劉 越，林瑞躍

(溫州大學數(shù)理與電子信息工程學院，浙江溫州 325035)

自1978年由美國著名運籌學家Charnes等[1]提出數(shù)據(jù)包絡分析（Data Envelopment Analysis，簡稱DEA）方法以來，該方法已經(jīng)在許多領(lǐng)域得了到成功應用和快速發(fā)展[2-4]．傳統(tǒng)的DEA方法是根據(jù)所有決策單元（Decision Making Unit，簡稱DMU）的投入和產(chǎn)出數(shù)據(jù)，采用變化權(quán)重的方法對同類DMU進行有效性評價．在傳統(tǒng)的DEA方法中，至少存在兩大不足：其一，由于傳統(tǒng)模型求得的所有有效DMU效率值的分值都為1，從而不能辨識這些有效DMU之間的優(yōu)劣；其二，傳統(tǒng)模型假設所有的投入和產(chǎn)出數(shù)據(jù)都是非負的，然而在現(xiàn)實生活中，可能存在諸多投入和產(chǎn)出數(shù)據(jù)為負數(shù)的情況，例如在對某銀行的分行進行績效評價時，增長客戶的數(shù)量、增長存款資金等數(shù)據(jù)都有可能是負數(shù)．

傳統(tǒng)DEA的上述缺點嚴重制約了其應用范圍，針對傳統(tǒng)DEA模型不能為所有有效DMU之間進行排序的問題，Andersen等[5]提出了超效率DEA模型去解決有效DMU之間的排序問題．投入型（產(chǎn)出型）的超效率模型是將被評價的DMU與除了該DMU以外的所有DMU進行比較，從而在該DMU有效時，獲得大于等于1（小于等于1）的超效率值．超效率模型在固定規(guī)模收益（Constant Returns to Scale，簡稱CRS）條件下通常為可行的，然而該方法在可變規(guī)模收益（Variable Returns to Scale，簡稱VRS）條件下可能會發(fā)生不可行問題．

為了解決超效率模型的不可行問題，諸多學者提出通過修改超效率模型的約束條件來修正超效率模型．近年來，方向距離函數(shù)（Directional Distance Function，簡稱DDF）被廣泛應用于解決超效率模型的不可行問題．Ray[6]基于DDF方法構(gòu)造了VRS條件下的Nerlove- Luenberger（簡稱N-L）超效率模型，同時指出N-L模型在2個特殊情況下仍不可行．Chen等[7]通過預先設定方向向量，解決了N-L模型中的不可行問題．Lin和Chen[8]發(fā)現(xiàn)Chen等[7]的模型在產(chǎn)出中存在零數(shù)據(jù)時也存在不可行問題．通過采用適當?shù)姆较蛳蛄?，Lin和Chen[8]提出一個新的基于DDF在VRS條件下的超效率模型，使得模型總是可行的．

與傳統(tǒng)DEA模型類似，現(xiàn)有的超效率模型并不能處理負投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)的問題．為了處理傳統(tǒng)DEA模型中的負投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)，Portela等[9]提出可處理負數(shù)據(jù)的范圍距離模型（Range Distance Model，簡稱RDM）．Sharp等[10]則基于SBM（Slacks Based Model）模型構(gòu)造了可有效處理投入產(chǎn)出中負數(shù)據(jù)和零數(shù)據(jù)的MSBM（Modified Slacks Based Model）模型．Emrouznejad等[11]將投入產(chǎn)出指標一分為二，通過增加指標的個數(shù)消除負數(shù)據(jù)．然而以上的這些可以處理負數(shù)據(jù)的 DEA模型是基于傳統(tǒng)DEA模型構(gòu)造的，不能對所有有效DMU進行完整的排序．

本文基于DDF的方法，通過選擇恰當?shù)姆较蛳蛄?，?gòu)造可處理負數(shù)據(jù)的超效率模型，旨在同時解決DEA模型中出現(xiàn)的上述兩大缺陷，使得無論投入和產(chǎn)出數(shù)據(jù)是正是負，模型總是可行的．

1 基于DDF的VRS超效率模型

假設有n個DMU，我們用DMUj(j=1,… ,n)來表示第j個DMU，其第i項投入表示為第r項產(chǎn)出表示為不失一般性地，我們假設至少存在一項投入使得假設至少存在一項產(chǎn)出使得由生產(chǎn)可能集需滿足的凸性公理和無效性公理，對于被評價的DMUk，其VRS條件下的超效率生產(chǎn)可能集定義如下：

假設被評價DMUk(k∈ { 1,… ,n})的投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)集為(xik,yrk)，再假設一組方向向量，那么建立在T上的方向距離函數(shù)為：

是一組非負且不為零的向量，其選取方式任意．為了構(gòu)造可處理負數(shù)據(jù)的超效率模型，構(gòu)建如下方向向量：

并得到如下方向距離函數(shù)：

基于方向距離函數(shù)（1），構(gòu)建如下模型來評價DMUk(k∈ { 1,… ,n})的超效率：

假設β*為模型（2）的最優(yōu)解，則有如下定理：

定理 1 模型（2）總是可行的，且當時，*0≤β ≤1；當時，-1≤ β*＜0 ．

證明：以下將分別討論如下兩種互補的情況．

情況1

此時在滿足的條件下，有和成立．由（2）式和以上不等式的約束條件可知β=0是模型（2）的一個可行解，又因為模型（2）的目標函數(shù)是求最大化β的值，故β*≥0．

成立，因此有β*≤1．

綜合以上分析可知，當時，有*0≤β ≤1成立．

情況2

此時存在使得成立，或者存在使得成立．

當存在使得成立時，由于則必有成立，那么由模型（2）的投入約束可知

因為對于有，那么當存在使得成立時有

根據(jù)（4）式和（5）式可知(xik,yrk)?T時，有β*＜0成立．

另一方面，對于所有滿足的投入，有

成立．

又因為成立，則可得

那么有

模型（3）的目標函數(shù)是求最大化β的值，由（6）式和（8）式可知β*≥-1成立．

故當(xik,yrk)?T時，有 - 1≤ β*＜ 0 ．

2 數(shù)例分析

為了檢驗模型（2）在實際應用中處理負數(shù)據(jù)的能力及能否對所有DMU進行完整排序，采用Sharp的一組處理污水的數(shù)據(jù)集[10]．該組數(shù)據(jù)見表1，有13個DMU，其中的2項投入分別為成本和廢水量，3項產(chǎn)出分別為可銷售量、二氧化碳量和沼氣量，該數(shù)據(jù)集中含有多個負數(shù)據(jù)及零數(shù)據(jù)．將模型（2）應用于該數(shù)據(jù)集，得到如表2第6列的效率值．顯而易見，模型（2）沒有出現(xiàn)不可行問題，這一點驗證了定理1．

表1 污水處理數(shù)據(jù)Table 1 Sewage Treatment Data

表2 污水處理數(shù)據(jù)的效率值Table 2 Efficiency Value of Sewage Treatment Data

選用Sharp等[10]的可處理負數(shù)據(jù)的MSBM模型與我們的模型（2）所求結(jié)果做對比（見表2），發(fā)現(xiàn)兩個模型都判定DMU3，DMU7，DMU8，DMU11和DMU13這5個DMU為有效的．然而，MSBM模型生成的所有有效DMU的效率值均為1，這使得我們無法根據(jù)這些效率值區(qū)分這5個DMU的績效優(yōu)劣；而模型（2）生成的這5個有效DMU的超效率值并不相等，我們可以對它們績效的高低進行排序，這是超效率模型在對DMU進行評價時的固有優(yōu)勢．

根據(jù)理論分析和實證結(jié)果可知，我們所提出的超效率模型可以處理負投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)，并且給所有DMU都提供了效率值．我們所提出來的模型，成功地解決了傳統(tǒng)超效率模型的不可行問題，并且在處理含負數(shù)據(jù)和零數(shù)據(jù)集時總是可行的．與現(xiàn)有的可處理負數(shù)據(jù)的DEA模型相比，此模型能夠?qū)λ蠨MU進行完整排序．

3 結(jié) 語

通過選擇恰當?shù)姆较蛳蛄?，?gòu)造全新的基于 DDF的超效率模型得以處理負投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)，解決了N-L超效率模型存在的不可行問題，與現(xiàn)有的可處理負數(shù)據(jù)的DEA模型相比，具有為所有DMU生成超效率值，且能夠?qū)λ蠨MU進行完整排序的優(yōu)勢．在未來的研究中，我們將提出一個考慮松弛的非徑向超效率模型，使其既能處理負數(shù)據(jù)又能滿足超效率模型生產(chǎn)可能集的公理體系．

參考文獻

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