張 珊，柴玉珍

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，太原 030024)

積分微分方程是多年來被國內(nèi)外學(xué)者所關(guān)注的非線性演化方程，許多數(shù)學(xué)物理問題需通過積分微分方程求解。積分微分方程是近代數(shù)學(xué)的一個重要分支。數(shù)學(xué)、自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域中的許多問題都可以歸結(jié)為積分微分方程問題。正是因為這種雙向聯(lián)系和深入的特點，積分微分方程論得到了迅速地發(fā)展，成為包括眾多研究方向的數(shù)學(xué)分支。

起初在文章[1-3]對線性積分微分系統(tǒng)進行過描述和研究，之后文章[4-5]開始對非線性的積分微分方程進行研究，研究其解的初邊值問題和收斂性等。近幾年，人們開始研究該類方程的吸引子問題[6-9]。

本文研究如下初邊值問題：

(1)

方程(1)當(dāng)h(·)=g(·)=0時用于表示非線性彈性桿和弱非線性效應(yīng)的空間變換離子聲波縱向波傳播的問題[10-11]。對于經(jīng)典波動方程的全局吸引子存在性已有廣泛的研究，在[12-14]這些參考文獻中，作者經(jīng)常把經(jīng)典波動方程轉(zhuǎn)化為下列系統(tǒng)：

(2)

根據(jù)經(jīng)典半群理論，可得全局吸引子的存在性。但對于方程中含有耗散項Δutt和積分項的方程[6-9]，它不同于一般的波動方程，因此我們不可能直接把它化為式(2)，也不能用經(jīng)典半群理論來研究這類方程的全局吸引子。故在本文試圖用ω-極限緊的方法證明系統(tǒng)(1)解的全局吸引子的存在性，其次本文使用一種新的方法引理2.2，證明了半群{S(t)}t≥0在D(A)×D(A)中的耗散特性，而在此之前的大部分文獻一般使用Gronwall不等式得到半群的耗散特性，另外本文所討論的方程類型更加廣泛，所以在一定程度上對文獻有所推廣。

1 預(yù)備知識

Lp(Ω)(3≤p≤∞)上的模記為

且V和H上的內(nèi)積分別記為

記Hilbert空間上的積為E0=V×V,E1=D(A)×D(A),且記無論同一行還是不同行的C均為常數(shù)。

本文中對f,h,g,k,ψ做了如下假設(shè)：

I1)

即

f'(s)≥-β, ?s∈R.

(3)

|f"(s)|≤C(1+|s|3), ?s∈R.

(4)

使得

且滿足下述

hi(x,t)(0≤i≤4)在Ω×R+關(guān)于時間變量有一階偏導(dǎo)數(shù)且滿足

(5)

I3)對任意的k∈W1,∞(0,∞)∩W1,1(0,∞)，k(t)≥0，kt(t)≤0，?t≥0,

1) -m0k(t)≤kt(t)≤-m1k(t)，?t≥t0,

2)k(0)=0,|kt(t)|≤m2k(t)，?t∈[0,t0],

3)

0≤ktt(t)≤m3k(t)，?t≥0,

4)

(6)

I4)ψ(s,q)在R1×R1上有二階偏導(dǎo)數(shù)，且各二階偏導(dǎo)數(shù)都在有界集上

(7)

下面，概括一下關(guān)于吸引子存在性的一些具體結(jié)論。

定義1[15]Banach空間X上的半群{S(t)}t≥0稱滿足條件(C)，如果對X中的任一有界集B和任意的ε>0，存在tB≥0和X中的有限維子空間X1，使得對任意的t≥tB，都有{PS(t)x|x∈B,t≥tB}有界，且

‖(I-P)S(t)x‖X<ε，?t≥tB,x∈B.

其中，P:X→X1是有界映射，I是恒等映射。

引理1[15]設(shè)X是Banach空間，{S(t)}t≥0是X上的C0半群，如果{S(t)}t≥0滿足如下條件：

1) {S(t)}t≥0在X中有有界吸收集B0;

2) {S(t)}t≥0在X中滿足條件(C)；

則{S(t)}t≥0在X中有全局吸引子。

引理2 已知Φ(t)(t∈R+)是絕對連續(xù)的正值函數(shù)，且存在ε>0使得微分不等式

成立。其中存在α≥0和a∈[0,1)，使得q(t)滿足

存在β≥0，使得p(t)滿足

α,β是與t無關(guān)的常數(shù)。則存在T=T(α,β)，使得t≥T時

Φ(t)≤ρ.

其中ρ=ρ(ε,a,α,β)是一個正常數(shù)。

2 D(A)×D(A)上的全局吸引子

定理2 設(shè)假設(shè)I1)-I4)成立，σ,u0,u1是給定的函數(shù)且滿足

σ∈H,u0∈D(A),u1∈D(A) .

則方程(1)存在唯一的解

u,ut∈C([0,T];D(A))，utt∈L∞([0,T];D(A)).

且(u,ut)在E1中對初值具有連續(xù)依賴性。

由定理2可以定義E1上的一個C0半群{S(t)}t≥0，

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S(t):E1→E1,S(t):(u0,u1)→(u,ut).

2.1 有界吸收集

利用引理的方法并結(jié)合定理2可以得到下列結(jié)論。

定理3 {S(t)}t≥0在E1中有有界吸收集B0,即對任意的有界集B∈E1,存在t0=t0(B)，使得

S(t)B?B0，?t≥t0.

證明：設(shè)

|Δu0|2+|Δu1|2≤R，(R>0).

方程(1)和ut在L2上作內(nèi)積，再在[0,t)上積分，得

(8)

設(shè)v=ut+δu，方程(1)化為下列形式：

(9)

用-Δv和式(9)在L2(Ω)上作內(nèi)積，經(jīng)過計算，得

(10)

對上式右端利用變上限積分和分部積分公式以及根據(jù)I2)得：

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

將式(11)-(15)代入式(10)可得

(16)

(17)

則式(16)可改寫為

(18)

由Sobolev嵌入定理和引理3、4得：

≤C(‖u‖|Δu|+|Δu|2)≤C|Δu|2.

(19)

C1‖ut‖|Δu|2+C2‖u‖3‖ut‖|Δu|2.

(20)

(21)

(22)

將式(19)-(22)代入式(18)并利用式(6)可得

(23)

設(shè)

q(t)=2

則

則式(17)可寫為

其中,

Φ(t)≤ρ.

其中，ρ=ρ(δ,α,β)是一個正常數(shù)。即

‖ut‖2+γ|Δu|2+ω|Δut|2≤ρ.

故B0={(u,ut)T∈E1|‖ut‖2+γ|Δu|2+ω|Δut|2≤ρ}是{S(t)}t≥0在E1中的有界吸收集。

注1：對于假設(shè)(I2)當(dāng)hi(x,t)關(guān)于時間變量一階不可導(dǎo)時上述結(jié)論也成立。

注3：(由引理2、3):

2.2 ω-極限緊和全局吸引子

為了方便，假定B是E1的任意有界的子集。

定理4 半群{S(t)}t≥0在E1中是ω-極限緊的，即對任意的ε>0，存在T=T(B)，N=N(B)(有限維子空間Hm的維數(shù))，當(dāng)任意t≥T,m≥N,(u0,u1)∈B時，有

‖v2‖2+γ|Δu2|2+ω|Δv2|2<ε.

0<λ1<λ2<…<，λm→∞，當(dāng)m→∞ .

設(shè)Hm=span{ω1,ω2,…,ωm}，可以將它唯一的分解為

u=u1+u2，

用式(9)的方程在L2(Ω)上和-Δv2作內(nèi)積

(24)

應(yīng)用Sobolev不等式和定理3，對任意的ε>0，存在T=T(B,ε),N=N(B)(有限維子空間X1的維數(shù))，當(dāng)任意的t≥T,m≥N,(u0,u1)∈B時，有

則

則式(24)變?yōu)?/p>

由Gronwall不等式，對任意的t≥T,m≥N,(u0,u1)∈B，有

‖v2‖2+γ|Δu2|2+ω|Δv2|2≤Cε.

其中C是與ε無關(guān)的常數(shù)。

由定理3，定理4和引理2可得到下面結(jié)論：

定理5 設(shè)具有光滑邊界的有界區(qū)域Ω∈R3,且假設(shè)I1)-I4)成立，則半群群{S(t)}t≥0在E1中存在全局吸引子Λ.

：

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