蔣 濤，肖學(xué)年，黨亞民，章傳銀，劉站科

1. 中國測繪科學(xué)研究院，北京 100830； 2. 國家測繪地理信息局第一大地測量隊(duì)，陜西 西安 710054

經(jīng)濟(jì)高效的航空重力測量能夠覆蓋地面重力測量難以到達(dá)地區(qū)，可提供精確的地球重力場中、短波信息，已經(jīng)成為大規(guī)模重力數(shù)據(jù)采集的主要手段。大地測量和地球物理勘探等領(lǐng)域需要高精度的航空重力測量數(shù)據(jù)，對航空重力空中測線數(shù)據(jù)質(zhì)量進(jìn)行客觀評價是保證航空重力數(shù)據(jù)應(yīng)用水平的重要環(huán)節(jié)。

航空重力數(shù)據(jù)的內(nèi)符合精度一般采用重復(fù)測線對比和交叉點(diǎn)不符值分析來評價[1-5]，外符合精度則需要利用其他獨(dú)立觀測值進(jìn)行評定[6-8]。一種評價航空重力數(shù)據(jù)外符合精度的方案是將航空重力觀測值向下延拓至地面或大地水準(zhǔn)面上，與地面重力觀測進(jìn)行對比檢核[9-16]。該方案的問題在于向下延拓是一個數(shù)據(jù)噪聲得到放大的不適定過程，無論采用何種正則化解法或平滑方法都只是在一定程度上削弱或控制向下延拓誤差，與地面重力觀測的對比結(jié)果必然包含向下延拓誤差，其量級與飛行高度和觀測噪聲有關(guān)，難以真實(shí)反映航空重力空中測線觀測值的精度水平。

另外一種方法是將地面重力數(shù)據(jù)向上延拓至空中，與航空重力數(shù)據(jù)進(jìn)行對比。不同于向下延拓，向上延拓是非常穩(wěn)定的，在沒有積分邊界效應(yīng)的情況下，即數(shù)據(jù)范圍相對于計算范圍有足夠的冗余，向上延拓誤差主要來源于地面重力格網(wǎng)化插值誤差和代表性誤差。此外，由于重力場譜組合理論和譜權(quán)確定方法取得的最新進(jìn)展[17-18]，直接利用空中重力數(shù)據(jù)，不經(jīng)過顯式的向下延拓，已能夠穩(wěn)定解算區(qū)域重力場和大地水準(zhǔn)面。因此，如何對航空重力空中測線數(shù)據(jù)外符合精度進(jìn)行客觀評價值得研究。

本文介紹3種基于地面重力向上延拓的航空重力測線數(shù)據(jù)外符合精度評估方法：基于梯度、基于泊松積分和基于快速傅里葉變換(FFT)的地面重力向上延拓?；谶@3種方法，提出交叉檢驗(yàn)方法估計地面重力數(shù)據(jù)誤差及其空中誤差傳播，對毛烏素測區(qū)的航空重力空中測線數(shù)據(jù)進(jìn)行外符合精度評價。

1 基于梯度的地面重力向上延拓

若在航空重力測區(qū)布設(shè)有密集的地面重力點(diǎn)，由于地面重力觀測精度高，可利用地面重力數(shù)據(jù)對航空重力空中測線觀測值的精度進(jìn)行驗(yàn)證。一種方法是將地面重力擾動向上延拓至空中，與實(shí)測空中測線重力擾動進(jìn)行比較。航空重力測量中采用差分GNSS動態(tài)定位方式獲取測線采樣點(diǎn)處的大地高，因此本文中的測線重力觀測值均為重力擾動，而不是重力異常。

地面重力擾動向上延拓可采用梯度法，計算地面重力擾動沿橢球法線方向上的梯度，按照點(diǎn)對點(diǎn)延拓方式將地面重力擾動向上延拓至空中?？罩信c地面重力擾動滿足如下Taylor級數(shù)展開式

(1)

(2)

式中，l0為計算點(diǎn)到流動點(diǎn)的空間距離。式(2)屬于積分計算，應(yīng)先將地面重力擾動格網(wǎng)化后再代入計算。

地面重力點(diǎn)數(shù)量一般遠(yuǎn)小于航空重力測線點(diǎn)數(shù)量，因此需要將航空重力測線觀測值內(nèi)插到地面重力的空中延拓點(diǎn)處，再對二者做差

Δ=δgair-δgTerU

(3)

2 基于泊松積分的地面重力向上延拓

除了基于梯度的點(diǎn)對點(diǎn)向上延拓外，還可利用泊松積分將地面重力數(shù)據(jù)向上延拓至空中測線處[19]。理論上泊松積分需要輸入全球均勻分布的數(shù)據(jù)，但實(shí)際中地面重力數(shù)據(jù)僅覆蓋局部區(qū)域，因此一般需采用移去恢復(fù)法進(jìn)行計算，選定某個地球重力場模型作為參考重力場，地面重力數(shù)據(jù)覆蓋范圍以外由重力場模型貢獻(xiàn)，高頻地形影響采用殘余地形模型(RTM)方法計算[20]。移去恢復(fù)法的另外一個優(yōu)勢在于，移去參考重力場和高頻地形影響后的殘余地面重力擾動量級很小，在格網(wǎng)化插值、泊松積分計算時引入的誤差也很小。

(4)

(5)

式中，ρ為平均地形密度；(xP,yP,zP)和(x,y,z)分別為計算點(diǎn)與流動點(diǎn)的局部直角坐標(biāo)；HP為計算點(diǎn)的真實(shí)地形高度；HRef為計算點(diǎn)的平均地形高度。

圖1描述了基于泊松積分的地面重力數(shù)據(jù)向上延拓原理。地面重力數(shù)據(jù)分布在具有地形起伏的地球表面，需將地面重力擾動解析延拓歸算到當(dāng)?shù)仄骄匦胃叨让嫔稀Ｊ紫壤檬?2)由殘余地面重力擾動計算得到梯度，再根據(jù)地面重力點(diǎn)與平均地形高度面之間的高度差，類似于式(1)計算解析延拓改正量，將殘余地面重力擾動統(tǒng)一歸算到當(dāng)?shù)仄骄匦胃叨让妗?/p>

圖1 基于泊松積分的地面重力向上延拓示意圖Fig.1 Schematic diagram of the terrestrial gravity UPC based on Poisson integral

(6)

R=RE+hM

(7)

r=RE+h′

(8)

式中，RE為地球平均半徑；hM為地面點(diǎn)的平均大地高；h′為空中點(diǎn)的大地高；σ表示單位球積分區(qū)域；dσ=cosφ′dφ′dλ′為單位球積分面元；l為球面σ上的流動點(diǎn)到空中計算點(diǎn)的距離。

殘余地面重力擾動向上延拓到空中后，還需要在空中點(diǎn)位處恢復(fù)參考重力場模型和高頻地形影響的貢獻(xiàn)，得到最終的地面重力擾動向上延拓值δgTerU

(9)

3 基于FFT的地面重力向上延拓

在平面直角坐標(biāo)系中，泊松積分公式寫為

δg(x,y,Δh)=

(10)

式中,(x,y)表示平面坐標(biāo)；Δh為向上延拓高度，即平均地形高度面到平均飛行高度面的距離。式(10)可寫成空域內(nèi)卷積的形式[21]

δg(x,y,Δh)=w(x,y)*δg(x′,y′,0)

(11)

式中，*為卷積號；w(x,y)為泊松核

(12)

利用快速傅里葉變換(FFT)將空域內(nèi)的卷積化為頻域內(nèi)的乘積

F2{δg(x,y,Δh)}=W(u,v)F2{δg(x′,y′,0)}

(13)

式中，F(xiàn)2表示二維傅里葉變換；W(u,v)為泊松核在頻域內(nèi)的表達(dá)式

(14)

因此在頻域內(nèi)重力擾動向上延拓表達(dá)為

(15)

4 地面重力誤差估計及其空中傳播

在飛行高度處，航空重力擾動與地面重力擾動向上延拓值之間的差值由航空重力數(shù)據(jù)誤差和地面重力向上延拓值誤差兩部分構(gòu)成。地面重力向上延拓值誤差主要來源于：①單點(diǎn)地面重力測量誤差；②地面重力解析延拓誤差，即將地球表面的重力觀測值歸算到平均地形高度面引起的誤差；③地面重力格網(wǎng)插值誤差，即對地面重力數(shù)據(jù)進(jìn)行格網(wǎng)化產(chǎn)生的插值誤差；④地面重力代表性誤差，即用格網(wǎng)平均值代替離散點(diǎn)值引起的代表性誤差[22]；⑤向上延拓方法本身引起的誤差。此外，若數(shù)據(jù)范圍有限，靠近數(shù)據(jù)范圍邊界的計算點(diǎn)還會受到邊界效應(yīng)的影響。

單點(diǎn)地面重力測量誤差為10～20 μGal，可以忽略不計。由于采用了移去恢復(fù)法，殘余地面重力擾動量級很小，地面重力解析延拓誤差也可忽略[23]。邊緣計算點(diǎn)的邊界效應(yīng)可采用擴(kuò)大數(shù)據(jù)點(diǎn)范圍或內(nèi)縮計算點(diǎn)范圍的方式來消除。因此，為了估算航空重力數(shù)據(jù)誤差，需要分離的主要是地面重力格網(wǎng)插值誤差和代表性誤差在飛行高度處的影響。

地面重力格網(wǎng)插值誤差和代表性誤差可采用交叉檢驗(yàn)法進(jìn)行估計。具體方法是：若欲估計某個地面重力點(diǎn)的誤差，先利用所有離散地面重力點(diǎn)格網(wǎng)化得到重力格網(wǎng)，再由重力格網(wǎng)內(nèi)插得到該觀測點(diǎn)處的內(nèi)插重力值，原始重力值與內(nèi)插重力值之差τ為

τ=δgOri-δgInt

(16)

式中，δgOri為原始重力擾動值；δgInt為內(nèi)插重力擾動值；差值τ近似由地面重力格網(wǎng)插值誤差和代表性誤差組成。

利用交叉檢驗(yàn)法得到地面重力格網(wǎng)插值誤差和代表性誤差后，還需要利用向上延拓方法得到飛行高度處的地面重力誤差影響。根據(jù)誤差傳播定律，扣除地面重力誤差影響后，空中航空重力擾動數(shù)據(jù)的中誤差可表示為

(17)

式中，σΔ為航空重力與地面重力向上延拓值互差的標(biāo)準(zhǔn)差；στ為地面重力誤差向上延拓傳播到空中點(diǎn)后的標(biāo)準(zhǔn)差。圖2為航空重力數(shù)據(jù)誤差估計的流程。

5 毛烏素測區(qū)航空重力空中測線數(shù)據(jù)外符合精度評價

5.1 測區(qū)和數(shù)據(jù)情況

2015年4月17日至6月11日，國家測繪地理信息局第一大地測量隊(duì)在毛烏素地區(qū)開展了航空重力測量試驗(yàn)性項(xiàng)目。毛烏素測區(qū)位于陜西與內(nèi)蒙古交界處，地貌以沙漠丘陵為主，地形起伏如圖3所示，繪圖采用SRTM數(shù)字高程模型數(shù)據(jù)[24]，該區(qū)域平均地形高度1248 m，最小高度730 m，最大高度2420 m。飛機(jī)選用塞斯納208機(jī)型，機(jī)上搭載GT-2A航空重力測量系統(tǒng)和1臺Ashtech雙頻GPS接收機(jī)，地面架設(shè)2個GPS基準(zhǔn)站。選取鄂爾多斯機(jī)場作為飛機(jī)起降保障機(jī)場，機(jī)場距毛烏素測區(qū)的飛行距離約為80 km。

圖2 航空重力數(shù)據(jù)誤差估計流程Fig.2 Flow chart of airborne gravity error estimation

航空重力空中測線覆蓋范圍為緯線(38.77°N—39.32°N)和經(jīng)線(109.23°E—110.52°E)圍成的區(qū)域，布設(shè)有32條測線，其中東西方向11條，南北方向21條，平均飛行高度為2087 m，平均飛行速度約260 km/h，數(shù)據(jù)采樣率為2 Hz，測線間距為5 km，共包含71 773個數(shù)據(jù)點(diǎn)，測線數(shù)據(jù)采用100 s的卡爾曼濾波消除高頻噪聲。在地面上按照5 km平均間距布設(shè)了459個地面重力點(diǎn)，向航空重力數(shù)據(jù)范圍四周各延伸10 km，覆蓋范圍為緯線(38.67°N—39.41°N)和經(jīng)線(109.12°E—110.63°E)圍成的區(qū)域。在每個地面重力點(diǎn)上實(shí)施了約30 min的GPS靜態(tài)定位觀測以測定其大地高，GPS數(shù)據(jù)處理采用WayPoint軟件，與附近的IGS站點(diǎn)組網(wǎng)解算得到地面點(diǎn)坐標(biāo)，大地高精度約為10 cm，按照索米里安公式[19]嚴(yán)密計算觀測點(diǎn)處的正常重力值，參考橢球選取CGCS2000橢球。航空重力測線與地面重力點(diǎn)的空間分布如圖4所示，其中綠線為航空重力空中測線，紅點(diǎn)為地面重力點(diǎn)。表1列出了航空和地面重力擾動觀測值的統(tǒng)計信息。

表1航空與地面重力擾動統(tǒng)計

Tab.1StatisticsofterrestrialandairbornegravitydisturbancesmGal

參量最小值最大值平均值標(biāo)準(zhǔn)差航空重力擾動-43.3330.874-18.7487.718地面重力擾動-61.07565.686-18.31011.231

5.2 地面重力誤差估計及其空中傳播

利用交叉檢驗(yàn)法估算地面重力數(shù)據(jù)的格網(wǎng)插值誤差和代表性誤差，格網(wǎng)化方法選取反距離加權(quán)插值，選擇這一方法的原因是毛烏素測區(qū)的地面重力點(diǎn)分布比較合理、密集，簡單的反距離加權(quán)插值即可達(dá)到較好的格網(wǎng)化效果，另外該方法對數(shù)據(jù)的處理較為簡單，對數(shù)據(jù)的干預(yù)少，更能保持?jǐn)?shù)據(jù)本身的特性。對459個地面點(diǎn)進(jìn)行反距離加權(quán)插值格網(wǎng)化，得到2′×2′重力擾動格網(wǎng)，再內(nèi)插到離散觀測點(diǎn)處，將內(nèi)插重力擾動與原始重力擾動做差得到地面重力誤差估值。分別采用梯度法、泊松積分法和FFT法，計算得到地面重力誤差對空中點(diǎn)的影響，其中泊松積分法和FFT法需要先將地面重力離散點(diǎn)的誤差估值格網(wǎng)化得到2′×2′誤差格網(wǎng)。表2列出了地面重力擾動誤差估計和3種方法空中誤差傳播的統(tǒng)計信息，地面重力數(shù)據(jù)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差為1.69 mGal，向上延拓傳播到空中點(diǎn)的誤差影響分別為0.66、0.78和0.92 mGal，不能忽略。圖5—圖7分別繪制了3種向上延拓方法所得地面重力擾動誤差對空中點(diǎn)的影響。

表2地面重力擾動誤差及其空中傳播

Tab.2StatisticsoftheerrorestimatesandpropagationofterrestrialgravitydisturbancesmGal

高度面方法點(diǎn)數(shù)最小值最大值平均值標(biāo)準(zhǔn)差地面點(diǎn)誤差交叉檢驗(yàn)法459-16.138.720.001.69空中點(diǎn)誤差梯度法459-6.851.68-0.050.66泊松積分法71773-8.572.32-0.130.78FFT法71773-7.953.28-0.120.92

5.3 航空重力數(shù)據(jù)外符合精度

利用3種向上延拓方案，對毛烏素航空重力空中測線重力擾動觀測值的外符合精度進(jìn)行評價。第1種方案是利用梯度法將地面重力擾動向上延拓至空中相應(yīng)點(diǎn)位，將航空重力測線重力擾動內(nèi)插到空中延拓點(diǎn)處，內(nèi)插值與地面重力擾動向上延拓值進(jìn)行比較，式(1)中的梯度直接采用2′×2′地面重力擾動按照式(2)計算，積分半徑選取0.5°。第2種方案是利用泊松積分法將地面重力擾動向上延拓至空中測線處，再將航空重力測線重力擾動與地面重力擾動向上延拓值進(jìn)行比較，泊松積分計算采用移去恢復(fù)法，球冠積分半徑選取0.5°，參考重力場模型選取EIGEN-6C4[25]，地形數(shù)據(jù)采用3″分辨率的SRTM數(shù)字高程模型[26]。第3種方案是利用FFT方法將地面重力擾動向上延拓至空中，采用與方案2相同的移去恢復(fù)處理。基于這3種向上延拓方案，航空重力擾動與地面重力擾動空中延拓值的差值統(tǒng)計信息見表3。圖8—圖10分別繪制了3種向上延拓方案所得航空與地面重力擾動的差值。如前所述，表3中的差值主要包括航空重力數(shù)據(jù)誤差和地面重力誤差影響，采用式(17)扣除地面重力誤差影響，3種向上延拓方案得到航空重力數(shù)據(jù)的中誤差分別為4.7、2.94和2.83 mGal?？梢钥闯?，扣除了地面重力誤差影響后，在航空與地面重力擾動差值的基礎(chǔ)上，3種方案估計得到的航空重力擾動誤差均有所減小，梯度法所得誤差最大，泊松積分法與FFT法非常接近。

表3航空重力擾動與地面重力向上延拓值的差值統(tǒng)計

Tab.3StatisticsofdifferencesbetweenairbornegravitydisturbancesandUPCvaluesofterrestrialgravitymGal

向上延拓方案點(diǎn)數(shù)最小值最大值平均值標(biāo)準(zhǔn)差梯度法459-35.7517.150.744.75泊松積分法71773-28.628.020.013.04FFT法71773-27.127.33-0.042.98

毛烏素測區(qū)數(shù)據(jù)范圍在緯線方向跨越0.74°、經(jīng)線方向橫跨1.51°，泊松積分公式的球冠積分半徑選取為0.5°，因此上述對比結(jié)果不可避免地包含了因數(shù)據(jù)范圍有限導(dǎo)致的邊界效應(yīng)，見圖8—10。為對航空重力測線觀測值精度進(jìn)行準(zhǔn)確評估，需消除因地面重力向上延拓帶來的邊界效應(yīng)，但因?yàn)槊珵跛販y區(qū)地面重力數(shù)據(jù)范圍有限，本文試驗(yàn)中無法完全消除邊界效應(yīng)，只能削弱其影響。在數(shù)據(jù)點(diǎn)范圍基礎(chǔ)上，將參與對比的計算點(diǎn)范圍內(nèi)縮，可削弱邊界效應(yīng)。圖8—圖10中的矩形區(qū)域?yàn)閮?nèi)縮后的對比計算點(diǎn)范圍。表4分別列出了3種方案內(nèi)縮計算范圍后航空重力擾動與地面重力向上延拓值的差值統(tǒng)計信息。可以看出，3種方案的對比結(jié)果均受到邊界效應(yīng)的影響，梯度法的邊界效應(yīng)更為顯著。將計算點(diǎn)范圍在緯向內(nèi)縮0.1°、經(jīng)向內(nèi)縮0.25°后，航空與地面重力的差值顯著減小。在內(nèi)縮后的區(qū)域，地面重力誤差向上延拓傳播到空中點(diǎn)后的標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.31、0.59和0.71 mGal。結(jié)合表4，利用式(17)扣除地面重力誤差影響，3種向上延拓方案所得航空重力數(shù)據(jù)的中誤差分別為1.62、1.5和1.42 mGal。

圖3 毛烏素測區(qū)SRTM地形起伏圖Fig.3 SRTM topography of Mu Us area

圖4 毛烏素測區(qū)地面重力數(shù)據(jù)與航空重力測線分布圖Fig.4 Distribution of terrestrial gravity and airborne gravity survey lines over Mu Us area

圖5 梯度法的地面重力擾動誤差空中傳播Fig.5 Error propagation of ground gravity disturbance error at flight altitude of gradient method

圖6 泊松積分法的地面重力擾動誤差空中傳播Fig.6 Error propagation of ground gravity disturbance error at flight altitude of Poisson integral method

圖7 FFT法的地面重力擾動誤差空中傳播Fig.7 Error propagation of ground gravity disturbance error at flight altitude of FFT method

圖8 梯度法結(jié)果Fig.8 Results of gradient method

圖9 泊松積分法結(jié)果Fig.9 Results of Poisson integral method

圖10 FFT法結(jié)果Fig.10 Results of FFT method

需要指出的是，這一內(nèi)縮處理無法完全消除邊界效應(yīng)，只是在一定程度上削弱了邊界效應(yīng)，估計得到的航空重力數(shù)據(jù)誤差中還包含有殘余邊界效應(yīng)。此外，從表4中的平均差值可以看出，毛烏素測區(qū)的航空重力與地面重力數(shù)據(jù)之間基本不存在系統(tǒng)偏差，這對于GT-2A航空重力數(shù)據(jù)的后續(xù)應(yīng)用，如大地水準(zhǔn)面建模是非常有益的。

表4內(nèi)縮計算范圍后航空重力擾動與地面重力向上延拓值的差值統(tǒng)計

Tab.4StatisticsofdifferencesbetweenairbornegravitydisturbancesandUPCvaluesofterrestrialgravityaftercomputationareareductionmGal

6 結(jié) 論

利用毛烏素測區(qū)實(shí)測航空和地面重力數(shù)據(jù)，分別對基于梯度、基于泊松積分和基于FFT的地面重力向上延拓這3種航空重力空中測線數(shù)據(jù)外符合精度評價方法進(jìn)行了對比分析，結(jié)果表明：

(1) 航空重力空中測線數(shù)據(jù)外符合精度評定必須扣除地面重力格網(wǎng)插值誤差和代表性誤差對空中點(diǎn)的影響，交叉檢驗(yàn)法可有效估計這兩項(xiàng)主要誤差影響。毛烏素測區(qū)地面重力數(shù)據(jù)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差為1.69 mGal，采用3種向上延拓方案傳播到空中點(diǎn)的誤差影響分別為0.66 mGal、0.78 mGal和0.92 mGal，不能忽略。

(2) 基于泊松積分和基于FFT的地面重力向上延拓方案均能夠客觀評價航空重力空中測線觀測值的外符合精度，二者表現(xiàn)相當(dāng)，梯度法表現(xiàn)稍差。在包含殘余邊界效應(yīng)的情況下，扣除地面重力誤差影響后，毛烏素測區(qū)GT-2A航空重力空中測線重力擾動的外符合精度優(yōu)于1.42 mGal。

(3) GT-2A航空重力觀測值與地面重力觀測值之間的系統(tǒng)偏差很小，這對大地水準(zhǔn)面建模等航空重力數(shù)據(jù)的后期應(yīng)用是非常有益的。

參考文獻(xiàn)：

[1] HWANG C, HSIAO Y S, SHIH H C. Data Reduction in Scalar Airborne Gravimetry: Theory, Software and Case Study in Taiwan[J]. Computers & Geosciences, 2006, 32(10): 1573-1584.

[2] 郭志宏, 熊盛青, 周堅鑫, 等. 航空重力重復(fù)線測試數(shù)據(jù)質(zhì)量評價方法研究[J]. 地球物理學(xué)報, 2008, 51(5): 1538-1543.

GUO Zhihong, XIONG Shengqing, ZHOU Jianxin, et al. The Research on Quality Evaluation Method of Test Repeat Lines in Airborne Gravity Survey[J]. Chinese Journal of Geophysics, 2008, 51(5): 1538-1543.

[3] 蔣濤. 利用航空重力測量數(shù)據(jù)確定區(qū)域大地水準(zhǔn)面[J]. 測繪學(xué)報, 2013, 42(1): 152.

JIANG Tao. Regional Geoid Determination Using Airborne Gravimetry Data[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2013, 42(1): 152.

[4] 歐陽永忠, 鄧凱亮, 陸秀平, 等. 多型航空重力儀同機(jī)測試及其數(shù)據(jù)分析[J]. 海洋測繪, 2013, 33(4): 6-11.

OUYANG Yongzhong, DENG Kailiang, LU Xiuping, et al. Tests of Multi-type Airborne Gravimeters and Data Analysis[J]. Hydrographic Surveying and Charting, 2013, 33(4): 6-11.

[5] 孫中苗, 翟振和, 肖云. 渤海灣航空重力及其在海域大地水準(zhǔn)面精化中的應(yīng)用[J]. 測繪學(xué)報, 2014, 43(11): 1101-1108. DOI: 10.13485/j.cnki.11-208.

SUN Zhongmiao, ZHAI Zhenhe, XIAO Yun. Airborne Gravimetry in Bo Hai Bay and Its Role on the Refining of the Regional Marine Geoid[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2014, 43(11): 1101-1108. DOI: 10.13485/j.cnki.11-208.

[6] 孫中苗, 夏哲仁, 李迎春, 等. 中等山區(qū)航空重力測量的精度分析[J]. 大地測量與地球動力學(xué), 2009, 29(2): 53-56, 65.

SUN Zhongmiao, XIA Zheren, LI Yingchun, et al. Accuracy Evaluation of Airborne Gravimetry over Moderate Mountain Area[J]. Journal of Geodesy and Geodynamics, 2009, 29(2): 53-56, 65.

[7] 孫中苗, 翟振和, 李迎春. 航空重力測量的分辨率和精度分析[J]. 地球物理學(xué)進(jìn)展, 2010, 25(3): 795-798.

SUN Zhongmiao, ZHAI Zhenhe, LI Yingchun. Analysis on the Resolution and Accuracy of Airborne Gravity Survey[J]. Progress in Geophysics, 2010, 25(3): 795-798.

[8] 翟振和, 孫中苗, 李迎春, 等. 航空重力測量在近海區(qū)域的精度評估與分析[J]. 測繪學(xué)報, 2015, 44(1): 1-5. DOI: 10.11947/j.AGCS.2015.20130783.

ZHAI Zhenhe, SUN Zhongmiao, LI Yingchun, et al. The Accuracy Evaluation and Analysis of Airborne Gravimetry in Coastal Area[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2015, 44(1): 1-5. DOI: 10.11947/j.AGCS.2015.20130783.

[9] 王興濤, 石磐, 朱非洲. 航空重力測量數(shù)據(jù)向下延拓的正則化算法及其譜分解[J]. 測繪學(xué)報, 2004, 33(1): 33-38.

WANG Xingtao, SHI Pan, ZHU Feizhou. Regularization Methods and Spectral Decomposition for the Downward Continuation of Airborne Gravity Data[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2004, 33(1): 33-38.

[10] 顧勇為, 歸慶明. 航空重力測量數(shù)據(jù)向下延拓基于信噪比的正則化方法的研究[J]. 測繪學(xué)報, 2010, 39(5): 458-464.

GU Yongwei, GUI Qingming. Study of Regularization Based on Signal-to-Noise Index in Airborne Gravity Downward to the Earth Surface[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2010, 39(5): 458-464.

[11] 鄧凱亮, 黃謨濤, 暴景陽, 等. 向下延拓航空重力數(shù)據(jù)的Tikhonov雙參數(shù)正則化法[J]. 測繪學(xué)報, 2011, 40(6): 690-696.

DENG Kailiang, HUANG Motao, BAO Jingyang, et al. Tikhonov Two-parameter Regularization Algorithm in Downward Continuation of Airborne Gravity Data[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2011, 40(6): 690-696.

[12] 蔣濤, 李建成, 王正濤, 等. 航空重力向下延拓病態(tài)問題的求解[J]. 測繪學(xué)報, 2011, 40(6): 684-689.

JIANG Tao, LI Jiancheng, WANG Zhengtao, et al. The Solution of Ill-Posed Problem in Downward Continuation of Airborne Gravity[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2011, 40(6): 684-689.

[13] 蔣濤, 黨亞民, 章傳銀, 等. 基于矩諧分析的航空重力向下延拓[J]. 測繪學(xué)報, 2013, 42(4): 475-480.

JIANG Tao, DANG Yamin, ZHANG Chuanyin, et al. Downward Continuation of Airborne Gravity Data Based on Rectangular Harmonic Analysis[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2013, 42(4): 475-480.

[14] 蔣濤, 李建成, 黨亞民, 等. 基于矩諧分析的區(qū)域重力場建模[J]. 中國科學(xué): 地球科學(xué), 2014, 44(1): 82-89.

JIANG Tao, LI Jiancheng, DANG Yamin, et al. Regional Gravity Field Modeling Based on Rectangular Harmonic Analysis[J]. Science China：Earth Sciences, 2014,42(4):82-89.

[15] JIANG Tao, LI Jiancheng, DANG Yamin, et al. Regional Gravity Field Modeling Based on Rectangular Harmonic Analysis[J]. Science China Earth Sciences, 2014, 57(7): 1637-1644.

[16] 劉敏, 黃謨濤, 歐陽永忠, 等. 顧及地形效應(yīng)的重力向下延拓模型分析與檢驗(yàn)[J]. 測繪學(xué)報, 2016, 45(5): 521-530. DOI: 10.11947/j.agcs.2016.20150453.

LIU Min, HUANG Motao, OUYANG Yongzhong, et al. Test and Analysis of Downward Continuation Models for Airborne Gravity Data with Regard to the Effect of Topographic Height[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2016, 45(5): 521-530. DOI: 10.11947/j.agcs.2016.20150453.

[17] JIANG Tao, WANG Yanming. On the Spectral Combination of Satellite Gravity Model, Terrestrial and Airborne Gravity Data for Local Gravimetric Geoid Computation[J]. Journal of Geodesy, 2016, 90(12): 1405-1418.

[18] WANG Yanming, HUANG Jianliang, JIANG Tao, et al. Local Geoid Determination[M]∥GRAFAREND E. Encyclopedia of Geodesy. Cham: Springer, 2016. DOI: 10.1007/978-3-319-02370-0_53-1.

[19] HOFMANN-WELLENHOF B, MORITZ H. Physical Geodesy[M]. New York: SpringerWienNewYork, 2006.

[20] FORSBERG R. A Study of Terrain Reductions, Density Anomalies and Geophysical Inversion Methods in Gravity Field Modelling[R]. Reports of the Department of Geodetic Science and Surveying, 1984, #355. Columbus, Ohio: The Ohio State University, 1984.

[21] LI Yecai. Airborne Gravimetry for Geoid Determination[D]. Calgary: University of Calgary, 2000.

[22] 陸仲連. 地球重力場理論與方法[M]. 北京: 解放軍出版社, 1996.

LU Zhonglian. Theory and Method of Earth’s Gravity Field[M]. Beijing: The People’s Liberation Army Press, 1996.

[23] CRUZ J Y, LASKOWSKI P. Upward Continuation of Surface Gravity Anomalies[R]. Report No. 360. Columbus: The Ohio State University, Department of Geodetic Science and Surveying, 1984.

[24] FARR T G, ROSEN P A, CARO E, et al. The Shuttle Radar Topography Mission[J]. Reviews of Geophysics, 2007, 45(2): RG2004. DOI: 10.1029/2005RG000183.

[25] F?RSTE C, BRUINSMA S L, FLECHTNER F, et al. A Preliminary Update of the Direct Approach GOCE Processing and A New Release of EIGEN-6C[C]∥AGU Fall Meeting. San Francisco: AGU Fall Meeting, 2012.