宋 培，潘玉媚，盧敏如，方 睿

（汕頭大學數(shù)學系，廣東 汕頭 515063）

0 引言

近淺海觀測網(wǎng)的傳輸節(jié)點由浮標系統(tǒng)，系泊系統(tǒng)和水聲通訊系統(tǒng)組成.而系泊系統(tǒng)的設計問題就是選取適合的錨鏈的型號，長度和重物球的質(zhì)量，盡量減小浮標的吃水深度和游動區(qū)域及鋼桶的傾斜角.從而令水聲通訊系統(tǒng)的設備有較好的工作效果.本文根據(jù)2016年全國大學生數(shù)學建模競賽A題給出的某型傳輸節(jié)點各系統(tǒng)中的一些部件規(guī)格，錨鏈型號和參數(shù)表，以及傳輸節(jié)點的示意圖，嘗試解決以下問題：

問題一：某型傳輸節(jié)點選用II型電焊錨鏈22.05 m，選用的重物球質(zhì)量為1200 kg.現(xiàn)將該型傳輸節(jié)點布放在水深18 m，海床平坦，海水密度為1.025×103kg/m3的海域.假設海水靜止，分別計算海面風速為12 m/s和24 m/s時鋼桶和各節(jié)鋼管的傾斜角度，錨鏈形狀，浮標的吃水深度和游動區(qū)域.

問題二：在問題一的假設下，計算海面風速為36 m/s時鋼桶和各節(jié)鋼管的傾斜角度，錨鏈形狀和浮標的游動區(qū)域.請調(diào)節(jié)重物球的質(zhì)量，使得鋼桶的傾斜角度不超過5°，錨鏈在錨點與海床的夾角不超過16°.

問題三：由于潮汐等因素的影響，布放海域的實測水深介于16 m到20 m之間.布放點的海水速度最大可達到1.5 m/s，風速最大可達到36 m/s.請給出考慮風力，水流力和水深情況下的系泊系統(tǒng)設計，分析不同情況下鋼桶，鋼管的傾斜角度，錨鏈形狀，浮標的吃水深度和游動區(qū)域.

注：題目可到全國大學生數(shù)學建模競賽官方網(wǎng)站http://www.mcm.edu.cn下載

1 模型的假設

為了方便研究，在不改變題目要求的前提下，我們對模型作出以下假設：

（1）在任何情況下，圓柱形浮標始終保持豎直，不發(fā)生傾斜；

（2）風速恒定，方向平行于海平面，不同風速下浮標的近海風荷載為恒定值；

（3）鋼管，鋼桶，錨鏈的質(zhì)量分布均勻，錨鏈之間的連接無長度損失；

（4）海水流動方向平行于海平面，海面沒有波浪，并且當?shù)氐闹亓铀俣群銥?.8 m/s2.

2 模型的建立與求解

2.1 問題一的分析

袁夢等人[1]系統(tǒng)地進行了系泊系統(tǒng)的動力分析，順著他們的思路，我們需要綜合考慮風力，水流力和水深三個影響因素，在某型傳輸節(jié)點受到不同程度的影響時求解：（A）鋼桶和各節(jié)鋼管的傾斜角度；（B）錨鏈的形狀；（C）浮標的吃水深度和游動區(qū)域.

問題給出錨鏈長度與重物球質(zhì)量等條件，要求計算不同風速時鋼桶和各鋼管的傾斜角度，錨鏈形狀，浮標的吃水深度及游動區(qū)域.風速確定時，浮標的風荷載和浮力由吃水深度決定，我們設定吃水深度的一個初值，通過考慮整個系統(tǒng)在受力平衡狀態(tài)下的情況，可以確定各鋼管間以及鋼桶的拉力及其與水平方向的夾角；再通過重物球的信息可以確定錨鏈和鋼桶連接處的拉力及力與水平方向的夾角；繼而用迭代算法確定錨鏈各鏈環(huán)間的拉力及傾角，而后就可以得出錨鏈形狀，這樣我們就解決出（A）和（B）.然后通過不斷調(diào)整初值，使得計算出的進入海水里的系泊系統(tǒng)的深度與水深的差值小于0.05，得到浮標的吃水深度.當系統(tǒng)受力平衡時浮標游動到離錨水平距離最長的地方，則浮標的游動區(qū)域可以確定，從而解決（C）.給出問題一的求解流程圖如圖1.

圖1 問題一的求解流程圖

2.1.1 已知條件：傳輸節(jié)點布放在水深18 m，海床平坦，海水密度為1.025×103kg/m3的海域.選用II型電焊錨鏈22.05 m，重物球質(zhì)量1200 kg.假定海水靜止.

2.1.2 對浮標和鋼管進行物理受力分析

（1）把浮標看作質(zhì)點模型，對浮標進行物理受力分析如圖2所示.

在已知浮標在海水靜止，海面有風的海域上，我們得出浮標受四個作用力，分別是重力G0，浮力f0，風的作用力F風和第一節(jié)鋼管的作用力T1.其中θ1表示第一節(jié)鋼管對浮標的作用力T1與水平方向的夾角，那么第一節(jié)鋼管的傾斜角度為由于浮標在四個作用力下處于受力平衡狀態(tài)，可列出如下方程：

整理簡化方程（1），得出：

圖2 浮標的受力分析圖

圖3 第一節(jié)鋼管上方連接點的受力分析圖

（2）選取第一節(jié)鋼管與浮標的連接點對第一節(jié)鋼管進行物理受力分析如圖3所示：

分析后得知第一節(jié)鋼管同時也受四個作用力，分別是重力G1，浮力f1，浮標對第一節(jié)鋼管的作用力和第二節(jié)鋼管對第一節(jié)鋼管的作用力T2.因為浮標和第一節(jié)鋼管之間的相互作用力T1和在同一直線上，故與水平方向的夾角也為θ1.此外，把第二節(jié)鋼管對第一節(jié)鋼管的作用力T2與水平方向的夾角記作θ2，則第二節(jié)鋼管的傾斜角度表示為鋼管處于受力平衡狀態(tài)，可列方程如下：

（3）對第二，三，四節(jié)鋼管的受力分析與第一節(jié)鋼管相似，均取鋼管上方的連接點進行受力分析，以下僅給出受力分析圖（圖4）：

圖4 從左往右分別是第二、第三、第四節(jié)鋼管上方連接點的受力分析圖

同理，第二，三，四節(jié)鋼管也處于受力平衡狀態(tài)，可列通用方程如下：

整理簡化方程（3）求解出第二，三，四節(jié)鋼管與水平方向的夾角θi（i＝2，3，4）的正切值通用表達式如下：

（4）對鋼桶進行受力分析，分別是對鋼桶的上下端點進行受力分析.上端點是鋼桶與第四節(jié)鋼管的連接點，而下端點則是鋼桶與錨鏈首節(jié)的連接點.由于重物球掛在鋼桶的下方，那么在下端點處可將重物球和鋼桶看作整體，故下端點的受力分析采用整體法.鋼桶的受力分析圖如圖5.

圖5 鋼桶的受力分析圖

圖5中，G5和G6分別表示鋼桶、重物球的重力，f5和f6分別表示鋼桶、重物球所受的浮力，表示第四節(jié)鋼管對鋼桶上端點的作用力，T6表示錨鏈首節(jié)對鋼桶下端點的作用力，Tp和分別表示鋼桶對第四節(jié)鋼管的作用力、鋼桶對錨鏈首節(jié)的作用力，這兩個作用力大小相同而方向相反.由于鋼桶和重物球整體處于受力平衡狀態(tài)，可列方程組如下：

因為Tp和大小相同，整理方程組（4）和（5）可得：

（5）說明：所有的受力分析圖中，浮力和重力的方向是確定，但其長短不可表示其大小，力的大小需要通過計算得知；所有受力分析圖中，給出的相互作用力T1和以及拉力T6的方向和長短不是某時的真實的情況，而是僅給出大致情況以方便列出受力平衡狀態(tài)時的方程；同樣地，圖中給出的各鋼管和鋼桶與水平方向的夾角 θ1，θ2，θ3，θ4，θ5也都是不表示某時的實際情況，僅為方便分析；根據(jù)牛頓第三定律，知是相互作用力，方向相反，大小相同.

2.1.3 建立單點系泊系統(tǒng)二維靜力學模型[2]

首先，建立一個關于進入海水里的系泊系統(tǒng)的高度H的模型，將H看作三個部分高度的總和，分別是浮標的吃水深度h，鋼管和鋼桶在豎直方向上的投影長度L以及錨鏈在豎直方向上的投影長度y.給出表達式如下：

因為θi和y均可表示成關于浮標吃水深度h的一元函數(shù)，所以在海水里的系泊系統(tǒng)的高度H也可表示成關于h的一元函數(shù)，H＝f（h）.

建立模型后，我們設定吃水深度h的一個初值，通過考慮整個系統(tǒng)在受力平衡狀態(tài)下的情況，根據(jù)求解方程（1），（2），（3），得出各節(jié)鋼管和鋼桶間的拉力Ti及其與水平方向的夾角θi（i＝1，…，5）；再運用重物球的信息，求解方程（6），得出錨鏈和鋼桶連接處的拉力T6及力與水平方向的夾角θ6.進而通過迭代算法得到錨鏈每節(jié)鏈環(huán)間（節(jié)點處）的相互作用力以及力與水平方向的夾角，由此建立平面坐標系確定各節(jié)點的橫縱坐標，畫出錨鏈的形狀.

下一步，計算H的值并判斷H的值是否滿足條件如果滿足條件，則給出滿足條件時浮標吃水深度h的值；如果不滿足條件，則不斷通過修正浮標吃水深度h，求出滿足條件時的吃水深度h值.

圖6 高度H和半徑R的示意圖

其次，浮標的游動區(qū)域是一個以錨為中心的圓形區(qū)域，這個圓形區(qū)域的半徑R可由海水里的系泊系統(tǒng)高度H模型的部分模型求得.將半徑R看作兩個部分長度的總和，分別是鋼管和鋼桶在水平方向上的投影長度L0以及錨鏈在豎直方向上的投影長度x，給出表達式如下：

2.1.4 求解模型

先給吃水深度h設定一個初值，當海面風速v為12 m/s和24 m/s時，運用所建立的模型，分別求出海面風速為12 m/s和24 m/s時滿足條件的吃水深度.利用所求出的吃水深度的值計算暴露在海面的浮標在風向法平面的投影面積以及浮標所受的浮力大小，再利用公式F＝0.625×Sv2（N）算出浮標受風的作用力（風荷載）的大小.然后將計算得出的值以及已知的數(shù)值代入方程（1），求出θ1.根據(jù)前面受力分析列出的方程推算出鋼桶和各節(jié)鋼管的傾斜角度.通過迭代算法并建立坐標系得出錨鏈形狀.得到浮標的吃水深度后，根據(jù)系統(tǒng)受力平衡時浮標游動到離錨水平距離最長的地方，確定浮標的游動區(qū)域的半徑R.

編寫MATLAB程序[3]給出求解得到的結果見表1.

表1 滿足條件的吃水深度

根據(jù)表1的值計算得出海面風速為12 m/s和24 m/s時的各節(jié)鋼管和鋼桶與水平方向的夾角θi值，見表2.

表2 各節(jié)鋼管和鋼桶與水平方向的夾角 （°）

各節(jié)鋼管和鋼桶的傾斜角度（與豎直方向的夾角）根據(jù)直角三角形內(nèi)的兩個銳角和等于90°算出，則海面風速分別為12 m/s和24 m/s時的各節(jié)鋼管和鋼桶的傾斜角度見表3.

得知浮標的吃水深度，求出T6和θ6后，通過迭代算法得到錨鏈每節(jié)鏈環(huán)間（節(jié)點處）的相互作用力以及力與水平方向的夾角，得到各節(jié)點的橫縱坐標，由此建立坐標系，得出海面風速分別為12 m/s和24 m/s時錨鏈的形狀.

圖7 海面風速為12，24，36 m/s時的錨鏈形狀

畫出錨鏈形狀圖的同時我們給出起錨角的大小，見表4.

表4 海面風速為12 m/s和24 m/s時的起錨角

最后求出海面風速分別為12 m/s和24 m/s時浮標的游動區(qū)域半徑R見表5.

表5 浮標的游動區(qū)域半徑R

分析運用問題一模型所求解的全部結果，我們發(fā)現(xiàn)在鋼桶與錨鏈連接處懸掛了1200 kg的重物球，海面風速為12 m/s和24 m/s時，起錨角分別為0°和0.1571°，均不超過16°；鋼桶的傾斜角度分別為1.2223°和4.6430°，均不超過5°，雖然鋼桶發(fā)生了傾斜但不處于豎直，所以系泊系統(tǒng)水聲通訊設備的工作效果不處于較差狀態(tài).

2.2 問題二的分析

問題二需要先在問題一的假設下計算海面風速為36 m/s時鋼桶和各節(jié)鋼管的傾斜角度，錨鏈形狀和浮標的游動區(qū)域，我們將運用問題一的模型計算出上述問題.然后問題需要調(diào)節(jié)重物球的質(zhì)量，使得鋼桶的傾斜角度不超過5°，錨鏈在錨點與海床的夾角（起錨角）不超過16°，據(jù)此我們判斷海面風速為36 m/s時，鋼桶傾斜角和起錨角偏大，致使系泊系統(tǒng)的水聲通訊設備工作效果差.于是決定以1200 kg為調(diào)節(jié)重物球質(zhì)量的初始值，選取質(zhì)量范圍為（1200，2600）kg進行調(diào)節(jié)，每隔100 kg取一個值分別計算出鋼桶傾斜角和起錨角，得到范圍內(nèi)的一系列值后分別畫出散點圖，再通過二次擬合分別畫出重物球質(zhì)量-鋼桶傾角及重物球質(zhì)量-起錨角的函數(shù)關系圖，最后得出符合題意的重物球質(zhì)量.

2.2.1 求解海面風速為36 m/s時的系泊系統(tǒng)的情況

關于在問題一的假設下，計算海面風速為36 m/s時鋼桶和各節(jié)鋼管的傾斜角度，錨鏈形狀和浮標的游動區(qū)域，我們運用模型一，解出當海面風速為36 m/s時浮標的吃水深度為0.7170米，然后就可計算出海面風速為36 m/s時鋼桶和各節(jié)鋼管的傾斜角，浮標的游動區(qū)域半徑以及起錨角見表6，錨鏈形狀見圖7中的右圖.

表6 海面風速為36m/s時系泊系統(tǒng)的基本情況數(shù)據(jù)

由表6中的數(shù)據(jù)我們得知，當選用的重物球質(zhì)量為1200 kg，海面風速為36 m/s時，起錨角達到了18.6899°，超過16°；鋼桶的傾斜角達到了9.6347°，超過5°，此時系泊系統(tǒng)水聲通訊設備的工作效果差.

2.2.2 調(diào)節(jié)重物球的質(zhì)量找出合適范圍

得知海面風速為36 m/s時系泊系統(tǒng)的水聲通訊設備的工作效果差后，我們打算給研究對象重物球質(zhì)量設定一個調(diào)節(jié)范圍，起始值為1200 kg，終止值為2600 kg.然后在范圍（1200，2600）kg間，每隔100 kg取一個值并分別計算在該重物球質(zhì)量下鋼桶傾斜角和起錨角的大小.計算得到所選取范圍內(nèi)的一系列值后分別畫出散點圖，再通過二次擬合分別畫出重物球質(zhì)量-鋼桶傾斜角以及重物球質(zhì)量-起錨角的函數(shù)關系圖.

下面給出在（1200，2600）kg范圍區(qū)間所選取的重物球質(zhì)量對應的鋼桶傾斜角以及起錨角的數(shù)值表格7.

表7 各重物球質(zhì)量對應的鋼桶傾斜角以及起錨角

由表7可以得出，鋼桶傾斜角為5°時對應的重物球質(zhì)量在（1900，2000）kg范圍內(nèi)，起錨角為16°時對應的重物球質(zhì)量在（1600，1700）kg范圍內(nèi).因此可判斷，要使鋼桶傾斜角小于5°，起錨角小于16°同時滿足，那么重物球質(zhì)量的最小值應在（1900，2000）kg區(qū)間上.

再利用表7中的數(shù)值作出散點圖，通過二次擬合分別作出重物球質(zhì)量-鋼桶傾斜角以及重物球質(zhì)量-起錨角的函數(shù)關系圖，并給出函數(shù)關系式，如圖8所示.

圖8 二次擬合后重物球質(zhì)量-鋼桶傾斜角、重物球質(zhì)量-起錨角的函數(shù)關系圖

給出圖8二次擬合后的重物球質(zhì)量（x）-鋼桶傾斜角（y）函數(shù)關系式如下：

通過函數(shù)圖像得知，要使鋼桶的傾斜角度不超過5°，那么懸掛在鋼桶上的重物球質(zhì)量應該大于1963 kg.

圖8二次擬合后的重物球質(zhì)量（x）-起錨角（y）函數(shù)關系式如下：

通過函數(shù)圖像得知，要使起錨角的角度不超過16°，那么懸掛在鋼桶上的重物球質(zhì)量應該大于1668 kg.

綜上，當海面風速為36 m/s時，要使得鋼桶的傾斜角度不超過5°的同時，起錨角不超過16°，那么應調(diào)節(jié)重物球的質(zhì)量大于1963 kg.

2.3 問題三的分析[4]

問題三中，重物球質(zhì)量，錨鏈長度，水深，海水流動方向與風向夾角都是待定的變量，首先分析以上變量對要素（A）（B）（C）的影響.

（1）重物球質(zhì)量：重物球主要影響該系統(tǒng)中的鋼桶傾角及起錨角，可以運用問題二中的方法確定重物球的可取范圍.

（2）水深與錨鏈長度：水深主要影響該系統(tǒng)中的錨鏈的長度.當水深增加，海平面升高時，如果錨鏈的長度不足，很容易造成起錨角過大，致使系泊系統(tǒng)發(fā)生起錨現(xiàn)象.因此可先考慮水深，風速，海水速度達到最大的時候，起錨角符合要求時的錨鏈長度.應用這個錨鏈長度值進行計算，以保證整個系統(tǒng)在潮汐漲落中保持穩(wěn)定.

（3）海水流動方向與風向夾角：由于海水流動方向與風向夾角的存在，該系統(tǒng)的受力情況將由二維的轉化為三維的，建立兩個空間直角坐標系來表示該系統(tǒng)受到的力，將各個力分解到x軸，y軸，z軸上，以便于受力分析.再采用問題一中的模型解決（A）-（C）.

由此可見，重物球質(zhì)量，水深，海水流動方向與風向夾角都會影響（A）-（C）.可采用控制變量法分不同情況研究三個變量對（A）-（C）的影響.

2.3.1 在空間直角坐標系下對浮標和鋼管進行三維的物理受力分析

（1）類似問題一的受力分析，把浮標看作質(zhì)點模型，以浮標質(zhì)點為空間直角坐標系的原點，豎直方向為空間直角坐標系z軸方向，對浮標進行受力分析如圖9所示.

由于在各力作用下，浮標處于受力平衡狀態(tài)，將力分解到坐標軸上，我們得到如下方程：

整理簡化方程后可得出如下表達式：

圖9 浮標的三維受力分析圖

圖10 第一節(jié)鋼管的三維受力分析圖

（2）選取第一節(jié)鋼管與浮標的連接點作為球坐標系的原點，采用質(zhì)量集中法，把第一節(jié)鋼管的質(zhì)量集中在上方的連接點處，然后對第一節(jié)鋼管進行三維的受力分析如圖10所示.

同樣地，在各個力的作用下第一節(jié)鋼管上方的連接點處于受力平衡狀態(tài)，將力都分解到坐標軸上，列出如下方程：

整理簡化方程后得出如下表達式：

（3）與處理第一節(jié)鋼管類似地分別處理第二，第三，第四節(jié)鋼管，然后也可給出相應的三維受力分析圖，并列出受力平衡狀態(tài)下的通用方程如下，其中i＝3，4，5：

整理簡化方程后亦可得下述通用方程式：

（4）根據(jù)整體法，將鋼桶和重物球看作一個整體，并視為質(zhì)點模型，然后進行受力分析，得出受力分析圖11.

將各個力分解到坐標軸上，給出平衡狀態(tài)下的方程如下.

圖11 鋼桶和重物球整體的三維受力分析圖

2.3.2 采用控制變量法，研究變量為錨鏈型號時的情況

受力分析后我們建立單點系泊系統(tǒng)三維靜力學模型，然后運用以上所建模型，控制重物球質(zhì)量為4300 kg，錨鏈節(jié)數(shù)為300節(jié)，海面風速為36 m/s，海水速度為1.5 m/s，研究不同錨鏈型號對吃水深度、各鋼管以及鋼桶的傾角和起錨角的影響，得到表8.

表8 控制變量為錨鏈型號時系泊系統(tǒng)的情況

由表8可以看出：同樣的重物球質(zhì)量，錨鏈節(jié)數(shù)，風速，海水速度下，Ⅰ型錨鏈會造成系統(tǒng)的起錨角過大，使用Ⅱ型，Ⅲ型錨鏈可以得到正常起錨角，使用Ⅳ型，Ⅴ型錨鏈，系泊系統(tǒng)中會有一部分的錨鏈躺在地上，但Ⅴ型通訊設備工作效果最佳.

依據(jù)上述結果，同樣的重物球質(zhì)量，錨鏈節(jié)數(shù)，風速，海水速度下，系泊系統(tǒng)在分別使用Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ型錨鏈時，穩(wěn)定性一次增強，但造價依次上升，故因綜合考慮穩(wěn)定性和造價選擇錨鏈型號.

3 總結

本文通過建立單點系泊系統(tǒng)二維靜力學模型完整地解決了問題一和問題二.對于問題一，建立二維靜力學模型，選定吃水深度的一個初值，然后根據(jù)所給出的解決問題一的流程圖不斷檢驗，最終得到符合題意的吃水深度的確定值，再逐步確定系泊系統(tǒng)各個部位的傾斜角等參數(shù)；對于錨鏈形狀，采用懸鏈線方程和迭代法；對于問題二，在問題一中模型基礎上，用二次擬合求出當風速改變時，得出工作狀態(tài)最佳的最小重物球質(zhì)量；而針對問題三，二維靜力學模型已不足以用來解決問題，需將二維轉化為三維，應用三維靜力學模型在不同情況下系泊系統(tǒng)各部位狀態(tài)的影響.

[1]袁夢，范菊，繆國平，等.系泊系統(tǒng)動力分析[J].水動力學研究與進展（A輯），2010，25（3）：285-291.

[2]王磊.單點系泊系統(tǒng)的動力學研究[D].青島：中國海洋大學，2012.

[3]卓金武，李必文，魏永生，等.MATLAB在數(shù)學建模中的應用[M].北京：北京航空航天大學出版社，2014.

[4]李曉平.多體系統(tǒng)動力學建模方法及在水下纜索中的應用研究[D].天津：天津大學，2004.