龐橋森，楊守志

（汕頭大學(xué)數(shù)學(xué)系，廣東 汕頭 515063）

0 引言

Hilbert空間中的框架概念由Duffin和Schaeffer[1]在研究非調(diào)和Fourier級(jí)數(shù)時(shí)提出.之后很多學(xué)者對(duì)其做了廣泛的研究，使得框架理論應(yīng)用于信號(hào)處理，信號(hào)采樣，圖像處理，系統(tǒng)模型等諸多領(lǐng)域，隨著對(duì)框架理論研究的不斷深入，許多學(xué)者對(duì)框架理論進(jìn)行了各種推廣，孫文昌教授[2]首先提出了一種更為一般的框架概念即g-框架，并對(duì)g-框架的性質(zhì)進(jìn)行了一些研究.為了在Gabor分析中得到更具一般性的對(duì)偶原則，Casazza，Kutyniook和Lammers[3]于2004年首次提出了框架的R-對(duì)偶（第一類R-對(duì)偶）的概念，并討論了框架R-對(duì)偶的一些性質(zhì).之后Christensen[4]于2015年提出了第二類R-對(duì)偶、第三類R-對(duì)偶、第四類R-對(duì)偶的概念，進(jìn)一步豐富了框架的R-對(duì)偶的內(nèi)容.

在文獻(xiàn)[5]中，Osgooei和Najati首先把R-對(duì)偶的內(nèi)容推廣到g-框架，并研究了Hilbert空間上g-框架的第一類g-R-對(duì)偶的某些性質(zhì).在文獻(xiàn)[6]中，Khosravi和Takhteh又把第二類R-對(duì)偶、第三類R-對(duì)偶、第四類R-對(duì)偶的概念推廣到g-框架上，同樣也討論了這三類R-對(duì)偶在g-框架上的一些性質(zhì)，并且根據(jù)第一類g-R-對(duì)偶，給出了對(duì)偶g-框架的一個(gè)刻畫(huà).本文在此基礎(chǔ)上，討論了g-框架上第一類g-R-對(duì)偶的一些新的性質(zhì)，并且根據(jù)第三類g-R-對(duì)偶給出對(duì)偶g-框架的一個(gè)刻畫(huà).

在本文中，H是復(fù)的可分Hilbert空間，其內(nèi)積為＜·，·＞，I是整數(shù)集的子集，{Hi}i∈I是H的閉子空間序列，B（H，Hi）表示H到Hi的所有有界線性算子的全體.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1序列Λ＝{Λi∈B（H，Hi）:i∈I}稱為Hilbert空間H關(guān)于{Hi}i∈I的g-框架，如果存在A，B＞0，對(duì)任意的f∈H有

成立，稱A，B分別為g-框架的下界和上界.

若僅有右邊不等式成立，則稱Λ是界為B的g-Bessel序列.

若A＝B，則稱為緊g-框架.若A＝B＝1，則稱為g-Parseval框架.

如果{Λi}i∈I是的一個(gè)g-框架，則稱為g-框架序列.

定義線性空間：

和內(nèi)積〈·，·〉

則是一個(gè)Hilbert空間.

如果Λ＝{Λi}i∈I是一個(gè)g-Bessel序列，那么Λ的合成算子為

它的共軛算子，即分析算子為

g-Bessel序列 Λ＝{Λi}i∈I的框架算子 SΛ定義為：

因此有如果Λ＝{Λi}i∈I是H的一個(gè)界為A，B的g-框架，那么g-框架算子SΛ是有界的，自伴的且可逆的.它的典范對(duì)偶定義為其中也是 H 的一個(gè)g-框架，框架界為B-1，A-1，并且

定義 2 設(shè) Λ＝{Λi}i∈I和 Θ＝{Θi}i∈I是 H 關(guān)于{Hi}i∈I的兩個(gè) g-Bessel序列，如果

成立，則稱Λ和Θ互為對(duì)偶g-框架.

定義3 序列Λ＝{Λi}i∈I稱為Hilbert空間H關(guān)于{Hi}i∈I的g-標(biāo)準(zhǔn)正交基，如果滿足下列兩個(gè)條件：

定義4 序列Λ＝{Λi}i∈I稱為Hilbert空間H關(guān)于{Hi}i∈I的g-Riesz基，如果滿足下列兩個(gè)條件：

（1）{Λi}i∈I是 g-完備的，即{f∈H:Λif＝0，i∈I}＝{0}；

（2）存在正數(shù)A，B使得對(duì)任意有限集合I1∈I和任意gi∈Hi，i1∈I1有

注1如果{Λi}i∈I是一組g-標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么根據(jù)定義有

則有

設(shè)Λ＝{Λi∈B（H，Hi）:i∈I}和Θ＝{Θi∈B（H，Hi）:i∈I}是g-Bessel界為B，C的兩個(gè)g-Bessel序列，定義算子：

那么根據(jù)文獻(xiàn)[8]有特別地

定義5[6]設(shè)Λ＝{Λi∈B（H，Hi）:i∈I}是H的一個(gè)g-框架，S為g-框架算子.

（1）令Γ＝{Γi∈B（H，Hi）:i∈I}和Υ＝{Υi∈B（H，Hi）:i∈I}是g-標(biāo)準(zhǔn)正交基，Λ與（Γ，Υ）相關(guān)的第一類 g-R-對(duì)偶是其中

（2）令Γ＝{Γi∈B（H，Hi）:i∈I}和Υ＝{Υi∈B（H，Hi）:i∈I}是g-標(biāo)準(zhǔn)正交基，Λ與（Γ，Υ）相關(guān)的第二類 g-R-對(duì)偶是其中

（3）令是g-標(biāo)準(zhǔn)正交基，M:HH是一個(gè)滿足的有界可逆算子，Λ與（Γ，Υ，M）相關(guān)的第三類g-R-對(duì)偶是其中

（4）令是g-Riesz基，Λ與（Γ，Υ）相關(guān)的第四類 g-R-對(duì)偶是其中

注2在第三類g-R-對(duì)偶中，M的選擇有無(wú)窮多種.顯然是成立的，那么也成立，其中U為任意酉算子.

定義6[7]設(shè)Λ和Θ是H的兩個(gè)g-框架

（1）如果存在一個(gè)有界線性可逆算子T:HH，使得Θi＝ΛiT，?i∈I，則稱Λ和Θ相似.

（2）如果存在一個(gè)酉線性算子T:HH，使得Θi＝ΛiT，?i∈I，則稱Λ和Θ酉等價(jià).

引理1[7]設(shè)Λ和Θ是H的兩個(gè)g-框架，那么當(dāng)且僅當(dāng)Λ和Θ相似.

引理 2[5]設(shè) Λ＝{Λi}i∈I為 Hilbert空間 H 關(guān)于{Hi}i∈I的 g-Bessel序列，表示Λ 的第一類 g-R-對(duì)偶，那么對(duì)所有的有

其中

引理 3[5]設(shè) Λ＝{Λi}i∈I為 Hilbert空間 H 關(guān)于{Hi}i∈I的 g-Bessel序列表示 Λ 與g-標(biāo)準(zhǔn)正交基 Γ＝{Γi}i∈I和 Υ＝{Υi}i∈I相關(guān)的第一類 g-R-對(duì)偶，對(duì)有下列結(jié)論成立：

引理4[6]設(shè)Λ＝{Λi∈B（H，HI）:i∈I}是H的一個(gè)g-框架序列，其g-框架算子為S，Γ＝{Γi∈B（H，HI）:i∈I}和 Υ＝{Υi∈B（H，HI）:i∈I}是 g-標(biāo)準(zhǔn)正交基，是 Λ 與（Γ，Υ）相關(guān)的第一類g-R-對(duì)偶，那么下面兩個(gè)結(jié)論等價(jià)：

（1）Θ是Λ的一個(gè)對(duì)偶g-框架；

（2）存在一個(gè)g-Bessel序列使得對(duì)每個(gè)gj∈Hj，j∈I都有

2 主要結(jié)論

在這部分，首先給出第一類g-R-對(duì)偶的幾個(gè)性質(zhì)，最后再根據(jù)第三類g-R-對(duì)偶給出對(duì)偶g-框架的一個(gè)刻畫(huà).

性質(zhì)1 如果 Λ＝{Λi}i∈I是Hilbert空間H關(guān)于{Hi}i∈I的g-Bessel序列，Λ 的g-框架算子為表示 Λ 與 g-標(biāo)準(zhǔn)正交基 Γ＝{Γi}i∈I和 Υ＝{Υi}i∈I相關(guān)的第一類 g-R-對(duì)偶，則有

特別地，即酉等價(jià).

證明：根據(jù)第一類g-R-對(duì)偶和g-標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義，有

當(dāng)j＝k時(shí)，有故存在酉算子U，使得因?yàn)槭亲园榈?，所以可得即酉等價(jià).

性質(zhì) 2 如果 Λ＝{Λi}i∈I和 Θ＝{Θi}i∈I是 Hilbert空間 H 關(guān)于{Hi}i∈I的 g-框架，和分別表示Λ和Θ的第一類g-R-對(duì)偶，則下列兩個(gè)結(jié)論等價(jià).

（1）Λ和Θ相似.

證明：因?yàn)镽T*＝（kerT）⊥，所以由引理1知Λ和Θ相似當(dāng)且僅當(dāng)kerTΛ＝kerTΘ，然后根據(jù)引理3得證.

性質(zhì) 3 如果 Λ＝{Λi}i∈I和 Θ＝{Θi}i∈I是 Hilbert空間 H 關(guān)于{Hi}i∈I的 g-框架，和分別表示Λ和Θ的第一類g-R-對(duì)偶，則下列兩個(gè)結(jié)論等價(jià).

（1）Λ和Θ酉等價(jià).

（2）ΦΛ的 g-框架算子 SΦΛ和 ΦΘ的g-框架算子SΦΘ相同.

證明：Λ和Θ酉等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)?{gi}i∈I∈kerTΛ，

由引理2，上式等價(jià)于

對(duì)所有的成立.又因?yàn)?/p>

所以可得g-框架算子相同.

性質(zhì) 4 如果 Λ＝{Λi}i∈I和 Θ＝{Θi}i∈I是 Hilbert空間 H 關(guān)于{Hi}i∈I的 g-框架，和分別表示Λ和Θ的第一類g-R-對(duì)偶，則下列兩個(gè)結(jié)論等價(jià).

（1）Λ和Θ的g-框架算子相同.

（2）ΦΛ和ΦΘ酉等價(jià).

證明：若是 Λ＝{Λi}i∈I與（Γ，Υ）相關(guān)的第一類 g-R-對(duì)偶，那么 Λ＝{Λi}i∈I是與（Υ，Γ）相關(guān)的第一類 g-R-對(duì)偶，見(jiàn)文獻(xiàn)[6]的引理 3.3.再由性質(zhì) 3 可證.

下面將根據(jù)第三類g-R-對(duì)偶，給出對(duì)偶g-框架的一個(gè)刻畫(huà)，為了證明的方便，我們先討論第一類g-R-對(duì)偶和第三類g-R-對(duì)偶的一個(gè)關(guān)系.

定理1設(shè) Λ＝{Λi∈B（H，H）i:i∈I}是H的一個(gè)g-框架序列，其g-框架算子為S，Γ＝{Γi∈B（H，H）i:i∈I}和 Υ＝{Υi∈B（H，H）i:i∈I}是g-標(biāo)準(zhǔn)正交基，M:HH是一個(gè)滿足的有界可逆算子，記為 Λ 與（Γ，Υ，M）相關(guān)的第三類g-R-對(duì)偶，那么Λ是g-框架當(dāng)且僅當(dāng)ΦΛ是g-Riesz序列.

證明：由g-框架的知識(shí)得到，是g-Parseval框架，ΥM是g-Riesz基，若其g-Riesz界為見(jiàn)文獻(xiàn)[8].假設(shè)Λ是一個(gè)界為0＜A1＜A2的g-框架，那么對(duì)任意有限子集F∈I，有

同理可得

所以ΦΛ是g-Riesz序列.

若ΦΛ是H上的g-Riesz序列，其g-Riesz界為0＜D1＜D2，令g-Riesz基的 g-Riesz 界為 0＜B1＜B2，假設(shè)則有一個(gè)有限子集F∈I和{gj∈Hj:j∈F}，使得

所以有

同理可得

因?yàn)樗驭荋的g-框架.

注3以上的定理給出了g-框架與它的第三類g-R-對(duì)偶的一個(gè)充要條件，因?yàn)槿我獾膅-標(biāo)準(zhǔn)正交基都是g-Riesz基，所以它是文獻(xiàn)[6]中定理2.5的一個(gè)特例.

定理2設(shè)Λ＝{Λi∈B（H，Hi）:i∈I}是H的一個(gè)g-框架序列，其g-框架算子為S，是g-Riesz序列，Γ＝{Γi∈B（H，Hi）:i∈I}和Υ＝{Υi∈B（H，Hi）:i∈I}是g-標(biāo)準(zhǔn)正交基，是一個(gè)滿足的有界可逆算子，那么下面兩個(gè)結(jié)論等價(jià)：

（1）Λ 與（Γ，Υ，M）相關(guān)的第三類 g-R-對(duì)偶是 ΦΛ；

（2）與（Γ，Υ）相關(guān)的第一類 g-R-對(duì)偶是

證明：（1）?（2）由第三類 g-R-對(duì)偶的定義有

所以

即與（Γ，Υ）相關(guān)的第一類 g-R-對(duì)偶是{ΦΛjM-1}j∈I.

（2）?（1）同理易證.

定理3設(shè) Λ＝{Λi∈B（H，H）i:i∈I}是H的一個(gè)g-框架序列，其g-框架算子為S，Γ＝{Γi∈B（H，H）i:i∈I}和 Υ＝{Υi∈B（H，H）i:i∈I}是g-標(biāo)準(zhǔn)正交基，M:HH是一個(gè)滿足的有界可逆算子，是 Λ 與（Γ，Υ，M）相關(guān)的第三類g-R-對(duì)偶，那么下面兩個(gè)結(jié)論等價(jià)：

（1）Θ是Λ的一個(gè)對(duì)偶g-框架；

（2）存在一個(gè)g-Bessel序列使得對(duì)每個(gè)gj∈Hj，j∈I，都有

其中表示序列與（Γ，Υ）相關(guān)的第一類 g-R-對(duì)偶.

證明：首先證明Θ是Λ的一個(gè)對(duì)偶g-框架是的一個(gè)對(duì)偶g-框架.若對(duì)?f∈H，有則有

所以有

即

故是的一個(gè)對(duì)偶g-框架.充分性的證明類似可證.

由定理2可知與（Γ，Υ）相關(guān)的第一類 g-R-對(duì)偶是因?yàn)槭莋-Parseval框架，所以其g-框架算子是單位算子I，若記序列與（Γ，Υ）相關(guān)的第一類 g-R-對(duì)偶為則根據(jù)引理 4 有，是的一個(gè)對(duì)偶g-框架?（2），所以（1）?（2）.得證.

注4定理3是根據(jù)第三類g-R-對(duì)偶，給出對(duì)偶g-框架的一個(gè)刻畫(huà)，它是文獻(xiàn)[6]中定理2.9的一個(gè)推廣，當(dāng)Λ＝{Λi}i∈I是g-Parseval框架，M＝I時(shí)，其中I是單位算子，定理3與文獻(xiàn)[6]中定理2.9是一致的.

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