陳 偉，許 毅

(溫州大學(xué)數(shù)理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325800)

設(shè)為復(fù)平面C上的單位圓盤，是C上的閉單位圓盤，H（D）表示D上解析函數(shù)全體．

如果存在正數(shù)a,b（0＜a＜b）和t0∈［0, 1）滿足：在上單調(diào)遞減，且在上單調(diào)遞增，且．則稱上的正連續(xù)函數(shù)是一個(gè)正規(guī)函數(shù)[1]．

若函數(shù)是正規(guī)的，總是指它是徑向的，即設(shè)0＜p＜∞，-1＜q＜∞，若函數(shù)f滿足，且

其中 dA（z）是D上的Lebesgue測(cè)度，稱f屬于Besov空間Bp,q．當(dāng)p=2時(shí)，B2,q=Dq是加權(quán)Dirichlet空間；由文獻(xiàn)[2]知，當(dāng) 1 ＜P＜∞時(shí)，Bp,p-2=Bp為解析Besov空間Bp,q，且Bp是Bloch空間B的一個(gè)子空間，另由文獻(xiàn)[2]的定理4.28得當(dāng)p＞0時(shí)，是Bergman空間．

設(shè)μ是正規(guī)的，令：

則稱為Zygmund型空間．

如果取可以得到經(jīng)典的 Zygmund空間．設(shè)是微分算子，即對(duì)于，有，規(guī)定

定義加權(quán)微分復(fù)合算子為：其中，φ是D上的一個(gè)非常值的解析自映射．

若n=0，則就是加權(quán)復(fù)合算子

若u（z）≡1，加權(quán)復(fù)合算子uCφ就是復(fù)合算子Cφ，參見文獻(xiàn)[5-6]．對(duì)于Hardy空間到Zygmund型空間的加權(quán)微分復(fù)合算子的有關(guān)結(jié)果可參考文獻(xiàn)[7]．對(duì)于Besov空間到Zygmund空間的加權(quán)復(fù)合算子的有關(guān)結(jié)果見文獻(xiàn)[8]．

本文推廣了文獻(xiàn)[8]的結(jié)果，考慮Besov空間到Zygmund型空間上的加權(quán)微分復(fù)合算子的有界性及緊性，得到

定理1 設(shè)u∈H（D），φ為D上非常值的解析自映射，且 0 ＜p＜∞, -1＜q＜∞，則加權(quán)微分復(fù)合算子為有界算子的充分必要條件是

定理 2 設(shè)，φ為D上非常值的解析自映射，且 ,0＜p＜∞ -1＜q＜∞，則是緊算子的充要條件是有界算子，且

在無其他說明的情況下，以下均假設(shè)C表示與z,w等無關(guān)的正常數(shù)，且在不同的地方可以表示不同的常數(shù)．

1 定理1的證明

在證明定理1前，需要用到下述引理：

引理1[9]設(shè)則有

1.1 定理1充分性的證明

若（1）式 - （3）式成立，對(duì)于z∈D及根據(jù)三角不等式和引理1，有

另一方面

由（7）式 - （9）式得是有界的．

1.2 定理1必要性的證明

設(shè)是有界的，即存在常數(shù)C，使得

固定ω∈D，取函數(shù)

不難驗(yàn)證且

經(jīng)計(jì)算可得

所以

由（14）式可知得

若選擇檢驗(yàn)函數(shù)，由算子的有界性可知

因此

由（15）式和（16）式可得（1）式成立．對(duì)（2）式和（3）式，可分別考慮函數(shù)

不難驗(yàn)證

分別取檢驗(yàn)函數(shù)，類似（1）推理可得．

2 定理2的證明

在定理2的證明中需要用到如下引理．

引理2 設(shè)φ為D上非常值的解析自映射是緊算子的充分必要條件是是有界算子，且對(duì)于Bp,q中在D上內(nèi)閉一致收斂于0的有界函數(shù)序列

引理2可由文獻(xiàn)[5]中的命題3.11證明．

2.1 定理2充分性的證明

若是有界算子，且（4）式- （6）式成立，根據(jù)引理2只需證明若成立對(duì)Bp,q中任意有界序列在D的緊子集上一致收斂于0，則

不妨設(shè)，由（4） - （6）式知，對(duì)于任給的ε＞0，存在，使得當(dāng)時(shí)，有

因?yàn)閒k在D的緊子集上一致收斂于0，由Weierstrass定理可得在D的緊子集上也一致收斂于0，利用的有界性及定理1得到（1）式 - （3）式成立，因此存在，使得當(dāng)時(shí)，有

利用（19）式 - （20）式可得時(shí)，有

因此是緊的．

2.2 定理2必要性的證明

設(shè)是緊的，則有界．設(shè)是Bp,q中的一個(gè)點(diǎn)列且滿足，取檢驗(yàn)函數(shù)，這里的fk為（10）式中所定義的函數(shù)．

由（11）式- （13）式推出

對(duì)于有

所以，fk在D的緊子集上一致收斂于0．由的緊性及引理2，結(jié)合（21）式得

由此當(dāng)時(shí)，得

因此（4）式成立．

為了證明（5）式和（6）式，可分別取檢驗(yàn)函數(shù)，此處gk，hk分別為（17）式、（18）式中所定義的函數(shù)，類似（4）式可證，此處略去．

參考文獻(xiàn)

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