☉上海市七寶中學(xué) 童永健

2017年上海卷第12題的多種解法及推廣

☉上海市七寶中學(xué) 童永健

2017年上海高考是上海市新高考“3+3”模式試驗(yàn)的元年，數(shù)學(xué)學(xué)科由原先的文理分科合并為一份試卷進(jìn)行測試.雖對整體的題目數(shù)量和難易題比例有略微的調(diào)整，但試卷中仍不乏對學(xué)生綜合考驗(yàn)的“能力題”，作為創(chuàng)新型問題的填空最后一題便有其“獨(dú)具匠心”一面，其對學(xué)生短時(shí)間內(nèi)的的探究能力和問題解決能力提出了較高的要求.深入思考，也能挖掘出一些考試中可能不曾看清的、問題背后的精彩之處.

一、注重探究，多視角剖析真題

試題 （2017年高考數(shù)學(xué)上海卷第12題）如圖1所示，用35個(gè)正方形拼成一個(gè)矩形，點(diǎn)P1，P2，P3，P4以及標(biāo)記為“▲”的點(diǎn)在正方形的頂點(diǎn)處.設(shè)集合Ω={P1，P2，P3，P4}，點(diǎn)P∈Ω，過P作直線lP，使得不在lP上的“▲”的點(diǎn)分布在lP的兩側(cè).用D1（lP）和D2（lP）分別表示lP一側(cè)和另一側(cè)的“▲”的點(diǎn)到lP距離和.若過P的直線lP中有且僅有一條使得D1（lP）=D2（lP），則Ω所有的這樣的點(diǎn)P的直線有且僅有一條，則Ω中這樣的P為______.

圖1

解法1：由于點(diǎn)都在正方形的頂點(diǎn)，又是求點(diǎn)到直線的距離問題，所以想到建立直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到直線的距離公式解題.如圖1，對四個(gè)“▲”標(biāo)明字母，并以B點(diǎn)所在直線為x軸，A點(diǎn)所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則P1（0，4），P2（3，2），P3（4，2），P4（6，5），A（0，3），B（1，0），C（4，4），D（7，1）.

設(shè)過點(diǎn)Pi（i=1，2，3，4）的直線為y-yi=k（x-xi）（斜率不存在的情況另行討論），計(jì)算A，B，C，D各點(diǎn)到直線的距離，并進(jìn)行求和等于0，討論k的范圍去絕對值，進(jìn)而確定k的值.

以點(diǎn)P3（4，2）為例，顯然x=4不滿足題意，設(shè)過點(diǎn)P3的直線lP3：y-2=k（x-4），則A，B，C，D四點(diǎn)到lP3的距離分別為，討論點(diǎn)A，B，C，D與直線lP3的位置關(guān)系：

綜上所述，P3滿足題意.

同理可知，P1，P4滿足條件，因此，這樣的P為P1，P3，P4.

上述解法即使會(huì)做，運(yùn)算量也都會(huì)比一般的解答題大，是否有簡單的表述方式呢？答案是肯定的！

解法2：可利用教材中點(diǎn)在直線同側(cè)異側(cè)判別式的概念直接去除絕對值，此時(shí)將距離看成有向線段，直線某側(cè)的點(diǎn)到直線的距離便產(chǎn)生負(fù)值，若數(shù)值相同，方向則可相互抵消，無論A，B，C，D是“3—1”，還是“2—2”分布于直線兩側(cè)，均不會(huì)影響最終的結(jié)果［1］.

以P3為例，易得P（34，2），設(shè)過P3的直線lP3：y-2=k（x-4），即kx-y-4k+2=0，此時(shí)有判別式δ=可略去分母，將A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)的判別式相加得（-3-4k+2）+（k-4k+2）+（4k-4-4k+2）+（7k-1-4k+2）=0，是關(guān)于k的一次方程，解得k=0，即直線y=2滿足.

同理可求P1，P4滿足條件.

所以，滿足條件的點(diǎn)為P1，P3，P4.

以上解法需要過每一個(gè)點(diǎn)都設(shè)出一條直線方程，仍有些麻煩，是否有更簡單的表述呢？有！

設(shè)直線方程l為px+qy+s=0，由解法2知，若A，B，C，D

分布在直線px+qy+s=0的兩邊，則p（x

A

+x

B

+x

C

+x

D

）+q（y

A

+y

B

+y

C

+y

D

）+4s=0，即3p+2q+s=0.

若P1在直線l上，將P1代入px+qy+s=0，得4q+s=0，則有所以l的方程為2x+3y-12=0.

同理可得過P3的直線l的方程為y=2，過P4的直線l的方程為x-y-1=0，過P2的直線l有無數(shù)條，不滿足條件.

所以，滿足條件的點(diǎn)為P1，P3，P4.

解法3：不直接解答或盡可能少直接解答客觀題是解題上策.本題可以從形的角度求解.

四個(gè)點(diǎn)分布在一條直線兩側(cè)可能是一側(cè)有3個(gè)點(diǎn)，另一側(cè)有1個(gè)點(diǎn)，也有可能是每側(cè)各2個(gè)點(diǎn).觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)，對于點(diǎn)P2，過P2至少有兩條直線（y=2，x=3），使得四個(gè)“▲”兩兩距離和相等.而P3也在直線y=2上，故對P3，y=2也是一條滿足條件的直線，顯然豎直方向的x=4不滿足，而其他方向上的直線是否能夠滿足條件，則需另外討論.

注意到四邊形ABCD所圍區(qū)域外的點(diǎn)P1，P4.以P1為例，連接P1A，即過點(diǎn)P1的直線，記為lP1，將直線lP1繞點(diǎn)P1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別經(jīng)過A，B，D，C，在此過程中，點(diǎn)A到lP1的距離不斷增大，記為d（A—lP1），點(diǎn)B，D到lP1的距離d（B—lP1），d（D—lP1）先減小后增大，點(diǎn)C到lP1的距離d（C—lP1）不斷減小.設(shè)D1（lP1）為lP1下方點(diǎn)到直線lP1的距離和，D2（lP1）為lP1上方點(diǎn)到直線lP1的距離和，易得D1（lP1）遞增，D2（lP1）遞減，所以無論四個(gè)點(diǎn)是3—1分布還是2—2分布，僅存在一條直線lP，使得D1（lP1）=D2（lP1）.

此時(shí)僅需討論點(diǎn)P3的情況，可運(yùn)用解法1中的方法進(jìn)行計(jì)算，解得k的值唯一.

解法4：對任意四邊形，直線某側(cè)兩點(diǎn)到直線的距離和可看作是兩點(diǎn)連線段中點(diǎn)到直線距離的2倍，那么A，B，C，D到直線的距離即可轉(zhuǎn)化為將四點(diǎn)分組后兩兩中點(diǎn)到直線的距離.

不難得到如下結(jié)論：對于任意四邊形，若P點(diǎn)不是對邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn)，則過P點(diǎn)必然能找到且僅能找到一條直線，使得D1（lP）=D2（lP），這條直線是P與對邊中線交點(diǎn)的連線.

證明：如圖2，假設(shè)A，B與C，D位于直線l兩側(cè)，則

如圖3，假設(shè)A與B，C，D位于直線l兩側(cè)，則

圖2

圖3

無論哪種情況，均有

顯然l應(yīng)過M1，M3中點(diǎn)O. 又易知四邊形M1M2M3M4是平行四邊形，所以O(shè)也為M2，M4的中點(diǎn)，所以對易于O點(diǎn)任意位置的P，直線PO均為所求的直線l，O點(diǎn)唯一，所以直線l唯一.

若P在點(diǎn)O的位置，則任意一條過點(diǎn)O的直線均滿足條件.

由此即得滿足條件的點(diǎn)為P1，P3，P4.

二、適時(shí)總結(jié)，反思提升

（一）結(jié)論的推廣

解法4：已是推廣后的結(jié)論，進(jìn)一步思考，有：

（1）該結(jié)論可用于平面內(nèi)任意四邊形（包括凹四邊形），并且P點(diǎn)可選擇任意位置，從而得到相對應(yīng)的結(jié)論.

（2）將該結(jié)論推廣到空間內(nèi)任意四點(diǎn)及任意直線，過該直線可找到唯一平面，使得四個(gè)點(diǎn)分布于平面兩側(cè)分為兩組，并且兩組點(diǎn)到平面的距離和相等，該平面由直線及四點(diǎn)所構(gòu)成的空間四邊形對邊中點(diǎn)連線的中點(diǎn)確定.

（3）對平面內(nèi)不規(guī)則凸n邊形（n=2k，k≥3，k∈N*），該結(jié)論不成立，對凸n邊形（n=2k+1，k∈N*），同樣沒有類似的結(jié)論.

解法2：也可從解析的角度進(jìn)行推廣，有：

平面內(nèi)任意n個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為Ai（xi，yi）（i=1，2，…，n），將其分布于過點(diǎn)P（x0，y0）的直線l兩側(cè)，使得每一側(cè)的點(diǎn)到直線的距離和相等（d（P）1=d（P）2），則這樣的直線l存在且唯一（P不為質(zhì)點(diǎn)系A(chǔ)i的重心（Ai質(zhì)量相等））.

過點(diǎn)P0的任意直線l，均滿足D（1lP）=D（2lP）.

該結(jié)論同樣可以推廣到高維空間.

（二）結(jié)論間的相互關(guān)聯(lián)

通過上述討論可知，四邊形對邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn)是四邊形四個(gè)頂點(diǎn)所構(gòu)成質(zhì)點(diǎn)系的重心G（四個(gè)頂點(diǎn)質(zhì)量看作相等，上述討論其實(shí)是質(zhì)點(diǎn)系重心公式退化的結(jié)論，詳見文獻(xiàn)［2］，［3］.這里，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成質(zhì)點(diǎn)系的重心并不能認(rèn)為是四邊形的重心［2］.而不規(guī)則多邊形重心的確定方法，可采用幾何法［3］，以四邊形為例，將四邊形對角線連接，分為一對三角形，四邊形的重心落在兩個(gè)三角形重心的連線上；連接另一條對角線，可找到另一對三角形重心的連線，兩條連線的交點(diǎn)即四邊形的重心.

從向量的角度出發(fā)，點(diǎn)G滿足G—→A+G—→B+G—→C+G—→D=0，而根據(jù)平行四邊形法則恰好是一組長度相同，方向相反的平行四邊的形對角線的一半，恰為AB，CD這組對邊中點(diǎn)的連線.

在探究過程中不難發(fā)現(xiàn)，四邊形作為一個(gè)較為特殊的例子，可以將兩個(gè)結(jié)論進(jìn)行聯(lián)系.而試題中出現(xiàn)的四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的圖形正是四邊形，這不失為問題的成功解決提供了更多一條的策略.

經(jīng)歷一番思考后回歸問題，不禁有恍然大悟之感，本題作為高考卷中的“能力測試”，兼具探究性和創(chuàng)新性，其背景及所蘊(yùn)含知識(shí)的深度值得細(xì)細(xì)品味.

1.羅德安.點(diǎn)到直線距離公式中符號(hào)的確定［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，1984（4）.

2.趙靈軍，趙雪劍.有關(guān)多邊形重心的幾個(gè)問題［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2007（6）.

3.趙玉成，劉命元，向治全.多邊形均勻薄板重心確定的幾何法［J］.力學(xué)與實(shí)踐，2011（6）.H