■韓文美

平面向量的數量積通?？疾閿盗糠e的確定、最值的求解等，解決平面向量的數量積的關鍵在于向實數進行轉化。下面就平面向量的數量積的常見解題策略進行實例剖析。

一、定義法

向量a與b的數量積a·b=|a||b|·cosθ，其中θ為向量a與b的夾角，θ∈[0，π]。

例1已知向量a，b的夾角為60°，|a|=1，|b|=2，則|3a+b|=____。

解：由于|3a+b|2=9|a|2+6a·b+|b|2=9+6×1×2×cos60°+4=19，所以|3a+b|=

評析：需要注意的是求兩個向量a與b的夾角θ時，要使得向量a與b的起點相同。

二、投影法

向量a與b的數量積a·b=|a||b|·cosθ的幾何意義是一個向量的長度乘以另一個向量在其方向上的投影，即a·b=|a|·(|b|cosθ)或a·b=|b|·(|a|cosθ)。

例 2如圖1，O是以∠BAC為鈍角的△ABC的外接圓的圓心，且AB=4，AC=2，點M為BC的中點，則=____。

圖1

解：分別取AB，AC的中點E，F，則外心O在AB，AC上的投影恰好為點E，F。所以

評析：利用投影法進行轉化求解是解答本題的關鍵。

三、基底法

在解決平面向量的數量積時，可考慮先用合適的兩個不平行的向量作為基底，將已知向量表示出來，再根據條件加以分析求解。

例3已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE=2EF，則的值為( )。

例 4已知向量a=(1，-1)，b=(6，-4)，若a⊥(t a+b)，則實數t的值為____。

解：t a+b=t(1，-1)+(6，-4)=(t+

評析：利用基底法求解是解答本題的關鍵，本題先選擇了作為一組基底，再通過向量的線性運算加以轉化求解。

四、坐標法

向量a與b的數量積a·b=x1x2+y1y2，其中向量a=(x1，y1)，b=(x1，y1)。通過已知向量的坐標或構造直角坐標系，利用坐標法來求解相應的向量的數量積問題，是比較常見的一種解題策略。6，-t-4)。因為a⊥(t a+b)，所以a·(t a+b)=(1，-1)·(t+6，-t-4)=t+6-(-t-4)=2t+10=0，解得t=-5。

評析：對于一些方便構造直角坐標系的平面向量問題，先合理構造直角坐標系，進而確定向量的坐標，再結合平面向量的數量積公式來處理。

五、平面向量的極化恒等式法

例5如圖2，在△ABC中，D是BC的中點，E，F是AD上的兩個三等分點，若值是____。

圖2

評析：利用極化恒等式來解決平面向量的數量積問題，可以使解題過程簡單快捷，但要注意使用時的特殊情況。

六、平面向量的三角形公式法

評析：利用平面向量的三角形公式法來處理平面向量的數量積問題，其思維獨特，解題方法巧妙。

七、數形結合法

平面向量的數量積中的最值問題往往是在兩個向量的方向相同或相反時取得的，而此類問題若利用數形結合法，結合直觀模型，則更容易求解。

例7已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內的一點，則的最小值是( )。

評析：與平面向量的數量積有關的最值問題，往往要利用數形結合法來確定點、線段、向量的位置，從而確定最值。