江蘇省常州外國語學(xué)校 宋子君

六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析。發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)既需要宏觀的頂層設(shè)計(jì)描繪藍(lán)圖，也需要微觀的課堂教學(xué)使之落地推進(jìn)，抓好課堂教學(xué)也就把握住了培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的關(guān)鍵。教師若不能精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，打造優(yōu)質(zhì)高效的課堂教學(xué)，就難以發(fā)揮發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的功能。本文以“二次函數(shù)的最值問題”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，談?wù)勅绾卧跀?shù)學(xué)課堂教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二次函數(shù)的最值問題不僅與實(shí)際應(yīng)用、圖形性質(zhì)、圖形變化等知識(shí)有關(guān)，具有一定的學(xué)科綜合性，而且蘊(yùn)含了分類討論、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建模等諸多數(shù)學(xué)思想。所以教師需要帶領(lǐng)學(xué)生研究具有代表性的二次函數(shù)最值問題，以期提高其解決二次函數(shù)最值問題的能力，培養(yǎng)符號(hào)感、幾何直觀、推理能力和模型思想。

一、在確定范圍內(nèi)的二次函數(shù)最值問題

給定自變量范圍，求二次函數(shù)的最值是常見的基礎(chǔ)題型，這類問題的考查方式有兩種：1.頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在自變量范圍內(nèi)；2.頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不在自變量范圍內(nèi)。因此設(shè)計(jì)了如下問題：

問題一：在二次函數(shù)y=x2-2x-3中，

【設(shè)計(jì)意圖】 通過上述問題，學(xué)生認(rèn)識(shí)到判斷二次函數(shù)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是否在自變量范圍內(nèi)是處理問題的關(guān)鍵，理解掌握了解決這類問題的知識(shí)技能，也體會(huì)了借助直觀、形象的函數(shù)圖象處理此類問題的便捷性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想在函數(shù)問題中的重要作用。核心素養(yǎng)是基于基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的習(xí)得而逐步形成的，并且常常體現(xiàn)在運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能解決問題的過程中，而這個(gè)過程又往往蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)思想，受數(shù)學(xué)思想指引。

二、含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題

這類問題又分為定自變量范圍、對(duì)稱軸不定和對(duì)稱軸確定、自變量范圍不定兩類問題，出于對(duì)課堂時(shí)間和這兩類問題處理方法的相似性的考慮，課堂上研究其中一類問題，另一類問題留給學(xué)生課后研究。

問題二：當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，二次函數(shù)y=-（x-m）2+m2+1有最大值3，求實(shí)數(shù)m的值。

【設(shè)計(jì)意圖】 學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)基于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，又高于基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中逐步形成的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，不僅需要學(xué)生理解掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，還需要學(xué)生運(yùn)用不同的思想方法、技能技巧。比如在上述問題的解決中，學(xué)生需要運(yùn)用分類討論的思想方法明晰頂點(diǎn)橫坐標(biāo)和自變量范圍的關(guān)系，找到解決問題的思路，還需要數(shù)形結(jié)合，借助圖象直觀形象地得出每種前提下最大值在何處取得，以提高解題效率。

三、建立二次函數(shù)模型解決問題

問題三：大潤發(fā)超市進(jìn)了一批成本為8元/個(gè)的文具盒。調(diào)查發(fā)現(xiàn)：這種文具盒每個(gè)星期的銷售量y（個(gè)）與它的定價(jià)x（元/個(gè)）的關(guān)系如圖所示，如果該超市每星期這種文具盒的銷售量不少于115個(gè)，且單件利潤不低于4元（x為整數(shù)），當(dāng)每個(gè)文具盒定價(jià)多少元時(shí)，超市每星期利潤最高？最高利潤是多少？

【設(shè)計(jì)意圖】 數(shù)學(xué)并不脫離生活實(shí)際，數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待問題，從具體的情境和問題中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并將其符號(hào)化，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，引導(dǎo)學(xué)生不僅用數(shù)學(xué)模型刻畫現(xiàn)實(shí)世界，而且用數(shù)學(xué)工具對(duì)模型進(jìn)行推理演算，求出相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)果，并將其放回問題實(shí)際進(jìn)行解釋。在這個(gè)過程中培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)感、推理能力和數(shù)學(xué)建模思想，樹立學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。

問題四：已知實(shí)數(shù)滿足的最小值。

【設(shè)計(jì)意圖】 模型思想不僅用于解決與生活實(shí)際緊密聯(lián)系的具體情境，而且也適用于一些單純的數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐是基于基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的教育，更是數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的滲透，通過知識(shí)技能的掌握和思想方法的體會(huì)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用，使學(xué)生在今后的個(gè)人發(fā)展中和面對(duì)社會(huì)實(shí)際時(shí)，能嘗試從數(shù)學(xué)角度運(yùn)用數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)工具尋求解決問題的方法。

問題五：已知點(diǎn)D與點(diǎn)A（8，0），B（0，4），C（m，-m）是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，求CD長的最小值。

師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考并畫出圖形，然后全班交流，先借助畫出的圖形，由平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)分析出CD=2CE，再應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的思想，用函數(shù)的方法建立二次函數(shù)模型，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值。C點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)直線時(shí)，CE取最小值，進(jìn)而解決問題?；蛘呃弥本€軸正半軸夾角為45°，構(gòu)造等腰直角三角形求CE的最小值，這種方法充分利用了圖形的性質(zhì)，用幾何方法解決問題直觀形象，而且能避免一些煩瑣的計(jì)算。

【設(shè)計(jì)意圖】 在實(shí)際應(yīng)用中往往沒有那么明顯和直接的模型可以直接套用，而具備數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的學(xué)生也就具有用數(shù)學(xué)的眼光看待問題、用數(shù)學(xué)的思維分析問題、用數(shù)學(xué)的工具解決問題的思維和能力。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐中，教學(xué)生數(shù)學(xué)的工具是相對(duì)淺層次的“教”，更重要的是讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待問題，用數(shù)學(xué)的思維分析問題。

變式：如果在剛才的問題中再加一個(gè)的條件，會(huì)發(fā)生什么變化嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】 加了限制條件后，垂直的特殊位置無法取得，但可以利用自變量范圍和函數(shù)關(guān)系求最值。進(jìn)一步感受建立數(shù)學(xué)模型是解決問題的有效方法和重要思想。

【教學(xué)反思】

在本節(jié)課的設(shè)計(jì)中并沒有過多地糾結(jié)于利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求二次函數(shù)的最值的教學(xué)，而是緊扣數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建模等體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的核心素養(yǎng)，創(chuàng)設(shè)多樣化的情境，讓學(xué)生在生活情境和數(shù)學(xué)情境中尋找數(shù)量關(guān)系，用函數(shù)模型進(jìn)行刻畫，體會(huì)模型思想，建立符號(hào)意識(shí)；讓學(xué)生在借助圖形分析思考問題的過程中，感受幾何直觀；讓學(xué)生在思考與交流的過程中，養(yǎng)成獨(dú)立思考、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣，并能勇于表達(dá)自己的想法，理解他人的思考方法，能針對(duì)他人的發(fā)言進(jìn)行反思，初步形成評(píng)價(jià)與反思的意識(shí)和嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度。推理能力的發(fā)展又貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。而這些正是學(xué)生為了適應(yīng)將來的社會(huì)生活和個(gè)人發(fā)展所需要具備的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力。

學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展是個(gè)綜合性的過程，而課堂教學(xué)是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的重要渠道，一線教師應(yīng)當(dāng)深化對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的研究，樹立基于核心素養(yǎng)的教育理念，注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)特征，提高課堂教學(xué)的有效性，以此提升課堂教學(xué)對(duì)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的推動(dòng)作用，完善數(shù)學(xué)的育人功能。