田彥濤,張 宇,王曉玉,陳 華

(1.吉林大學(xué) 通信工程學(xué)院，長(zhǎng)春 130022；2.吉林大學(xué) 工程仿生教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)春 130022)

0 引 言

對(duì)于汽車(chē)安全系統(tǒng)而言，在轉(zhuǎn)向行駛時(shí)容易產(chǎn)生過(guò)度轉(zhuǎn)向、車(chē)輛發(fā)生側(cè)滑的情況，嚴(yán)重時(shí)危害人身安全，因此需要對(duì)電動(dòng)汽車(chē)側(cè)向穩(wěn)定性進(jìn)行研究[1]。而對(duì)車(chē)輛側(cè)向運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的實(shí)時(shí)、準(zhǔn)確估計(jì)是車(chē)輛側(cè)向穩(wěn)定性控制系統(tǒng)研究的基礎(chǔ)[2]。其中，橫擺角速率和車(chē)輛側(cè)偏角是兩個(gè)非常重要的參數(shù)，可以通過(guò)調(diào)整兩者來(lái)控制車(chē)輛側(cè)向行駛狀態(tài)。橫擺角速率可以由角速度傳感器(陀螺儀)直接測(cè)量得到；側(cè)偏剛度能夠反映輪胎和路面條件，對(duì)車(chē)輛操縱穩(wěn)定性和安全性有直接影響，但是輪胎側(cè)偏剛度和車(chē)輛側(cè)偏角由于技術(shù)和經(jīng)濟(jì)原因無(wú)法直接測(cè)量。因此，找到一種可以實(shí)時(shí)獲取車(chē)輛重要信息的、經(jīng)濟(jì)且精確的方法，成為底盤(pán)控制的一個(gè)重要問(wèn)題。

Piyabongkarn等[3]提出了一種使用廉價(jià)傳感器實(shí)時(shí)估計(jì)側(cè)偏角的算法，用于車(chē)輛的橫擺穩(wěn)定控制，該算法結(jié)合模型估計(jì)和運(yùn)動(dòng)學(xué)理論，可以補(bǔ)償存在的道路傾斜角度和輪胎特性的變化。Doumiati等[4]提出了一種動(dòng)態(tài)建模和觀察的方法來(lái)估計(jì)側(cè)向力和側(cè)偏角，為了解決系統(tǒng)的非線性和未建模動(dòng)態(tài)，設(shè)計(jì)了擴(kuò)展和無(wú)跡卡爾曼濾波觀測(cè)器。Nguyen等[5]提出了一種基于卡爾曼濾波側(cè)偏角估計(jì)的電動(dòng)汽車(chē)新電子穩(wěn)定控制系統(tǒng)，通過(guò)將組合模型誤差和外部干擾作為擴(kuò)展的卡爾曼濾波算法,實(shí)現(xiàn)了側(cè)偏角的準(zhǔn)確估計(jì)，同時(shí)提高了控制系統(tǒng)的魯棒性。宗長(zhǎng)富等[6]采用了擴(kuò)展卡爾曼濾波進(jìn)行估計(jì)，但是其計(jì)算復(fù)雜，在實(shí)際控制系統(tǒng)的應(yīng)用中會(huì)受到一定限制。郭洪艷等[7]提出了基于車(chē)輛質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)的非線性全維觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法。武冬梅等[8]將二自由度車(chē)輛模型簡(jiǎn)化為以側(cè)向速度為狀態(tài)的線性估計(jì)模型,用于電動(dòng)汽車(chē)質(zhì)心側(cè)偏角的估計(jì)。劉飛等[9]利用直接積分法，對(duì)比了基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)算法與基于廣義龍貝格觀測(cè)器的質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)算法的特點(diǎn)。

電動(dòng)汽車(chē)的質(zhì)心側(cè)偏角對(duì)車(chē)輛穩(wěn)定性控制起著重要作用。而現(xiàn)有的車(chē)輛質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)算法存在有實(shí)時(shí)性不強(qiáng)或精度不夠等問(wèn)題，不能適應(yīng)各種路面條件。本文提出使用平方根無(wú)跡卡爾曼濾波(Square-root unscented Kalman filter,SR-UKF)算法對(duì)車(chē)輛側(cè)偏角進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)，并使用遞推最小二乘法對(duì)輪胎側(cè)偏剛度進(jìn)行估計(jì)，這種方法考慮了不同道路的實(shí)際情況，具有更好的實(shí)時(shí)性和魯棒性。

1 車(chē)輛動(dòng)力學(xué)建模

在不考慮車(chē)身的俯仰和側(cè)傾運(yùn)動(dòng)時(shí)，描述車(chē)身在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的方程有3個(gè)：縱向運(yùn)動(dòng)方程、側(cè)向運(yùn)動(dòng)方程和橫擺運(yùn)動(dòng)方程[10]。將車(chē)輛視為質(zhì)量集中在重心的質(zhì)量塊，質(zhì)心處為坐標(biāo)原點(diǎn)。

1.1 車(chē)身動(dòng)力學(xué)模型

本文車(chē)輛側(cè)向動(dòng)力學(xué)模型只考慮車(chē)輛的橫擺平面，將車(chē)輛的直接橫擺力矩作為一個(gè)輸入變量。直接橫擺力矩是由于作用于每個(gè)車(chē)輪的電磁力矩的不同而產(chǎn)生的。車(chē)輛橫擺平面的側(cè)向動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。

圖1 車(chē)輛橫擺平面四輪模型Fig.1 Four-wheel model of vehicle′s yaw plane

根據(jù)橫擺平面四輪模型，得到車(chē)輛側(cè)向動(dòng)力學(xué)模型和基于質(zhì)心的橫擺力矩平衡方程分別為：

(1)

(2)

(3)

為了設(shè)計(jì)的簡(jiǎn)化，在對(duì)模型精確度影響不大的前提下可以將四輪模型簡(jiǎn)化為自行車(chē)模型,車(chē)輛的側(cè)向和橫擺動(dòng)力學(xué)方程可分別簡(jiǎn)化為：

(4)

(5)

當(dāng)輪胎的側(cè)偏角比較小時(shí)，輪胎的側(cè)向力與輪胎的側(cè)偏角近似成線性關(guān)系，如下所示：

(6)

式中：Cf、Cr分別為前輪和后輪側(cè)向力與輪胎側(cè)偏角線性關(guān)系的比例系數(shù)。

當(dāng)轉(zhuǎn)向角非常小時(shí)(cosδ≈1)，根據(jù)式(4)～(6)可以近似得到以下?tīng)顟B(tài)方程：

(7)

式中：x=[β,γ]T；u=[δ,Mz]T；y=γ；

1.2 輪胎模型

輪胎模型的力學(xué)特性和結(jié)構(gòu)參數(shù)決定了汽車(chē)的主要性能，因此若要建立精準(zhǔn)的整車(chē)動(dòng)力學(xué)模型必須首先建立與之相匹配精確的輪胎模型。本文采用由Pacejka等[11]提出的魔術(shù)公式，在CarSim中有相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)模型，其一般形式如下：

(8)

式中：Y(x)為輸出變量，一般是縱向力Fx或側(cè)向力Fy或回正力矩Mz；X為輸入變量，一般是滑移率s或側(cè)偏角α；θD為剛度因子；θC為形狀因子；θB為峰值因子；θE為曲率因子；Sh、Sv分別為水平和垂直偏移。

2 側(cè)偏角觀測(cè)器設(shè)計(jì)

穩(wěn)定性系統(tǒng)需要車(chē)輛狀態(tài)信息，其中，車(chē)輛側(cè)偏角是一個(gè)非常重要的參數(shù)，可用于控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。本文不考慮路面的傾角、車(chē)身翻滾運(yùn)動(dòng)和懸架的偏轉(zhuǎn)等因素，設(shè)計(jì)了平方根無(wú)跡卡爾曼濾波算法來(lái)估計(jì)車(chē)輛側(cè)偏角。

2.1 側(cè)向動(dòng)力學(xué)狀態(tài)方程

電動(dòng)汽車(chē)側(cè)向行駛時(shí),系統(tǒng)的非線性隨機(jī)狀態(tài)方程為：

(9)

式中：ω(t)為過(guò)程噪聲；υ(t)為測(cè)量噪聲。

(10)

橫擺角速率和前、后輪側(cè)向力組成觀測(cè)向量y,如下所示：

(11)

輸入向量u由轉(zhuǎn)向角、前后輪的驅(qū)動(dòng)力組成：

(12)

將狀態(tài)方程(9)中的過(guò)程噪聲和測(cè)量噪聲假設(shè)為不相關(guān)的白色噪聲，那么系統(tǒng)的非線性狀態(tài)方程f(x(t),u(t))和觀測(cè)方程h(x(t))分別為：

f(x(t),u(t))=

(13)

(14)

2.2 平方根無(wú)跡卡爾曼濾波算法設(shè)計(jì)

在非線性的簡(jiǎn)化車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型基礎(chǔ)上，本文使用無(wú)跡卡爾曼濾波器(UKF)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)。但在實(shí)際應(yīng)用中，UKF算法由于噪聲和計(jì)算誤差會(huì)出現(xiàn)協(xié)方差矩陣非正定的問(wèn)題，本文應(yīng)用平方根無(wú)跡卡爾曼濾波(SR-UKF)來(lái)提高數(shù)值的穩(wěn)定性，保證狀態(tài)協(xié)方差矩陣半正定性，進(jìn)而估計(jì)車(chē)輛側(cè)偏角[12,13]。

為了能在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，本文采用歐拉近似理論將其離散化為如下形式：

(15)

式中：狀態(tài)變量xk∈Rn；輸入變量uk∈Rr；k時(shí)刻的輸出變量yk∈Rm。

SR-UKF算法步驟如下所示。

(1)初始化。在UKF的基礎(chǔ)上，通過(guò)喬里斯基(Cholesky)分解后的矩陣平方根計(jì)算狀態(tài)協(xié)方差：

(16)

式中：協(xié)方差平方根有“-”標(biāo)志的是下三角矩陣，沒(méi)有的是上三角矩陣；chol(·)為喬里斯基分解。

(2)Sigma點(diǎn)的選擇計(jì)算和時(shí)間更新。主要包括如下兩步：

Step1 非線性狀態(tài)方程的預(yù)測(cè)和狀態(tài)協(xié)方差矩陣平方根的計(jì)算：

(17)

式中：cholupdate(·)為喬里斯基分解的更新函數(shù)；qr(·)為QR分解函數(shù)；Q為過(guò)程噪聲協(xié)方差矩陣。

Step2 Sigma點(diǎn)的更新傳播和非線性觀測(cè)方程的進(jìn)一步預(yù)測(cè)：

(18)

式中：相關(guān)權(quán)重因子如下：

(19)

(20)

(21)

(22)

式中：R為測(cè)量噪聲協(xié)方差矩陣。

本文選擇Q和R為對(duì)角矩陣形式，協(xié)方差的過(guò)程和測(cè)量噪聲矩陣如下：

(23)

本文中應(yīng)用的簡(jiǎn)化車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型是精確可靠的，所以過(guò)程噪聲設(shè)置得相對(duì)較小。

3 輪胎側(cè)偏剛度估計(jì)

側(cè)偏剛度是一個(gè)隨輪胎側(cè)偏角和路面摩擦變化而變化的重要參數(shù)，可以利用在線估計(jì)的側(cè)偏剛度來(lái)改善主動(dòng)轉(zhuǎn)向系統(tǒng)性能。本文利用上述側(cè)偏角信息，采用最小二乘法[14]估計(jì)輪胎側(cè)偏剛度。

3.1 輪胎側(cè)向力模型

輪胎側(cè)向力在車(chē)輛動(dòng)力學(xué)中起著重要作用。當(dāng)輪胎側(cè)偏角出現(xiàn)時(shí)，在接觸路徑側(cè)向力將施加于輪胎上[15]。當(dāng)輪胎側(cè)滑角很小時(shí)，側(cè)向力與輪胎側(cè)偏角和側(cè)偏剛度成正比：

Fy=C0β

(24)

式中：Fy為輪胎側(cè)向力；C0為輪胎側(cè)偏剛度。

假設(shè)左、右側(cè)輪胎側(cè)偏剛度相同，則左側(cè)和右側(cè)的側(cè)向力結(jié)合可以近似表示為：

(25)

3.2 輪胎側(cè)偏剛度估計(jì)

定義兩個(gè)虛擬參數(shù)為：

X1=Cf,X2=Cr

(26)

建立如下的一個(gè)線性回歸方程：

y(t)=φT(t)X(t)

(27)

式中：y(t)、φT(t)分別為測(cè)量輸出和輸入數(shù)據(jù)向量；X(t)為待估計(jì)的參數(shù)向量，其表達(dá)式分別為：

(28)

本文采用帶遺忘因子的遞推最小二乘法估計(jì)輪胎的側(cè)偏剛度，算法過(guò)程如下：

(29)

(30)

實(shí)際中，輪胎側(cè)偏剛度在確定的路面條件下，是在一定范圍內(nèi)的。本文限定Cf∈(Cf,min,Cf,max),Cr∈(Cr,min,Cr,max)。在轉(zhuǎn)向角近似為零時(shí)，所得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)也近似為零，此時(shí)估計(jì)值將變得不確定。所以在轉(zhuǎn)向角很小時(shí)，設(shè)置遞歸最小二乘法的數(shù)據(jù)不更新。

4 仿真試驗(yàn)結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證本文所提出估計(jì)算法的有效性，選擇專(zhuān)業(yè)的汽車(chē)仿真軟件CarSim和Simulink進(jìn)行聯(lián)合仿真試驗(yàn)。將CarSim車(chē)輛模型中輸出的變量作為實(shí)際參考值，與采用SR-UKF估計(jì)算法得到的車(chē)輛側(cè)偏角估計(jì)值和遺忘因子最小二乘法估計(jì)得到的輪胎側(cè)偏剛度估計(jì)值進(jìn)行比較。但由于CarSim車(chē)輛模型中輸出的變量不包含輪胎側(cè)偏剛度數(shù)據(jù)變量，所以本文利用已知的輪胎側(cè)向力和車(chē)輛側(cè)偏角信息將其計(jì)算出來(lái)，作為實(shí)際參考值進(jìn)行對(duì)比。

本文設(shè)定CarSim車(chē)輛模型中汽車(chē)參數(shù)如表1所示。

在CarSim的測(cè)試規(guī)范模塊設(shè)置車(chē)輛參數(shù)和仿真條件。車(chē)輛以80 km/h的初速度行駛，方向盤(pán)輸入轉(zhuǎn)向角設(shè)置為正弦信號(hào)輸入，其周期為4 s、振幅為60°。本文假設(shè)汽車(chē)分別在路面附著系數(shù)為0.9和0.4的路面上行駛，進(jìn)行仿真試驗(yàn)，得到在不同路面條件下車(chē)輛狀態(tài)信息、車(chē)輛側(cè)偏角和輪胎側(cè)偏剛度的估計(jì)結(jié)果圖。

表1 電動(dòng)汽車(chē)參數(shù)Table 1 Parameters of electric vehicle

圖2 μ=0.9時(shí)的車(chē)輛側(cè)偏角與輪胎側(cè)偏剛度估計(jì)結(jié)果Fig.2 Eestimation results of side-slip angle and cornering stiffness of tire when μ=0.9

圖2為μ=0.9時(shí)的車(chē)輛側(cè)向運(yùn)動(dòng)相關(guān)狀態(tài)估計(jì)結(jié)果。從圖2中可以看到：轉(zhuǎn)向角正弦輸入在2～6 s期間起作用，圖2(a)為在路面附著系數(shù)為0.9時(shí)的側(cè)向加速度、橫擺角速率和輸出轉(zhuǎn)向角隨輸入的正弦信號(hào)的變化趨勢(shì)和狀態(tài)。從圖2(b)中可以看出：在正弦信號(hào)輸入狀態(tài)下，本文所設(shè)計(jì)的平方根無(wú)跡卡爾曼觀測(cè)器(SR-UKF)可以準(zhǔn)確、有效地估計(jì)出車(chē)輛側(cè)偏角的變化，估計(jì)誤差很小，它的準(zhǔn)確估計(jì)為下文的控制設(shè)計(jì)和分析提供了有效的車(chē)輛狀態(tài)信息。

圖2(c)(d)分別為車(chē)輛的前、后輪側(cè)偏剛度的估計(jì)值與真實(shí)值對(duì)比圖，可以看出：本文采用的遺忘因子遞推最小二乘法有很好的實(shí)時(shí)性，前、后輪側(cè)偏剛度的估計(jì)值能夠較好地跟隨真實(shí)值的變化；前、后輪的側(cè)偏剛度真實(shí)值在轉(zhuǎn)向角為零或在零附近時(shí)，產(chǎn)生劇烈的震蕩，因?yàn)檎鎸?shí)值是通過(guò)輸出的已知量計(jì)算得到的，可能是在該時(shí)刻輪胎側(cè)偏角非常小(近似為零)，導(dǎo)致輪胎側(cè)偏剛度突變?cè)龃?。這種突變對(duì)控制系統(tǒng)有一定的影響，所以在轉(zhuǎn)向角很小或在零附近時(shí)，遞歸算法不進(jìn)行數(shù)據(jù)的更新，從而消除轉(zhuǎn)向角很小時(shí)，前、后輪側(cè)偏剛度產(chǎn)生的劇烈震蕩。

圖3 μ=0.4時(shí)的車(chē)輛側(cè)偏角與輪胎側(cè)偏剛度估計(jì)結(jié)果Fig.3 Eestimation results of side-slip angle and correring stiffness of tire when μ=0.4

圖3為μ=0.4時(shí)的車(chē)輛側(cè)向運(yùn)動(dòng)相關(guān)狀態(tài)估計(jì)結(jié)果。圖3(a)為路面附著系數(shù)為0.4時(shí)的側(cè)向加速度、橫擺角速率和輸出轉(zhuǎn)向角的隨著輸入的正弦信號(hào)的變化趨勢(shì)和狀態(tài)。從圖3(b)中可以看出：此時(shí)的質(zhì)心側(cè)偏角的估計(jì)值也能很好地跟隨真實(shí)值的變化，具有較好的實(shí)時(shí)性，相對(duì)于路面條件良好時(shí)，側(cè)偏角的值相對(duì)增大了一些，但是估計(jì)的準(zhǔn)確度依然很好，誤差較小；圖3(c)(d)分別為車(chē)輛前、后輪側(cè)偏剛度的估計(jì)值與真實(shí)值的對(duì)比效果圖，可以看出：圖中前、后輪側(cè)偏剛度的估計(jì)值也能夠?qū)崟r(shí)跟隨真實(shí)值變化。

圖4為不同路面條件下的側(cè)偏角估計(jì)誤差。從圖4可以看出：在不同路面條件下，本文所設(shè)計(jì)的狀態(tài)觀測(cè)器都能很好地估計(jì)車(chē)輛側(cè)偏角，估計(jì)誤差都很小，能為穩(wěn)定性控制提供可靠的車(chē)輛狀態(tài)信息。

圖4 側(cè)偏角估計(jì)誤差Fig.4 Estimation error of side-slip angle

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出采用平方根無(wú)跡卡爾曼濾波(SR-UKF)觀測(cè)器對(duì)車(chē)輛側(cè)偏角進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)。利用估計(jì)到的側(cè)偏角，使用帶遺忘因子的遞推最小二乘法對(duì)輪胎側(cè)偏剛度進(jìn)行估計(jì)。最后，通過(guò)Simulink仿真試驗(yàn)和CarSim聯(lián)合仿真試驗(yàn)驗(yàn)證了本文估計(jì)方法的有效性。結(jié)果表明：在不同路面條件下，本文方法獲得的估計(jì)值能夠?qū)崟r(shí)地跟隨實(shí)際值的變化，能夠達(dá)到控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的要求。本文研究對(duì)于后期電動(dòng)車(chē)側(cè)向穩(wěn)定性控制的深入研究具有重要意義。

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