.浙江省新高考學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見[Z].杭州：浙江教育出版社，2014.

[2]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(數(shù)學(xué)選修2-2)[M]. 北京：人民教育出版社，2008.