何志華

(成都大學(xué)，四川 成都 610106)

大數(shù)定律，即隨機(jī)事件的大量重復(fù)出現(xiàn)中呈現(xiàn)的一種必然趨勢(shì)規(guī)律。后來(lái)泊松在其基礎(chǔ)上提出了新的陳述和理論。通俗地說(shuō)，這個(gè)定理是在恒定實(shí)驗(yàn)條件下，大量試驗(yàn)，隨機(jī)事件的頻率與概率幾乎相同。

切比雪夫大數(shù)定律三條定理之一可描述為：當(dāng)N個(gè)數(shù)量的期望值及其各自平方的期望值不超過(guò)給定值的值時(shí)，此N個(gè)量的算術(shù)平均數(shù)和數(shù)學(xué)期望值的算術(shù)平均值之差不小于給定概率，當(dāng)N趨于無(wú)窮大時(shí)，其值趨于1。用現(xiàn)在的符號(hào)表達(dá)且比雪夫大數(shù)定律，有：設(shè)X1，X2，…，Xn，…是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，數(shù)學(xué)期望E(Xi)和方差D(Xi)同時(shí)存在(i=1，2，…)，且D(Xi)0，有：

一、切比雪夫不等式

上述定理需利用切比雪夫不等式來(lái)推導(dǎo)，假設(shè)X1，X2，…，Xn，…是相互獨(dú)立的且不相關(guān)的隨機(jī)變量序列，并且都存在方差，則對(duì)于任何ε>0，有：

可以看出這就是切比雪夫不等式。

二、切比雪夫不等式的應(yīng)用

1.大數(shù)定律的推導(dǎo)依據(jù)。作為概率論極限理論的研究基礎(chǔ)，切比雪夫大數(shù)定律和切比雪夫不等式的地位是眾所周知的。首先，利用切比雪夫不等式推導(dǎo)出切比雪夫大數(shù)定律，可以說(shuō)切比雪夫不等式也是其他大數(shù)定律的理論研究依據(jù)和關(guān)鍵手段，后續(xù)數(shù)學(xué)家們的研究將切比雪夫的研究推向更高地位。

2.在生活中概率事件的應(yīng)用。關(guān)于切比雪夫不等式的應(yīng)用，目前沒(méi)有合理的摘要。任何一個(gè)隨機(jī)變量，幾乎所有的值都是將接近“平均”。在概率論中,切比雪夫不等式是對(duì)事件的上下界的估計(jì)。切比雪夫不等式的有限形式多用于代數(shù)中。例如在積分形式和微分形式中，可用于解決困難的積分不等式情況。其推廣式在概率論中的應(yīng)用、在生活中的小概率事件中的應(yīng)用也較為廣泛。且切比雪夫多項(xiàng)式一直是研究熱點(diǎn)，其良好的特性，如正交性、奇偶性、有界性、完備性。對(duì)其應(yīng)用產(chǎn)生的恒等式，得到一些積和式，對(duì)其推導(dǎo)也有新的遞推式，其中切比雪夫多項(xiàng)式在各項(xiàng)研究應(yīng)用廣泛。

3.利用切比雪夫多項(xiàng)式可構(gòu)造一系列切比雪夫矩陣,切比雪夫-范德蒙矩陣(切-范矩陣)的相關(guān)矩陣(廣義切-范矩陣),等差型切比雪夫矩陣；可用來(lái)研究一元切-范導(dǎo)數(shù)矩陣、二元切-范偏導(dǎo)數(shù)矩陣、跨行切-范矩陣這三類廣義切-范矩陣與范德蒙矩陣及廣義切比雪夫多項(xiàng)式。國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者應(yīng)用切比雪夫譜方法研究數(shù)值分析等應(yīng)用。

首先，引入Markov不等式的介紹：假設(shè)XX是一個(gè)不小于0的隨機(jī)變量，則：P(X>a)≤E(X)aP(X>a)≤E(X)a

此不等式僅僅通過(guò)使用隨機(jī)變量的期望E(X)就給出了分布的概率范圍，但是顯然，該不等式被過(guò)度放大了，并不能提供正確的信息。進(jìn)一步證明，就能夠得到切比雪夫不等式

切比雪夫定理推論：X1，X2，…，Xn，…是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，數(shù)學(xué)期望E(Xi)=μ和方差D(Xi)=σ2(i=1，2，…)，則對(duì)任意給定的ε>0，有

上式表明，當(dāng)n足夠大時(shí)，把n次測(cè)量結(jié)果的算術(shù)平均值作為a的近似值，所產(chǎn)生的誤差是十分小的，具有一定的實(shí)際意義。

對(duì)于服從參數(shù)為p的0-1分布的隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn，…，顯然DX(i)=p(1-p)<0.25(i=1,2,3,4,……),它符合服從切比雪夫大數(shù)定律的條件。

三、總結(jié)

綜上，經(jīng)過(guò)學(xué)者的研究，大數(shù)定律體系的發(fā)展已經(jīng)很完備，也出現(xiàn)了更廣泛的大數(shù)定律，生活中大多數(shù)概率事件都與大數(shù)定律、切比雪夫不等式相關(guān)，其應(yīng)用于社會(huì)和工業(yè)生產(chǎn)，為人類的研究奠基。

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