江蘇省海門市能仁中學(xué) 花永平

在課程改革和課標(biāo)理念的指導(dǎo)下，中考命題出現(xiàn)了能力立意和題型創(chuàng)新的新型試題，考試的基本核心不僅對(duì)基本知識(shí)和基本方法的考查，更加注重了對(duì)考生學(xué)習(xí)潛能的考查，并注重為初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)全面提高，切實(shí)提升現(xiàn)代學(xué)生的核心素養(yǎng)，全面提高學(xué)生的應(yīng)試能力。本文結(jié)合具體例子對(duì)方程與不等式，從其綜合生長(zhǎng)的角度涵蓋三個(gè)方面：（1）用函數(shù)圖象求方程的解和不等式的解集。（2）用幾何融合探索方程的解和不等式的解集。（3）用流程圖涵蓋方程的解和不等式的解集。幫助大家將所學(xué)知識(shí)進(jìn)行合理的串聯(lián)和有效的融合，從而對(duì)方程和不等式知識(shí)有一個(gè)再認(rèn)識(shí)、再提升的過(guò)程

一、用函數(shù)圖象求方程的解和不等式的解集

用函數(shù)圖象來(lái)求方程的解和不等式的解集。重點(diǎn)是關(guān)注這條直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是對(duì)應(yīng)方程的解。而求不等式的解集就是看這條直線在x軸上方或者下方部分對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合即為不等式的解集。

例1 在平面直角坐標(biāo)系中，畫出的圖象，從圖象中可以發(fā)現(xiàn)哪些信息？

【分析】可以發(fā)現(xiàn)信息：

（1）直線和x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A（-3，0）、B（0，4）；

（2）直線經(jīng)過(guò)一、二、三象限，并且從左向右呈上升趨勢(shì)；

（3）△AOB的面積；

（4）的解，即為A點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

（5）當(dāng)x﹥-3時(shí)，y﹥0；當(dāng)x﹤-3時(shí)，y﹤0。

【點(diǎn)撥】以上信息都是從圖象中直觀得出來(lái)的，你發(fā)現(xiàn)了嗎？

你還能發(fā)現(xiàn)什么或提出什么問(wèn)題？如：

（1）當(dāng)x滿足什么條件時(shí)，y﹥2？（在圖中找出對(duì)應(yīng)的直線在y=2的上方部分對(duì)應(yīng)的x的范圍，即為不等的解集）

（2）方的解為正數(shù)，求k的取值范圍？（在圖中找出對(duì)應(yīng)的直線與y=k的交點(diǎn)橫坐標(biāo)大于0時(shí)，找k的取值范圍）

（3有兩解，且有一解大于-1，求k的取值范圍？

【點(diǎn)撥】對(duì)于以上問(wèn)題，注重開(kāi)放，考查探究能力和創(chuàng)新能力。每年的中考題會(huì)出現(xiàn)一些讓人耳目一新的題，他們的精巧的構(gòu)思、生機(jī)盎然地呈現(xiàn)形式讓人注目。這些題常中見(jiàn)拙，拙中見(jiàn)巧，為不同程度的學(xué)生提供展示自己才華的平臺(tái)。假如從方程本身去思考，需分類討論；假如借助函數(shù)圖象，解題更直觀清晰。

二、用幾何融合探索方程的解和不等式的解集

例2 市區(qū)某中學(xué)九年級(jí)學(xué)生步行到郊外春游。一班的學(xué)生組成前隊(duì)，速度為4km/h，二班的學(xué)生組成后隊(duì)，速度為6 km/h。前隊(duì)出發(fā)1 h后，后隊(duì)才出發(fā)，同時(shí)，后隊(duì)派一名聯(lián)絡(luò)員騎自行車在兩隊(duì)之間不間斷地來(lái)回進(jìn)行聯(lián)絡(luò)，他騎車的速度為12 km/h。若不計(jì)隊(duì)伍的長(zhǎng)度，聯(lián)絡(luò)員在行進(jìn)過(guò)程中，離前隊(duì)的路程y（km）與后隊(duì)行進(jìn)時(shí)間x（h）之間存在著某種函數(shù)關(guān)系。

（1）求后隊(duì)追到前隊(duì)所用的時(shí)間的值；

（2）聯(lián)絡(luò)員從出發(fā)到他折返后第一次與后隊(duì)相遇的過(guò)程中，求此函數(shù)關(guān)系表達(dá)式，并在直角坐標(biāo)系中畫出此函數(shù)的圖象；

（3）聯(lián)絡(luò)員從出發(fā)到他折返后第一次與后隊(duì)相遇的過(guò)程中，當(dāng)x為何值時(shí)，他離前隊(duì)的路程與他離后隊(duì)的路程相等？

【分析】（1）當(dāng)x=0時(shí)，一班組成的前隊(duì)出發(fā)1小時(shí)，二班組成的后隊(duì)準(zhǔn)備出發(fā)，兩隊(duì)相差4 km，接著后隊(duì)和前隊(duì)進(jìn)行追及問(wèn)題，只要簡(jiǎn)單構(gòu)建方程就行了。

后隊(duì)追及前隊(duì)：4+4x=6x。

聯(lián)絡(luò)員追及前隊(duì)：4+4x=12x 解得x=0.5，故AC長(zhǎng)度為6 km。

（2）當(dāng)x=0.5時(shí)，聯(lián)絡(luò)員開(kāi)始折返，他與后隊(duì)進(jìn)行的是相遇運(yùn)動(dòng)，后前隊(duì)做的是背向運(yùn)動(dòng)。

聯(lián)絡(luò)員和后隊(duì)作相遇運(yùn)動(dòng)，他們的相遇時(shí)間：6x+12（x-0.5）=6，解

聯(lián)絡(luò)員和前隊(duì)作背向運(yùn)動(dòng)，他們的相距的距離：y=(4+12)(x-0.5) 。

（3）要看聯(lián)絡(luò)員在追上前隊(duì)前，還是在追上前隊(duì)返回過(guò)程中，他離前隊(duì)的路程與他離后隊(duì)的路程相等，我們可以利用直線圖，合理構(gòu)造方程即可。

【點(diǎn)撥】針對(duì)上述問(wèn)題，所涉及的數(shù)學(xué)量比較多，信息量比較大，運(yùn)動(dòng)關(guān)系比較復(fù)雜，對(duì)于這一類問(wèn)題，指導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷用觀察、畫圖、計(jì)算等手段，合理求解。

【思考】同學(xué)可以想一想：聯(lián)絡(luò)員從出發(fā)到他折返后第一次與后隊(duì)相遇的過(guò)程中，當(dāng)x為何值時(shí)，他離前隊(duì)的路程大于他離后隊(duì)的路程（他離前隊(duì)的路程小于他離后隊(duì)的路程）？

【點(diǎn)撥】用函數(shù)的圖象來(lái)解決該問(wèn)題也不失為一個(gè)很好的方法。

三、用流程圖涵蓋方程的解和不等式的解集

例3 對(duì)一個(gè)實(shí)數(shù)按如圖所示的流程圖進(jìn)行操作，規(guī)定程序運(yùn)行從“輸入一個(gè)實(shí)數(shù)x”至“判斷結(jié)果是否大于244”為一次操作。

（1）若輸入實(shí)數(shù)x=11，則輸出的結(jié)果是__________；

（2）輸出的結(jié)果可能會(huì)是352嗎？

（3）若操作恰好進(jìn)行四次才停止，求x的取值范圍；

【分析】第一次：3x-2，第二次：3（3x-2）-2=9x-8，第三次：3（9x-8）-2=27x-26，第四次：3（27x-26）-2=81x-80，第五次：……

第二問(wèn)：用方程思想去解答（需要分類討論）： 若是一次出結(jié)果3x-2=352，則x=118。若是兩次出結(jié)果9x-8=352，則x=40；若是三次出結(jié)果27x-26=352，則x=14；若是四次出結(jié)果81x-80=352，則x=5.333（舍去）。

第三問(wèn)：建立不等式解答：27x-26≤244且 81x-80 ＞352，解得4＜x≤10。

【點(diǎn)撥】本題的流程圖，看似沒(méi)有方程和不等式，其實(shí)它考查的本質(zhì)就是方程和不等式，而同學(xué)們?cè)诮忸}就是時(shí)要抓住問(wèn)題的本質(zhì)，追本溯源解決問(wèn)題。

總之，我們教師應(yīng)針對(duì)初中課數(shù)學(xué)課程改革和中考的命題，在學(xué)生備考試題時(shí)要有的放矢，注意關(guān)注中考信息，認(rèn)真分析考點(diǎn)考什么，學(xué)生做什么，考到哪個(gè)層次，就把訓(xùn)練的標(biāo)準(zhǔn)定到哪個(gè)層次，做到以課本為基礎(chǔ)，讓學(xué)生終身學(xué)習(xí)到生活中必須的數(shù)學(xué)知識(shí)和科學(xué)的數(shù)學(xué)方法，在學(xué)習(xí)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的能力，真正切實(shí)提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。方程、不等式的試題多樣，形式多變，方法多用，而解決該類問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清問(wèn)題中所涉及的數(shù)量關(guān)系，選取適當(dāng)?shù)姆椒ǎ@樣離解決問(wèn)題就近在咫尺了。這樣，學(xué)生在中考的舞臺(tái)上就能大展拳腳。