向 玲， 張 悅

(華北電力大學 機械工程系，河北保定 071003)

在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，裂紋是一種比較典型的故障。由于運轉(zhuǎn)疲勞或初始加工中存在缺陷，導致轉(zhuǎn)子在運行過程中產(chǎn)生裂紋，轉(zhuǎn)軸剛度降低，穩(wěn)定性下降，橫向振動加劇，對轉(zhuǎn)子的正常運轉(zhuǎn)產(chǎn)生較大影響，甚至會發(fā)生嚴重事故。因此，檢測裂紋對保證生產(chǎn)具有極其重要的意義。裂紋動力學特性分析是故障研究的理論基礎[1]。

近年來，國內(nèi)外學者對基于裂紋故障的轉(zhuǎn)子進行了一系列研究。宋光雄等[2]歸納了發(fā)生裂紋的主要原因，總結(jié)了其故障特征和變化趨勢，并提出了裂紋故障的診斷依據(jù)。Guo等[3]對呼吸裂紋轉(zhuǎn)子的動力學特性進行了分析，驗證了基于EMD裂紋檢測方法的可靠性。于濤等[4]在考慮剪力因素的影響下建立了裂紋轉(zhuǎn)子的有限元模型，分析得到了雙裂紋轉(zhuǎn)子在不同轉(zhuǎn)速區(qū)和不同裂紋位置的系統(tǒng)響應。唐玉生[5]根據(jù)有限元方法建立了基礎-軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的有限元模型，對簡單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的裂紋和裂紋-碰摩耦合故障特征進行了分析。鄒劍等[6]基于傳遞矩陣和局部柔度理論，建立了單一開裂紋轉(zhuǎn)子的有限元模型，分析了裂紋大小和位置對系統(tǒng)響應的影響。Ferjaoui等[7]在考慮軸承油膜力的基礎上建立了柔性裂紋轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)模型，研究了臨界轉(zhuǎn)速附近裂紋深度對系統(tǒng)響應的影響，并利用分岔圖和龐加萊截面圖分析了裂紋對臨界轉(zhuǎn)速的影響。向玲等[8]在考慮裂紋軸時變剛度、碰摩力以及油膜力的情況下建立了裂紋-碰摩雙故障模型，多角度分析了轉(zhuǎn)子的非線性動力學特性。陳鐵鋒[9]分析了單裂紋和雙裂紋轉(zhuǎn)子在油膜支承下的動力學特性。Al-shudeifat等[10]將有限元方法運用到裂紋剛度矩陣中，構(gòu)造了新的裂紋開閉函數(shù)，并對亞臨界和臨界的系統(tǒng)響應進行了分析。劉政等[11]基于中性軸法確定了裂紋的開閉狀態(tài)，并分析了在過臨界轉(zhuǎn)速下以及加速瞬態(tài)過程中轉(zhuǎn)子的系統(tǒng)響應和穩(wěn)定性。朱厚軍等[12]基于Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，選取合理的裂紋開閉模型，對其次臨界和超臨界轉(zhuǎn)速區(qū)的動力學響應進行了分析。

從頻譜和動力學特征角度對轉(zhuǎn)子裂紋故障進行分析的研究較多，基于軸心軌跡分析裂紋故障的文獻較少。筆者基于裂紋轉(zhuǎn)子動力學模型，在考慮裂紋轉(zhuǎn)子時變剛度的情況下對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)1/3和1/2臨界轉(zhuǎn)速附近的軸心軌跡變化進行了分析。

1 含裂紋故障的Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)

具有水平剛性支承的Jeffcott裂紋轉(zhuǎn)子模型如圖1所示。轉(zhuǎn)軸兩端均為剛性支承，圓盤位于轉(zhuǎn)軸中心處，一橫向弓形裂紋位于圓盤根部。

圖1 含橫向裂紋的Jeffcott轉(zhuǎn)子示意圖

Fig.1 Schematic diagram of a Jeffcott rotor system with transverse crack

1.1 裂紋轉(zhuǎn)子開閉模型

圖2為裂紋的截面圖，其中xoy為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中的固定坐標系，ξo′η為轉(zhuǎn)動坐標系，o′為轉(zhuǎn)軸中心，o′ξ軸與裂紋擴展方向相同，在轉(zhuǎn)子運動過程中不考慮扭轉(zhuǎn)振動，僅考慮彎曲振動。筆者采用的轉(zhuǎn)子模型重力遠大于不平衡力，故裂紋模型為開閉裂紋，其中裂紋張開與閉合程度隨重力和不平衡力的合力變化而改變。圖2中α表示裂紋角的一半，θ和φ分別表示為：

θ=ωt+φ0

(1)

φ=θ+β-Ψ

(2)

式中：θ為自轉(zhuǎn)角；ω為轉(zhuǎn)軸的自轉(zhuǎn)角速度；t為轉(zhuǎn)動時間；φ0為轉(zhuǎn)軸初始相位角；β為偏心與裂紋方向之間的夾角；Ψ為轉(zhuǎn)軸的渦動角；φ為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)渦差角。

裂紋開閉模型為非線性，此模型建立在Gasch的開閉模型基礎上，并將非線性渦動因素考慮在內(nèi)[13-14]：

(3)

式中：f(φ)為裂紋的開閉函數(shù)。

圖2 裂紋截面示意圖

1.2 裂紋轉(zhuǎn)子剛度模型

轉(zhuǎn)軸的兩端為對稱支承，x向與y向的支承剛度相同，不考慮耦合剛度。裂紋會改變轉(zhuǎn)子的剛度，在轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的過程中裂紋橫截面受到的應力大小及方向時刻發(fā)生變化，變化后的剛度矩陣為K。綜合考慮裂紋的大小和方向，忽略o′η軸方向的剛度變化，即

ΔK=ΔKξ

(4)

式中：ΔKξ為o′ξ軸方向的剛度矩陣變化量；ΔK為剛度矩陣的變化量。

考慮轉(zhuǎn)軸的裂紋類型為呼吸裂紋，其變化后的剛度矩陣可表示為：

(5)

式中：k為無裂紋的轉(zhuǎn)子剛度；Δk為有裂紋的轉(zhuǎn)子剛度變化量[15]。

將轉(zhuǎn)動坐標系ξo′η轉(zhuǎn)化為固定坐標系xoy：

kxx=k-f(φ)Δkcos2(φ+Ψ)

(6)

kxy=kyx=-f(φ)Δkcos(φ+Ψ)sin(φ+Ψ)

(7)

kyy=k-f(φ)Δksin2(φ+Ψ)

(8)

2 裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運動微分方程

2.1 裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運動微分方程的建立

假設轉(zhuǎn)軸中央圓盤處的徑向位移分別為x和y，不考慮陀螺力矩和扭轉(zhuǎn)振動，僅考慮轉(zhuǎn)軸的彎曲振動，忽略裂紋對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)阻尼和質(zhì)量的影響。根據(jù)Lagrange方程將兩端支承連線的中心視為零勢能點，則裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動微分方程為：

(9)

式中：m為圓盤質(zhì)量；c為圓盤阻尼系數(shù)；e為圓盤偏心量。

2.2 裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運動微分方程的求解

(10)

(11)

(12)

3 數(shù)值仿真與分析

3.1 參數(shù)設定

采用4階龍格-庫塔法對無量綱化后的非線性方程組進行分析求解，系統(tǒng)的參數(shù)如表1所示。為消除瞬態(tài)響應的影響，選用100個周期后的計算結(jié)果進行仿真，得到裂紋轉(zhuǎn)子的分岔圖、軸心軌跡圖、龐加萊截面圖、時域波形圖和頻譜圖。

表1 系統(tǒng)參數(shù)

3.2 轉(zhuǎn)速對系統(tǒng)響應的影響

以轉(zhuǎn)速比為分岔參數(shù)，系統(tǒng)響應的分岔圖如圖3所示。裂紋轉(zhuǎn)子剛度的變化比K1=0.1，無量綱偏心量U=0.29，轉(zhuǎn)子的阻尼比ξ=0.05，其他相關參數(shù)如表1所示。考慮系統(tǒng)瞬態(tài)響應的影響，仿真過程從第100個周期開始，計算區(qū)間為150個周期。在轉(zhuǎn)速比小于1.5時，系統(tǒng)未發(fā)生分岔，一直處于單周期運動狀態(tài)。在次臨界轉(zhuǎn)速區(qū),轉(zhuǎn)子系統(tǒng)出現(xiàn)次諧波共振現(xiàn)象。由圖3可以看出，當轉(zhuǎn)速比為1/n(n=1,2,3…)時，系統(tǒng)出現(xiàn)共振現(xiàn)象，即曲線在相應點處出現(xiàn)多個峰值。

圖3 系統(tǒng)分岔圖

3.3 1/3臨界轉(zhuǎn)速附近的系統(tǒng)響應分析

在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，裂紋會影響轉(zhuǎn)子剛度，進而影響系統(tǒng)響應。通過對比有無裂紋轉(zhuǎn)子的軸心軌跡形態(tài)變化，可得出裂紋對系統(tǒng)響應的影響，進而通過軸心軌跡的形態(tài)特征判斷是否發(fā)生裂紋故障。設定參數(shù)為β=0，U=0.29。圖4為無裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在1/3臨界轉(zhuǎn)速附近的軸心軌跡圖，即K1=0。當剛度變化比K1=0.1時，裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在1/3臨界轉(zhuǎn)速附近的軸心軌跡圖和龐加萊截面圖如圖5所示。

(a)ω=0.29ωn(b)ω=0.31ωn(c)ω=0.33ωn(d)ω=0.35ωn

圖4 1/3臨界轉(zhuǎn)速區(qū)無裂紋轉(zhuǎn)子的軸心軌跡

Fig.4 Axis orbits of the uncracked rotor around 1/3 subcritical speed

在1/3臨界轉(zhuǎn)速附近，系統(tǒng)響應有規(guī)律地變化，轉(zhuǎn)子的軸心軌跡形態(tài)也隨轉(zhuǎn)速的變化而改變。由圖4可知，在1/3臨界轉(zhuǎn)速附近，轉(zhuǎn)子的軸心軌跡始終為規(guī)則圓環(huán)狀，但在不同轉(zhuǎn)速下，圓環(huán)的大小不同。由圖5可知，在1/3臨界轉(zhuǎn)速附近，剛度變化比K1=0.1的裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)軸心軌跡存在2個向內(nèi)凹陷的圓環(huán)，內(nèi)環(huán)的形狀和偏置方向均隨轉(zhuǎn)速的變化而改變，且在轉(zhuǎn)速的變化區(qū)間內(nèi)偏置方向的變化角度約為π/2。對比分析圖4和圖5中軸心軌跡形態(tài)可知，與利用頻譜分析的傳統(tǒng)方法相比，通過分析系統(tǒng)1/3臨界轉(zhuǎn)速附近的軸心軌跡形態(tài)變化來判斷是否存在裂紋故障更加簡便、清晰。

(a)ω=0.29ωn(b)ω=0.31ωn(c)ω=0.33ωn(d)ω=0.35ωn

圖5 1/3臨界轉(zhuǎn)速區(qū)的軸心軌跡和龐加萊截面圖

Fig.5 Axis orbits and poincaré maps around 1/3 subcritical speed

由圖5的龐加萊截面圖可知，始終僅存在1個相點，即此時裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動一直為單周期運動。

在相同的參數(shù)下，裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在相應轉(zhuǎn)速下的時域波形圖和頻譜圖如圖6所示。其中,頻譜圖中f是指系統(tǒng)響應包含的頻率成分，fr是指系統(tǒng)響應的基頻成分，f/fr表示系統(tǒng)響應頻率的無量綱數(shù)。系統(tǒng)響應中存在次諧波共振現(xiàn)象。由圖6可知，系統(tǒng)在1/3臨界轉(zhuǎn)速處出現(xiàn)共振。在1/3臨界轉(zhuǎn)速附近，時域波形均為周期信號，隨著轉(zhuǎn)速的提高，振動幅值先增大后減小，且在1/3臨界轉(zhuǎn)速處振動幅度最大。圖3中轉(zhuǎn)速比為1/3處出現(xiàn)一個峰值。頻譜圖中出現(xiàn)1X、2X、3X、4X等諧波頻率成分，其中諧波成分1X、2X、3X具有較大的幅值，且隨轉(zhuǎn)速的提高，各諧波成分的幅值變化趨勢為先增大后減小，當達到1/3臨界轉(zhuǎn)速時，各諧波頻率成分的幅值達到最大。

(a)ω=0.29ωn(b)ω=0.31ωn(c)ω=0.33ωn(d)ω=0.35ωn

圖6 1/3臨界轉(zhuǎn)速區(qū)的時域波形和頻譜圖

Fig.6 Time series and frequency spectra around 1/3 subcritical speed

3.4 1/2臨界轉(zhuǎn)速附近的系統(tǒng)響應分析

設定參數(shù)為β=0，U=0.29。圖7為無裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在1/2臨界轉(zhuǎn)速附近的軸心軌跡。圖8和圖9分別為剛度變化比K=0.1時裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在1/2臨界轉(zhuǎn)速附近的軸心軌跡、龐加萊截面圖以及時域波形圖、頻譜圖。

無裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在1/2臨界轉(zhuǎn)速附近的軸心軌跡始終為圓環(huán)狀。在裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中， 1/2臨界轉(zhuǎn)速附近的軸心軌跡隨轉(zhuǎn)速發(fā)生了規(guī)律性的變化，軌跡中存在一個向內(nèi)凹陷的圓環(huán)，其形狀和偏置方向均隨轉(zhuǎn)速的變化而改變，其中偏置方向在轉(zhuǎn)速變化區(qū)間內(nèi)改變的角度約為π。對比分析圖7和圖8中的軸心軌跡可知，根據(jù)軸心軌跡是否呈規(guī)則圓環(huán)狀、是否出現(xiàn)一個內(nèi)環(huán)，即可對裂紋故障進行簡便、清晰的診斷。

(a)ω=0.41ωn(b)ω=0.47ωn(c)ω=0.5ωn(d)ω=0.57ωn

圖7 1/2臨界轉(zhuǎn)速區(qū)無裂紋轉(zhuǎn)子的軸心軌跡

Fig.7 Axis orbits of the uncracked rotor around 1/2 subcritical speed

(a)ω=0.41ωn(b)ω=0.47ωn(c)ω=0.5ωn(d)ω=0.57ωn

圖8 1/2臨界轉(zhuǎn)速區(qū)的軸心軌跡和龐加萊截面圖

Fig.8 Axis orbits and poincaré maps around 1/2 subcritical speed

由圖9中時域波形圖可知，1/2臨界轉(zhuǎn)速附近的系統(tǒng)響應均為周期信號，且由于出現(xiàn)次諧波共振現(xiàn)象，在1/2臨界轉(zhuǎn)速處系統(tǒng)振動幅值最大，圖3中在轉(zhuǎn)速比為0.5處也出現(xiàn)峰值。由圖9可知，在頻譜圖中出現(xiàn)了1X、2X、3X等諧波頻率成分，且1X、2X的頻率成分具有較大幅值，隨著轉(zhuǎn)速的提高，各幅值變化趨勢為先增大后減小，當達到1/2臨界轉(zhuǎn)速時，各諧波成分的幅值達到最大。

(a)ω=0.41ωn(b)ω=0.47ωn(c)ω=0.5ωn(d)ω=0.57ωn

圖9 1/2臨界轉(zhuǎn)速區(qū)的時域波形和頻譜圖

Fig.9 Time series and frequency spectra around 1/2 subcritical speed

4 結(jié) 論

(1)在1/3臨界轉(zhuǎn)速和1/2臨界轉(zhuǎn)速附近，裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)軸心軌跡的內(nèi)環(huán)形狀和偏置方向均發(fā)生變化，其中1/3臨界轉(zhuǎn)速附近的軸心軌跡存在2個內(nèi)環(huán)，轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)偏置方向改變約為π/2。

(2)1/2臨界轉(zhuǎn)速附近的軸心軌跡存在一個內(nèi)環(huán)，偏置方向改變約為π。在無裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，相應的軸心軌跡始終為規(guī)則圓環(huán)狀，其形態(tài)在整個轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)基本不隨轉(zhuǎn)速的變化而改變。因此，根據(jù)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在1/3臨界轉(zhuǎn)速和1/2臨界轉(zhuǎn)速附近的軸心軌跡圖是否為規(guī)則圓環(huán)狀、是否存在內(nèi)環(huán)可診斷裂紋故障。

(3)系統(tǒng)隨著轉(zhuǎn)速變化未出現(xiàn)分岔現(xiàn)象，一直處于單周期運動，且系統(tǒng)響應中存在分數(shù)次共振現(xiàn)象，即在1/n臨界轉(zhuǎn)速處系統(tǒng)振動幅值明顯增大。后續(xù)將在轉(zhuǎn)子實驗臺做相關實驗，對系統(tǒng)軸心軌跡形態(tài)進行分析，驗證在該參數(shù)設定下仿真結(jié)果的準確性。

：

[1] 林言麗, 褚福磊, 郝如江. 開斜裂紋轉(zhuǎn)子的動力特性[J].振動與沖擊, 2008, 27(1): 25-29.

LIN Yanli, CHU Fulei, HAO Rujiang. Dynamic analysis of a Jeffcott rotor system with an opening slant crack on its shaft[J].JournalofVibrationandShock, 2008, 27(1): 25-29.

[2] 宋光雄, 陳松平, 宋君輝, 等. 汽輪發(fā)電機組轉(zhuǎn)子裂紋故障研究及分析[J].動力工程學報, 2012, 32(4): 289-295, 320.

SONG Guangxiong, CHEN Songping, SONG Junhui, et al. Cause analysis of rotor cracks in turbine-generator units[J].JournalofChineseSocietyofPowerEngineering, 2012, 32(4): 289-295, 320.

[3] GUO Chaozhong, YAN Jihong, YANG Weicheng. Crack detection for a Jeffcott rotor with a transverse crack: an experimental investigation[J].MechanicalSystemsandSignalProcessing, 2017, 83: 260-271.

[4] 于濤, 孫偉, 韓清凱. 雙裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力學特性研究[J].振動與沖擊, 2013, 32(19): 144-152.

YU Tao, SUN Wei, HAN Qingkai. Nonlinear dynamic behavior of a dual-crack rotor system[J].JournalofVibrationandShock, 2013, 32(19): 144-152.

[5] 唐玉生. 基礎—軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)損傷故障動力學特性研究[D]. 沈陽: 東北大學, 2013.

[6] 鄒劍, 陳進, 董廣明. 基于有限元模型單一開裂紋轉(zhuǎn)子的振動分析與無損估計[J].機械工程學報, 2004, 40(7): 29-33.

ZOU Jian, CHEN Jin, DONG Guangming. Vibration analysis and non-destructive evaluation of a rotor with an open crack via finite element model[J].ChineseJournalofMechanicalEngineering, 2004, 40(7): 29-33.

[7] FERJAOUI N, NAIMI S, CHOUCHANE M. Bifurcation analysis of a flexible balanced cracked rotor-bearing system[J].ComptesRendusMécanique, 2016, 344(9): 661-671.

[8] 向玲, 高雪媛, 張力佳, 等. 非線性油膜力下裂紋-碰摩故障轉(zhuǎn)子動力學分析[J].動力工程學報, 2016, 36(10): 788-794.

XIANG Ling, GAO Xueyuan, ZHANG Lijia, et al. Dynamic analysis of a rotor with coupling faults of crack and rub-impact under nonlinear oil-film force[J].JournalofChineseSocietyofPowerEngineering, 2016, 36(10): 788-794.

[9] 陳鐵鋒. 裂紋轉(zhuǎn)子動力學特性的有限元模擬研究[D]. 上海: 上海交通大學, 2010.

[10] AL-SHUDEIFAT M A, BUTCHER E A. New breathing functions for the transverse breathing crack of the cracked rotor system: approach for critical and subcritical harmonic analysis[J].JournalofSoundandVibration, 2011, 330(3): 526-544.

[11] 劉政, 王建軍. 呼吸性裂紋轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)振動特性分析[J].振動與沖擊, 2016, 35(7): 233-240.

LIU Zheng, WANG Jianjun. Analysis on transient vibration characteristics of breathing crack rotor[J].JournalofVibrationandShock, 2016, 35(7): 233-240.

[12] 朱厚軍, 趙玫, 王德洋. Jeffcott裂紋轉(zhuǎn)子動力特性的研究[J].振動與沖擊, 2001, 20(1): 1-4.

ZHU Houjun, ZHAO Mei, WANG Deyang. A study on the dynamics of a cracked Jeffcott rotor[J].JournalofVibrationandShock, 2001, 20(1): 1-4.

[13] 鄭吉兵, 孟光. 考慮非線性渦動時裂紋轉(zhuǎn)子的分叉與混沌特性[J].振動工程學報, 1997, 10(2): 190-197.

ZHENG Jibing, MENG Guang.The nonlinear influences of whirl speed on bifurcation and chaos of a cracked rotor[J].JournalofVibrationEngineering, 1997, 10(2): 190-197.

[14] GASCH R. A survey of the dynamic behaviour of a simple rotating shaft with a transverse crack[J].JournalofSoundandVibration, 1993, 160(2): 313-332.

[15] 劉元峰, 趙玫, 朱厚軍. 考慮碰摩的裂紋轉(zhuǎn)子非線性特性研究[J].振動工程學報, 2003, 16(2): 203-206.

LIU Yuanfeng, ZHAO Mei, ZHU Houjun.Nonlinear characteristics of a cracked rotor with rub-impact[J].JournalofVibrationEngineering, 2003, 16(2): 203-206.