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        圓錐曲線的焦點弦長公式

        2018-06-04 11:06:34王樹新
        課程教育研究 2018年20期
        關鍵詞:弦長準線射影

        王樹新

        【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089(2018)20-0127-02

        一個平面從不同角度截一個圓錐面所得的曲線稱為圓錐曲線,截得的結(jié)果可以是圓、橢圓、雙曲線、拋物線、直線、兩相交直線、點。不過,狹義上講,圓錐曲線僅指橢圓、雙曲線、拋物線,狹義圓錐曲線有一個統(tǒng)一的定義如下:

        到定點F的距離與到定直線l的距離之比等于常數(shù)e的動點軌跡稱為圓錐曲線,當01時軌跡是雙曲線,當e=1時軌跡是拋物線。

        定點F稱為圓錐曲線的焦點,定直線l稱為圓錐曲線的準線,定點到準線的距離稱為焦準距(記為p),常數(shù)e稱為離心率。(橢圓和雙曲線都有兩個焦點和對應的兩條準線)

        如下圖1所示,P為某圓錐曲線上任意一點,則P1是P到準線的射影,則=e

        過焦點的直線與圓錐曲線交于兩個點A、B,這兩點之間的線段成為圓錐曲線的焦點弦,當直線繞焦點轉(zhuǎn)動起來時,焦點弦的傾斜角和長度都在變化。

        當焦點弦與準線平行時稱為圓錐曲線的通徑。

        一、拋物線的焦點弦長公式

        例1. 如下圖2,已知拋物線的方程是y2=2px(p>0),AB是過焦點F的弦。

        (1)若A(x1,y1),B(x2,y2),求焦點弦長;

        (2)若焦點弦的傾斜角是?茲,求焦點弦長。

        解:焦點弦AB被焦點F截成兩段,為了方便,我們分別記m=|AF|、n=|BF|則|AB|=m+n

        (1)記A1、B1分別為A、B在準線l上的射影,根據(jù)拋物線的定義,m=|AA1|,n=|BB1|則焦點弦長為:

        三、圓錐曲線的焦點弦長公式

        例3.如下圖6,某圓錐曲線的焦點為F,準線為l,焦準距為p,過焦點F的弦AB與對稱軸(過焦點與準線垂直的直線)夾角為?茲,求焦點弦AB的長。

        解:記m=|AF|、n=|BF|,如圖7,作A1、B1分別為A、B在準l線上的射影,作FC⊥AA1于C,作BD⊥于對稱軸于D,則在Rt△ADC中,

        要注意到,以上解題并不嚴密,還得繼續(xù)考查其他圖像情況 ,當點F在焦點弦外(此時的圓錐曲線為雙曲線)類似可得 |AB|=

        綜上所述,無論是橢圓、雙曲線還是拋物線,它們有相同的焦點弦長公式,其公式為|AB|=,其中p指焦準距。

        四、焦點弦中通徑最短

        例4.當焦點弦AB與準線平行時,稱為通徑,求通徑的長,證明通徑是最短的焦點弦。

        解:如上圖7所示

        |AB|=2|AF|,且=e,即|AF|=e|AA1|=ep

        所以通徑|AB|=2ep

        如圖8,我們?nèi)∠褹B的中點為E,作A1、E1、B1分別為A、E、B在準線上的射影則梯形AA1B1B中,|AA1|+|BB1|=2|EE1|

        則|AB|=|AF|+|BF|=e|AA1|+e|BB1|=e(|AA1|+|BB1|)=e(2|EE1|)=2e|EE1|

        從圖8中容易看出|EE1|≥p

        所以|AB|=2e|EE1|≥2ep

        即焦點弦長不小于通徑,當且僅當E與F重合時,焦點現(xiàn)場等于通徑。簡而言之,焦點弦中通徑最短。

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