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        對2017年江蘇高考數(shù)列題的多種方法證明以及推廣

        2018-06-05 07:08:22江蘇省南京市金陵中學(xué)河西分校李菲菲
        數(shù)學(xué)大世界 2018年14期
        關(guān)鍵詞:方法

        江蘇省南京市金陵中學(xué)河西分校 李菲菲 姜 寧

        題目:對于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列{an}滿足:an-k+ an-k+1+… +an-1+an+1+…+an+k-1+an+k= 2kan對任意正整數(shù) n (n>k)總成立,則稱數(shù)列{an}是“P (k)數(shù)列”。

        (1)證明:等差數(shù)列{an}是“P (k)數(shù)列”;

        (2)若數(shù)列{an}既是“P (2)數(shù)列”,又是“P (3)數(shù)列”,證明:{an}是等差數(shù)列。

        對于第二小問證明:

        (2)- (1) 得:

        于是,數(shù)列a1,a4,a7,… 是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d1。

        數(shù)列a2,a5,a8,… 是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d2。

        數(shù)列a3,a6,a9,… 是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d3。

        在 (1) 中取n=3得:

        在 (1) 中取n=4得:

        在 (1) 中取n=5得:

        光學(xué)遙感受天氣條件影響極大,其在積雪面積制圖中的主要難點問題之一就在于云雪的識別,NDSI因其實際可操作性強(qiáng),提取精度高,方法快捷簡單,是雪蓋范圍提取最為普遍采用的方法.此外,利用多個熱紅外波段計算亮溫差也是云雪區(qū)分的有效手段.然而,高分四號衛(wèi)星由于缺少反映積雪弱反射能力的短波紅外波段,也沒有多個熱紅外波段,導(dǎo)致無法有效利用波段間關(guān)系和遙感指數(shù)方法識別積雪.

        將(3)(4)(5)相加,得d2=d3。

        在 (1) 中取n=6得:

        (6)- (3) 得:

        又因為 d2=d3,故 d1=d3=d3。

        由(3)得:

        由(4)得:

        (7) +(8)得:

        因此數(shù)列{an}是等差數(shù)列。

        法二:數(shù)列{an}既是“P (2)數(shù)列”,又是“P (3)數(shù)列”,因此,

        由(9)得:

        將(11) ,(12) 代入(10),得an-1+ an+1=2an,其中n≥4,

        所以數(shù)列a3,a4,a5,… 是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,

        在 (9) 中取n=4得:

        在 (9) 中取n=3得:

        因此數(shù)列{an}是等差數(shù)列。

        對于法二的改進(jìn):

        由(9)得:an-2+ an-1+an+1+an+2= 4an,

        將兩式相加,則有:

        由(10)可得:

        所以an-1+ an+1= 2an,其中 n≥4。

        本題考查了新定義下的等差數(shù)列,考查了離散數(shù)列間隔成等差數(shù)列到每項成等差數(shù)列,利用遞推方式處理,對學(xué)生的構(gòu)造能力要求極高,對學(xué)生思維要求極高。

        推廣:對于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列{an}滿足:an-k+ an-k+1+… +an-1+an+1+…+an+k-1+an+k= 2kan對任意正整數(shù) n (n>k)總成立,則稱數(shù)列{an}是“P (k)數(shù)列”。

        若數(shù)列{an}既是“P (k1)數(shù)列”,又是“P (k2)數(shù)列”,其中k1≡2(mod 6),k1≡3(mod 6),則:{an}是等差數(shù)列。

        高考試題凝聚了命題專家巨大的智慧和心血,他們立意深遠(yuǎn),內(nèi)涵豐富。我們從不同視角對高考試題進(jìn)行求解于改編、加強(qiáng)和推廣,這樣對于領(lǐng)悟高考試題的功能,正確把握高三復(fù)習(xí)方向,都有著非常重要意義和作用。

        [1]范花妹,秦慶雄.從“裂項相消法”證明數(shù)列不等式得到的啟示[J].數(shù)學(xué)通報,2016(8):44-51.

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