厲良召，張笑欽

(溫州大學數(shù)理與電子信息工程學院，浙江溫州 325035)

近年來在信號處理和數(shù)值優(yōu)化領域，壓縮感知理論（Compressive Sensing or Compressive Sampling, 簡稱 CS）[1-2]受到廣泛關注．壓縮感知主要包括信號稀疏表示、設計冗余測量矩陣和信號恢復三部分[3]．CS本質是一個通過稀疏性約束求解欠定線性方程組的問題．研究表明[4]在一定條件下，線性系統(tǒng)的最小l1范數(shù)對應的解就是線性系統(tǒng)的最稀疏解，由此將一個NP-hard求解問題轉變?yōu)橐粋€求解最小l1范數(shù)（l1-min）的凸優(yōu)化問題．針對這一數(shù)值優(yōu)化問題，研究者們提出了很多快速有效的解法①Yang A Y, Sastry S S, Ganesh A, et al. Fastl1-minimization algorithms and an application in robust face recognition: a review [C]. IEEE International Conference on Image Processing, 2010: 1849-1852.．本文選取其中最為流行的軟閾值截斷算法[5]作為基礎，引入一種新的收縮閾值方法——對數(shù)閾值截斷算法②Malioutov D, Aravkin A. Iterative log thresholding [C]. IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing, 2014: 7198-7202.，并將該算法用于圖像去噪．非局部模型中性能較好的算法，如三維塊匹配濾波BM3D算法[6]、基于KSVD字典學習的自然圖像去噪算法[7]、非局部均值濾波NLM算法③Buades A, Coll B, Morel J M. A non-local algorithm for image denoising [C]. IEEE Computer Society Conference,2005: 60-65.等開辟了嶄新的理論分支，使圖像去噪領域跨越式向前發(fā)展．當前去噪領域，尤其在自然圖像去噪領域，大部分算法都圍繞非局部的主框架展開，通過利用圖像中圖像塊的自相似來實現(xiàn)圖像去噪，而圖像塊的自相似性是通過圖像塊形成的矩陣的低秩恢復來實現(xiàn)的．傳統(tǒng)低秩恢復模型，采用對矩陣奇異值進行軟閾值截斷來實現(xiàn)求解，沒有充分利用奇異值的先驗知識，奇異值的大小有著不同的影響，大的奇異值代表數(shù)據(jù)的主要投影方向，所以收縮要盡量保留下來，而小的奇異值則含有的數(shù)據(jù)量少，因而收縮時要盡可能的擴大．本文正是基于這點，在傳統(tǒng)的低秩去噪算法中，將對數(shù)閾值截斷算法和非局部低秩去噪模型結合，用于圖像去噪．

1 對數(shù)閾值截斷算法

從一個測量函數(shù)Y=Ax+n中找到它的稀疏解向量x∈RN，測量函數(shù)y∈RM，其中M＜N，n為高斯噪聲，可以通過（1）式來解決這個問題：

l0范數(shù)優(yōu)化是一個NP問題，很難找到優(yōu)質的稀疏解，因此采用凸松弛的方法，將l0范數(shù)改成l1范數(shù)得到：

根據(jù)壓縮感知理論[1-2]，在一定條件下最小l1范數(shù)所對應的解是函數(shù)的最稀疏解．通過Lasso問題[8]的優(yōu)化，可以得到：

其中λ是調節(jié)數(shù)據(jù)擬合項和稀疏正則項之間的平衡參數(shù)，由于目標函數(shù)（3）并不容易優(yōu)化，根據(jù)Majorization-Minimization優(yōu)化框架[9]，可以優(yōu)化替代目標函數(shù)：

對（4）式進行變形化簡可以得到：

其中是與x無關的項，故可以將這個問題轉化為軟閾值函數(shù)優(yōu)化問題，因而該算法是迭代軟閾值截斷（Iterative Soft Thresholding, 簡稱IST）算法[10]，

其中S(Z)λ為軟閾值算子：

當時，則（6）式是收斂函數(shù)．

在此基礎上，發(fā)現(xiàn)文獻[5]在原有的解決方法上采用新的閾值方法，參照該文獻對目標函數(shù)（3）進行處理，將目標函數(shù)轉化為：

其中δ是一個非常小的大于0的常數(shù)，對目標函數(shù)（8）進行固定點x的標量逼近得到：

在這里使用迭代對數(shù)閾值算法（10）求解目標函數(shù)（3），可以得到更加稀疏的解，即：

這里的L(x)λ就是（10）所表達的函數(shù)，只需更換函數(shù)進行迭代運算就可得到目標函數(shù)的稀疏解．

2 對數(shù)閾值截斷在圖像去噪中的應用

在自然圖像去噪中[11]，設含噪的圖像為其中N為高斯噪音，且服從正態(tài)分布，其中噪聲方差2δ 是一個描述噪聲統(tǒng)計特性的重要參數(shù)．

根據(jù)塊之間的固有的相似性，利用塊間的線性相關性建立低秩模型，因此在塊之間的結構越相似，在去除噪聲誤差的影響后，矩陣的秩將越小，建立低秩數(shù)學模型為：

其中λ是用來調節(jié)矩陣的秩最小化在重構中的作用，將其轉化為核范數(shù)進行優(yōu)化求解：

rank(X)和的顯著差異是前者只與非零奇異值的個數(shù)有關，而與具體的奇異值無關，后者則是直接依賴于所有奇異值并等于所有奇異值之和．這個優(yōu)化問題是凸的，所以直接采用奇異值分解作為解決方法．相似性矩陣的SVD分解為，其中是相似性矩陣Xm niR×∈ 的對應奇異值．對于（13）這個目標函數(shù)，采用RASL算法[12]優(yōu)化求解：

其中Sλ(Xi)為奇異值軟閾值算子，定義如下：

這里的算子是對Xi的奇異值進行軟閾值操作，使其向無噪收縮逼近，在某些情況下，如果Xi的絕大部分奇異值都在閾值τ之下，那么Sλ(Xi)的秩會相當?shù)牡?，因此只要輸入矩陣的奇異值低于閾值，對其閾值處理的輸出結果就是稀疏的，所以低秩是稀疏的特例．在許多文獻[13-14]中閾值不僅由噪聲決定，還依賴數(shù)據(jù)本身的性質，所以算法的關鍵就是閾值τ的設計．這里對奇異值的閾值操作的參數(shù)是固定的，但為了提高精度，采用迭代加以提高．

受壓縮感知領域的l范數(shù)稀疏理論和Bregman迭代[15]的提示，迭代低秩去噪模型為：

其中kσ是步長因子，利用（6）式可得：

每次迭代過程中，kσ控制著差異部分的強度，通過迭代把差異信息一點點回補到低秩部分，從而達到去噪的同時，盡可能的多保留細節(jié)．

為了準確計算含噪音的圖像方差，采用文獻①Charest M R, Elad M, Milanfar P. A general iterative regularization framework for image denoising [C]. IEEE International Conference on Sciences and Systems, 2006: 452-457.提出的一個方差估計策略，其估計為：

將優(yōu)于迭代軟閾值的算子的迭代對數(shù)閾值算子進行更換，可以得到新的解：

則算法的步驟如下：

步驟1：輸入噪聲圖像Y，然后根據(jù)噪聲強度設置參數(shù)，迭代次數(shù)H；

步驟3：建立搜索窗口，在窗口內對Y(k+1)分塊，并進行相似塊匹配②Mairal J, Bach F, Ponce J, et al. Non-local sparse models for image restoration [C]. IEEE International Conference on Computer Vision, 2010: 2272-2279.，在窗口內找yi的K個最相似的圖像塊，可以得到集合建立相似性矩陣Mi；

步驟4：對每一個Mi使用迭代對數(shù)閾值低秩分解；

步驟5：h=h+1，當h＜H，跳轉到步驟2，否則進行下一步；

步驟6：對恢復出的相似塊進行聚合，得到Y*．

3 實驗結果

3.1 實驗一

通過一組一維數(shù)據(jù)來研究這兩種迭代閾值函數(shù)是否有效，隨機產生一組數(shù)字．

0 - 100中在固定位子取1.3、1.3、1.7、2.0、1.2，其余值賦為0，得到圖1．對這組數(shù)據(jù)加以卷積得到另一組數(shù)據(jù)，見圖2．

圖1 原始數(shù)據(jù)Fig 1 Original Data

圖2 加噪數(shù)據(jù)Fig 2 Noise-added Data

對這組數(shù)據(jù)分別用迭代軟閾值算法和迭代對數(shù)閾值算法進行恢復處理，在迭代軟閾值算法中，取λ=0.1，在迭代對數(shù)閾值中取δ=0.2．得到圖3和圖4．

圖3 迭代軟閾值恢復Fig 3 Iterative Soft-threshold Recovery

圖4 迭代對數(shù)閾值恢復Fig 4 Iterative Logarithmic-threshold Recovery

這兩種算法在迭代次數(shù)為100次時的變化情況，見圖5和圖6．

從圖5圖6可以看到，迭代對數(shù)閾值算法在數(shù)值恢復精度上，更加接近原始數(shù)據(jù)，效果明顯優(yōu)于迭代軟閾值算法．在重構誤差上，迭代軟閾值的效果較差，而在函數(shù)收斂性方面，迭代對數(shù)閾值的函數(shù)變化更為平緩，實驗效果更佳．

圖5 迭代軟閾值函數(shù)Fig 5 Iterative Soft-threshold Function

圖6 迭代對數(shù)閾值函數(shù)Fig 6 Iterative Logarithmic-threshold Function

3.2 實驗二

客觀評價一幅圖像去噪效果，通過與原始圖像信號相比之后獲得的誤差信號來進行質量分析．圖像質量的下降與誤差信號的強弱相關．客觀評價方法屬于全參考圖像質量評價方法，常用的方法有結構相似度（SSIM）和峰值性噪比（PSNR）．

峰值信噪比（PSNR）是圖像處理中最常用的圖像質量評價的客觀標準，峰值信噪比越大，說明去噪效果越好．結構相似度取值范圍為0到1之間，值越大，說明圖像的結構越相似．

為驗證本文算法的有效性，選取格式為.tif的12張灰度自然圖進行測試，分別為“barbara”“boat”“cameraman”“couple”“fingerprint”“hill”“house”“l(fā)ena512”“man”“monarch_full”“peppers256”“straw”，見圖 7．

圖7 自然圖像Fig 7 Natural Image

取噪聲方差δ(δ＞0)分別為10、20、30．實驗參數(shù)中圖像塊w與搜索窗口nblk的大小如果迭代次數(shù)H=10；如果迭代次數(shù)去噪的各種算法都是使用matlab語言編程實現(xiàn)，仿真平臺：MATLAB R2017a平臺上運行．

在上述實驗條件下，對比傳統(tǒng)的去噪算法和本文提出的迭代對數(shù)閾值算法在自然圖像去噪效果，見表1．

表1 去噪算法PSNR值和SSIM值Table 1 Denoising AlgorithmPSNSValues andSSIMValues

從表格1的實驗結果可以看出，改進的迭代對數(shù)閾值算法相較于傳統(tǒng)的去噪方法，不管是去噪效果還是在圖像紋理保持效果都有所提高．

隨機選擇圖像“Lena512”，在圖8（a）原始圖像上加入方差δ=10的噪聲（PSNR=28.14），加噪圖像見圖8（b），圖8（c）為SOFT算法對加入噪聲圖像的去噪效果（PSNR=26.76，SSIM=0.79），圖8（d）為本文算法對加入噪聲圖像的去噪效果（PSNR=29.87，SSIM=0.87）．從實驗數(shù)據(jù)可以看出，本文提出的算法有較好的信噪比和更高的相似度．

選擇“barbara”，在原始圖9（a）上加入方差δ=30的噪聲（PSNR=18.52），見加噪圖9（b）所示．圖9（c）為SOFT算法對加入噪聲圖像的去噪效果（PSNR=31.56，SSIM=0.86），圖9（d）為本文算法對加入噪聲圖像的去噪效果（PSNR=35.20，SSIM=0.90）．從實驗數(shù)據(jù)可以看出，本文的算法在信噪比和相似度都遠高于軟閾值算法；在視覺效果中，本文的去噪效果更佳，圖片恢復更加清晰．

圖8 實驗比較Fig 8 Comparison of Experiments

圖9 實驗比較Fig 9 Comparison of Experiments

4 結 論

基于壓縮感知優(yōu)化問題，引入一種全新的迭代對數(shù)閾值算法，相較于傳統(tǒng)閾值方法更加平滑．在相似塊矩陣秩最小化的自然圖像去噪上加以采用，能很好地去除含有高斯噪音的噪聲圖像，保留低秩部分并恢復圖像．算法在閾值處理上采用迭代對數(shù)閾值，更加有效地保留了奇異值．實驗結果表明，該方法對于高斯噪音有很好地去噪效果，同時也能夠很好地保持圖像的結構紋理．

參考文獻

[1]Donoho D L. For most large underdetermined systems of equations, the minimall1-norm near-solution approximates the sparsest near-solution [J]. Commun Pur Appl Math, 2010, 59(6): 797-829.

[2]Sharon Y, Wright J, Ma Y. Computation and relaxation of conditions for equivalence between 1 and 0 minimization[J]. Ther Adv Psychopharm, 2007, 3(4): 186-190.

[3]Candè E J, Wakin M B. An introduction to compressive sampling [J]. IEEE Signal Proc Mag, 2008, 25(2): 21-30.

[4]Zhao P, Yu B. On model selection consistency of Lasso [J]. J Mach Learn Res, 2006, 7(12): 2541-2563.

[5]Chen S, Donoho D L, Saunders M A. Atomic decomposition by basis pursuit [J]. SIAM J Sci Comput, 1998, 20(1):33-61.

[6]Dabov K, Foi A, Katkovnik V, et al. Image denoising by sparse 3-D transform-domain collaborative filtering [J].IEEE T Image Process, 2007, 16(8): 2080-2095.

[7]Elad M, Aharon M. Image denoising via sparse and redundant representations over learned dictionaries [J]. IEEE T Image Process, 2006, 15(12): 3736-3745.

[8]Tibshirani R J. Regression shrinkage and selection via the Lasso [J]. J R Stat Soc, 1996, 58(2): 267-288.

[9]Figueiredo M A, Bioucas-Dias J M, Nowak R D. Majorization-minimization algorithms for wavelet-based image restoration [J]. IEEE T Image Process, 2007, 16(12): 2980-2991.

[10]Daubechies I, Defrise M, De Mol C. An iterative thresholding algorithm for linear inverse problems with a sparsity constraint [J]. Commun Pur Appl Math, 2003, 57(11): 1413-1457.

[11]唐中和. 低秩逼近理論及其在自然圖像去噪中的應用[D]. 西安：西安電子科技大學電子工程學院，2013：15-69.

[12]Peng Y, Ganesh A, Wright J, et al. RASL: robust alignment by sparse and low-rank decomposition for linearly correlated images [J]. IEEE T Pattern Anal, 2012, 34(11): 2233-2246.

[13]Candes E J, Plan Y. Matrix completion with noise [J]. P IEEE, 2009, 98(6): 925-936.

[14]Zhang L, Dong W, Zhang D, et al. Two-stage image denoising by principal component analysis with local pixel grouping [J]. Pattern Recognition, 2010, 43(4): 1531-1549.

[15]Cai J F, Osher S, Shen Z. Split bregman methods and frame based image restoration [J]. SIAM J Multiscale Mo,2010, 8(2): 337-369.