，，

北京航天自動(dòng)控制研究所，北京 100854

迭代制導(dǎo)技術(shù)早在美國(guó)“阿波羅計(jì)劃”中的“土星-V”火箭的制導(dǎo)方案中已經(jīng)使用。之后，美國(guó)的航天飛機(jī)，法國(guó)的“阿里安”火箭和俄羅斯的“能源號(hào)”火箭也都采用了迭代制導(dǎo)技術(shù)，并取得了良好的效果[1-3]。在中國(guó)載人火箭上使用的迭代制導(dǎo)方法已經(jīng)經(jīng)過(guò)多次載人任務(wù)的考核，成熟可靠，適應(yīng)能力強(qiáng)，并且將該方法嘗試在月面上升段使用，效果良好[4]。但上述使用的迭代制導(dǎo)方法是通過(guò)改變發(fā)動(dòng)機(jī)推力矢量方向來(lái)修正軌道偏差，從而達(dá)到精確入軌的目的，由此帶來(lái)的問(wèn)題就是入軌時(shí)刻的姿態(tài)角必須由制導(dǎo)算法決定，而不能預(yù)先確定，否則最后時(shí)刻推力矢量的偏差將可能使迭代制導(dǎo)的精度優(yōu)勢(shì)蕩然無(wú)存[5]。

國(guó)內(nèi)外對(duì)迭代制導(dǎo)方法研究已開(kāi)展多年[6-8]，理論已經(jīng)相當(dāng)成熟。綜合而言，迭代制導(dǎo)方法只能滿(mǎn)足速度和位置約束，無(wú)法滿(mǎn)足終端姿態(tài)約束，尤其對(duì)某些常推力火箭而言，傳統(tǒng)的迭代方法無(wú)法同時(shí)滿(mǎn)足3個(gè)速度和位置分量的終端約束[6]。

針對(duì)傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)法無(wú)法同時(shí)滿(mǎn)足多終端約束的問(wèn)題，尤其是終端姿態(tài)約束的難題，最為直接有效的方法就是在火箭入軌末端具備調(diào)姿系統(tǒng)，在不影響質(zhì)心運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的情況下將姿態(tài)調(diào)整至要求值，可以同時(shí)確保軌道和姿態(tài)滿(mǎn)足要求。而在不具備調(diào)姿系統(tǒng)的情況下，可以考慮在小推力發(fā)動(dòng)機(jī)工作段結(jié)束前進(jìn)行姿態(tài)調(diào)整的方法，提前估計(jì)需要調(diào)整的角度并進(jìn)行補(bǔ)償，降低調(diào)姿造成的速度偏差，通過(guò)初步的仿真表明，該方法能夠起到一定的作用，但由于難以準(zhǔn)確估計(jì)調(diào)整角度，效果并不十分理想[5]。

本文在傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)方程的基礎(chǔ)上引入終端姿態(tài)約束方程，通過(guò)二次曲線(xiàn)形式的制導(dǎo)程序角進(jìn)行計(jì)算與規(guī)劃，推導(dǎo)出跨越主機(jī)段和游機(jī)段的全真空飛行段的迭代制導(dǎo)程序角計(jì)算方法，解決了同時(shí)滿(mǎn)足高精度入軌和姿態(tài)約束問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)運(yùn)載火箭的包括軌道根數(shù)和姿態(tài)等多個(gè)終端約束下的直接入軌，同時(shí)利用數(shù)學(xué)仿真對(duì)該方法進(jìn)行深入細(xì)致仿真分析。

1 二次曲線(xiàn)迭代制導(dǎo)方法

1.1 基本原理

為了精確使用姿態(tài)、速度、位置等終端條件，將二次曲線(xiàn)迭代制導(dǎo)計(jì)算所用坐標(biāo)系設(shè)為軌道坐標(biāo)系O′-ξηζ，其定義原點(diǎn)在地心,O′η軸與預(yù)報(bào)入軌點(diǎn)的矢徑方向重合；O′ξ軸在軌道平面內(nèi)指向飛行方向；O′ζ軸與其他兩軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系，如圖1所示。

圖1 軌道坐標(biāo)系Fig.1 Orbital coordinate system

迭代制導(dǎo)是一種滿(mǎn)足多終端指標(biāo)約束條件的最優(yōu)制導(dǎo)方法，具有抗干擾能力強(qiáng)、制導(dǎo)精度高、終端姿態(tài)有約束等優(yōu)點(diǎn)。迭代制導(dǎo)的理論基礎(chǔ)是最優(yōu)控制。根據(jù)最優(yōu)控制理論，以火箭當(dāng)前狀態(tài)(主要包括速度矢量和位置矢量)作為初值，以入軌點(diǎn)狀態(tài)作為終端條件，以燃料消耗最少作為性能指標(biāo)，將發(fā)動(dòng)機(jī)推力矢量方向作為控制變量，根據(jù)Pontliyagin極小值原理可以實(shí)時(shí)計(jì)算出一條最優(yōu)彈道[9]。

在軌道坐標(biāo)系下展開(kāi)的運(yùn)動(dòng)方程為：

(1)

制導(dǎo)系統(tǒng)通過(guò)改變箭體縱軸方向?qū)崿F(xiàn)對(duì)火箭質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的控制。傳統(tǒng)迭代方法使用的制導(dǎo)控制程序角方程是線(xiàn)性形式[10]，導(dǎo)致其用于調(diào)節(jié)的控制參數(shù)有4個(gè)，在滿(mǎn)足位置與速度約束條件的前提下，無(wú)法再滿(mǎn)足姿態(tài)約束。為同時(shí)滿(mǎn)足多個(gè)終端約束，則將用于制導(dǎo)的程序角方程設(shè)為二次曲線(xiàn)形式，使其不但可滿(mǎn)足速度與位置約束條件，還能滿(mǎn)足姿態(tài)約束條件，具體程序角方程為：

(2)

1.2 約束條件

制導(dǎo)程序角要滿(mǎn)足多個(gè)約束條件，利用平均程序角保證平均速度約束，而(-k1+k3t+k5t2)和(-k2+k4t+k6t2)可以保證瞬時(shí)速度、位置和姿態(tài)約束，約束方程的建立可通過(guò)對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的展開(kāi)形式進(jìn)行積分即可得到。由于運(yùn)載火箭的整個(gè)真空飛行段會(huì)包括多個(gè)飛行段，比如大推力段和小推力段，則程序角需要在整個(gè)真空段滿(mǎn)足上述約束條件。

1)假設(shè)只有終端速度約束，終端位置ζk,ηk,ξk可以任意，則由極小值原理的哈密頓方程得到制導(dǎo)方程的最優(yōu)解：

(3)

式中：Vζ k,Vη k為入軌時(shí)刻軌道坐標(biāo)系下的速度分量；Vζ0,Vη0為當(dāng)前時(shí)刻軌道坐標(biāo)系下的速度分量；Tk為剩余飛行時(shí)間。

2)假設(shè)在條件1)的基礎(chǔ)上，還需滿(mǎn)足位置約束、姿態(tài)約束，則需要調(diào)節(jié)(-k1+k3t+k5t2)和(-k2+k4t+k6t2)中的系數(shù)k1～k6，滿(mǎn)足上述約束條件。

針對(duì)上述公式，可得到如下幾個(gè)約束方程求解程序角系數(shù)。

對(duì)偏航控制通道上進(jìn)行約束方程的建立，如下所示。

偏航程序角：

(4)

偏航通道上的速度約束方程可通過(guò)對(duì)式(1)分別在真空飛行段進(jìn)行積分得到：

ψ*+gζ)dt+

式中：T1為迭代接入時(shí)刻到主機(jī)關(guān)機(jī)這段時(shí)間，Tk-T1為游機(jī)段飛行時(shí)間。

偏航通道上的位置約束方程可通過(guò)對(duì)速度方程繼續(xù)積分得到：

ζk-ζ0-Vζ0·tk=

(6)

式中：ζk，ζ0分別為入軌時(shí)刻和當(dāng)前時(shí)刻的在軌道坐標(biāo)系的位置分量。

在俯仰控制通道上進(jìn)行約束方程的建立，如下所示。

俯仰程序角：

(7)

俯仰通道上的速度約束方程可通過(guò)對(duì)式(1)分別在整個(gè)飛行段進(jìn)行積分得到：

(8)

俯仰通道上的位置約束方程可通過(guò)對(duì)速度方程繼續(xù)積分得到：

ηk-η0-Vη0tk=

1.3 程序角的推導(dǎo)

對(duì)于運(yùn)載火箭而言，要求程序角變化平滑，以利于姿態(tài)的平穩(wěn)控制，故滿(mǎn)足位置和姿態(tài)約束的調(diào)節(jié)量相對(duì)于總調(diào)節(jié)量而言應(yīng)占很小的部分[4]，因此可作小角度近似假設(shè)，即：

cos (-k1+k3t+k5t2)≈1

sin(-k1+k3t+k5t2)≈-k1+k3t+k5t2

因此，代入上述約束方程可得：

則偏航方向速度對(duì)應(yīng)的方程可得到：

同理，可簡(jiǎn)化其他偏航通道的位置約束方程：

也可簡(jiǎn)化俯仰通道的速度和位置約束方程：令

由上述公式可得到相應(yīng)的程序角系數(shù)：

其中:

綜上所述，通過(guò)式(10)、式(11)中6個(gè)約束方程的求解，可實(shí)時(shí)得到程序角系數(shù)k1～k6，從而就可實(shí)時(shí)得到制導(dǎo)程序角進(jìn)行控制。因此，火箭在滿(mǎn)足高精度入軌時(shí)，姿態(tài)也能滿(mǎn)足終端約束。

1.4 剩余飛行時(shí)間的確定

主機(jī)段常用速度等關(guān)機(jī)量的相關(guān)方式進(jìn)行關(guān)機(jī)，因此可以利用傳統(tǒng)的計(jì)算速度增量的方法來(lái)確定主機(jī)段和游機(jī)段剩余飛行時(shí)間T1、T2，即可以根據(jù)速度增量進(jìn)行剩余飛行時(shí)間的估計(jì)：

Tk=T1+T2

2 應(yīng)用仿真分析

以某運(yùn)載火箭為例進(jìn)行六自由度數(shù)學(xué)仿真，對(duì)二次曲線(xiàn)迭代制導(dǎo)性能及姿態(tài)約束能力加以驗(yàn)證。仿真目標(biāo)軌道為近地圓軌道。標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下迭代制導(dǎo)階段軸向過(guò)載曲線(xiàn)見(jiàn)參考文獻(xiàn)[7]。仿真設(shè)置在350 s開(kāi)始接入迭代制導(dǎo)，直至飛行器所帶載荷進(jìn)入目標(biāo)軌道。

2.1 無(wú)干擾狀態(tài)下入軌性能及姿態(tài)約束能力

不加入任何干擾的狀態(tài)下，數(shù)學(xué)仿真結(jié)果顯示，傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)及二次曲線(xiàn)迭代制導(dǎo)方法使得火箭具有如表1所示的入軌精度。

表1 無(wú)干擾狀態(tài)迭代制導(dǎo)入軌精度

表1中，ΔT為軌道周期偏差，ΔHp為軌道近地點(diǎn)高度偏差，Δi為軌道傾角偏差，ΔΩ為軌道升交點(diǎn)經(jīng)度偏差。

由表1可知，二次曲線(xiàn)迭代制導(dǎo)與傳統(tǒng)的迭代制導(dǎo)的入軌精度基本相當(dāng)，但二次曲線(xiàn)迭代制導(dǎo)對(duì)姿態(tài)角進(jìn)行了約束，如圖2所示。

圖2 無(wú)干擾狀態(tài)迭代制導(dǎo)程序角Fig.2 Programangle of IGM in non-disturbance state

圖2中Fcx表示標(biāo)準(zhǔn)飛行程序角，F(xiàn)ai表示二次曲線(xiàn)迭代制導(dǎo)計(jì)算的飛行程序角。圖2反映了二次曲線(xiàn)迭代制導(dǎo)與標(biāo)準(zhǔn)彈道的程序角差別。其中迭代制導(dǎo)接入處(350 s)的角度變化約為2°，而傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)變化約為0.8°[5]，其原因是二次曲線(xiàn)迭代制導(dǎo)方法為了滿(mǎn)足終端姿態(tài)約束，通過(guò)二次曲線(xiàn)形式來(lái)規(guī)劃要滿(mǎn)足多個(gè)約束條件的制導(dǎo)程序飛行姿態(tài)角。

2.2 偏差狀態(tài)下入軌性能及姿態(tài)約束能力分析

為了驗(yàn)證偏差狀態(tài)下二次曲線(xiàn)迭代制導(dǎo)方法的入軌性能及姿態(tài)約束能力，對(duì)大的結(jié)構(gòu)偏差(負(fù)偏差)情況進(jìn)行了仿真計(jì)算，結(jié)果如表2所示。

表2 不同偏差狀態(tài)的入軌性能統(tǒng)計(jì)對(duì)比

表3 不同偏差狀態(tài)的姿態(tài)約束能力

表3中Δφ為入軌時(shí)刻與約束入軌角的偏航角偏差，Δψ為入軌時(shí)刻與約束入軌角的俯仰角偏差。

將二次曲線(xiàn)迭代制導(dǎo)與傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)、攝動(dòng)制導(dǎo)方法在所有發(fā)動(dòng)機(jī)處于負(fù)秒流量偏差狀態(tài)下，對(duì)入軌性能進(jìn)行對(duì)比分析，分析結(jié)果如表4所示。

表4 所有發(fā)動(dòng)機(jī)的秒流量負(fù)偏差狀態(tài)下的入軌性能

結(jié)果表明,二次曲線(xiàn)迭代制導(dǎo)的入軌性能不亞于傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)方法，且其入軌性能遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于攝動(dòng)制導(dǎo)方法。尤其直接考核入軌性能的指標(biāo)，如近地點(diǎn)高度、軌道傾角和升交點(diǎn)經(jīng)度，二次曲線(xiàn)迭代制導(dǎo)方法相對(duì)于攝動(dòng)制導(dǎo)方法而言都具有不可比擬的優(yōu)勢(shì)。

選取對(duì)飛行姿態(tài)角較為敏感的發(fā)動(dòng)機(jī)推力線(xiàn)偏斜偏差狀態(tài)進(jìn)行仿真計(jì)算，其迭代制導(dǎo)程序角曲線(xiàn)如圖3所示。

圖3 發(fā)動(dòng)機(jī)負(fù)推力線(xiàn)偏斜狀態(tài)的迭代制導(dǎo)程序角Fig.3 Program angle of IGM in negativethrust line skew deviation

由圖3可知，在主機(jī)段與游機(jī)段的整個(gè)真空飛行段，迭代制導(dǎo)程序角呈現(xiàn)了二次曲線(xiàn)特征，終端姿態(tài)也實(shí)現(xiàn)了約束的姿態(tài)角入軌。在主機(jī)段切換到游機(jī)段的主機(jī)后效段，由于推力過(guò)載發(fā)生了變化，引起剩余飛行時(shí)間預(yù)估值產(chǎn)生變化，使得飛行程序角產(chǎn)生了比較大的跳變。

綜上所述，二次曲線(xiàn)迭代制導(dǎo)在入軌精度上不亞于傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)的精度指標(biāo)，且其入軌姿態(tài)也實(shí)現(xiàn)了終端姿態(tài)角約束要求。

2.3 約束姿態(tài)角變化的入軌性能和姿態(tài)約束能力分析

為了全面考核二次曲線(xiàn)迭代制導(dǎo)的制導(dǎo)性能及終端姿態(tài)角約束能力，在不改變目標(biāo)軌道根數(shù)的情況下，設(shè)置不同約束的俯仰姿態(tài)角，來(lái)分析其入軌性能與姿態(tài)約束能力。

傳統(tǒng)火箭的俯仰姿態(tài)角相對(duì)于偏航姿態(tài)角要變化明顯，因此設(shè)置約束俯仰姿態(tài)角分別為10°、-10°、-30°、-50°、-70°。偏航姿態(tài)角為0°。其數(shù)學(xué)仿真結(jié)果顯示二次曲線(xiàn)迭代制導(dǎo)具有如表5～表7所示的入軌性能及姿態(tài)約束能力。

表5 無(wú)干擾情況下不同約束姿態(tài)角的入軌性能對(duì)比

表6 負(fù)推力線(xiàn)偏斜偏差情況下不同約束姿態(tài)角入軌性能

表7 不同姿態(tài)約束角的姿態(tài)約束能力對(duì)比

表7中φ為入軌時(shí)刻的偏航角，ψ為入軌時(shí)刻的俯仰角。

由表7可知，在無(wú)干擾及負(fù)推力線(xiàn)偏差狀態(tài)下，姿態(tài)約束的迭代制導(dǎo)方法能滿(mǎn)足不同姿態(tài)約束角變化的要求，圖4、圖5給出了各個(gè)約束姿態(tài)角下俯仰姿態(tài)角變化曲線(xiàn)。

圖4 無(wú)干擾狀態(tài)Fig.4 Non-disturbancestate

圖5 負(fù)推力線(xiàn)偏差狀態(tài)Fig.5 Negative thrust line skew deviation state

由圖4、圖5可知，本方法在不同的約束終端姿態(tài)角情況下，接入迭代時(shí)刻的程序角會(huì)跳變至不同的起始程序角，從而導(dǎo)致形成不同的拋物線(xiàn)姿態(tài)角曲線(xiàn)參與制導(dǎo)控制，最后均可按照約束姿態(tài)角實(shí)現(xiàn)火箭入軌。

2.4 軌道根數(shù)小幅變化下的入軌性能及姿態(tài)約束能力分析

滿(mǎn)足多終端姿態(tài)約束迭代制導(dǎo)的特點(diǎn)是在飛行過(guò)程中計(jì)算一條能滿(mǎn)足終端約束姿態(tài)角要求的飛行彈道。當(dāng)軌道根數(shù)發(fā)生變化情況下，只要適時(shí)地調(diào)整迭代制導(dǎo)的目標(biāo)軌道等數(shù)據(jù)，二次曲線(xiàn)迭代制導(dǎo)也能自己規(guī)劃出一條彈道飛向改變后的軌道，這與傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)方法的思想是一致的。傳統(tǒng)的迭代制導(dǎo)方法能適應(yīng)軌道的小幅調(diào)整[2]，因此，為了驗(yàn)證本方法的能力,也在軌道根數(shù)小幅變化的情況下進(jìn)行了仿真分析，仿真偏差范圍如表8所示。

表8 軌道參數(shù)變化

設(shè)定終端約束俯仰姿態(tài)角為-30°，約束的偏航姿態(tài)角為0°，姿態(tài)約束的迭代制導(dǎo)的入軌性能及姿態(tài)約束能力分析如表9、表10所示。

表9 軌道根數(shù)小幅變化狀態(tài)下的入軌性能表

表10 軌道根數(shù)變化小幅變化狀態(tài)下的姿態(tài)約束能力表

圖6 俯仰姿態(tài)角曲線(xiàn)Fig.6 Pitch attitude angle curve

圖7 偏航姿態(tài)角曲線(xiàn)Fig.7 Yaw attitude angle curve

圖6與圖7是半長(zhǎng)軸與軌道傾角分別變化時(shí)的俯仰角、偏航角曲線(xiàn)，可以看到，為了適應(yīng)對(duì)軌道傾角0.15°的變化，偏航通道具有了明顯的程序角調(diào)整措施。而對(duì)于軌道半長(zhǎng)軸的變化，對(duì)應(yīng)的俯仰和偏航姿態(tài)角變化均很小。

可見(jiàn)，在軌道根數(shù)發(fā)生小幅變化時(shí)，姿態(tài)約束的迭代算法與傳統(tǒng)迭代算法一樣能保持穩(wěn)定，入軌精度影響不大。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)無(wú)法約束入軌姿態(tài)的不足，提出了一種橫跨整個(gè)真空飛行段的滿(mǎn)足多個(gè)終端約束的迭代制導(dǎo)方法，該方法通過(guò)二次曲線(xiàn)規(guī)劃制導(dǎo)程序角來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)速度、位置和姿態(tài)進(jìn)行約束。結(jié)果表明，本方法不僅保持傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)方法入軌精度的同時(shí)，而且還能滿(mǎn)足高精度的入軌約束姿態(tài)角要求，并能在一定范圍內(nèi)適應(yīng)約束姿態(tài)角與軌道根數(shù)的變化，可以滿(mǎn)足后續(xù)發(fā)射任務(wù)需求，具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。

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