楊穎，李偉東，薛翠薇，朱秋明,，廖志忠，陳小敏

（1.南京航空航天大學(xué)，江蘇 南京 210016；2.中興通訊股份有限公司，廣東 深圳 518057;3.中國(guó)空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽(yáng) 471009）

1 引言

大規(guī)模多輸入多輸出（massive multiple-input multiple-output，massive MIMO）技術(shù)能夠成倍地提高M(jìn)IMO系統(tǒng)的通信容量和頻譜資源利用率，已成為未來(lái)5G關(guān)鍵技術(shù)之一[1-3]。同時(shí)，智能終端設(shè)備體積越來(lái)越小，天線數(shù)目的增加將直接導(dǎo)致天線間距進(jìn)一步減小。天線間距的減小，不僅會(huì)增加各天線之間的相關(guān)性，同時(shí)互耦效應(yīng)變得顯著，從而進(jìn)一步影響天線空間相關(guān)性及系統(tǒng)性能[4-5]。

針對(duì)不同陣列流型的天線相關(guān)性，參考文獻(xiàn)[6]推導(dǎo)了到達(dá)角服從拉普拉斯分布時(shí)，圓陣、線陣的天線相關(guān)性閉式解，并指出當(dāng)線陣間距與圓陣半徑相等時(shí)，圓陣相關(guān)性更小。參考文獻(xiàn)[7]研究了入射角服從均勻分布時(shí)，不同角度擴(kuò)展、角度均值對(duì)線陣及圓陣的天線空間相關(guān)性的影響。參考文獻(xiàn)[8]推導(dǎo)了當(dāng)入射角服從任意分布時(shí)，圓陣列的空間相關(guān)性通用表達(dá)式。參考文獻(xiàn)[9]則針對(duì)任意角度譜，提出一種基于角度域脈沖采樣的空域相關(guān)性近似算法。針對(duì)考慮互耦效應(yīng)情況，參考文獻(xiàn)[10]研究了天線耦合的影響機(jī)理，并推導(dǎo)了互阻抗、耦合矩陣的計(jì)算表達(dá)式。李忻等人[11]研究了互耦效應(yīng)對(duì)平行線陣的影響，結(jié)果表明：互耦效應(yīng)在特定情況下可能會(huì)降低陣列天線相關(guān)性。參考文獻(xiàn)[12]進(jìn)一步研究分析了拉普拉斯、均勻分布時(shí)互耦對(duì)圓型陣列空間相關(guān)性的影響情況，而參考文獻(xiàn)[13]則分析了互耦對(duì)四元方陣空間相關(guān)性及信道容量的影響，并得出方陣具有良好的互補(bǔ)性、性能更優(yōu)的結(jié)論。在此基礎(chǔ)上，周杰等人[14]進(jìn)一步針對(duì)三維空間域下的線陣、圓陣和面陣，推導(dǎo)了均勻分布和高斯分布時(shí)三者的空間相關(guān)性閉式解，并指出圓陣比線陣具有更好的抗互耦能力[14]。參考文獻(xiàn)[15]則針對(duì)小角度擴(kuò)展場(chǎng)景，分析了互耦對(duì)線陣、圓陣和面陣3種不同陣列流型空域相關(guān)性的影響。

基于上述研究，本文將針對(duì)更為通用的 Von Mises到達(dá)角分布，詳細(xì)推導(dǎo)任意數(shù)目線陣、圓陣和面陣3種陣列流型的天線空間相關(guān)性通用閉合表達(dá)式，并分析耦合因素對(duì)天線相關(guān)性的影響情況，最終推導(dǎo)獲得互耦效應(yīng)下的空間相關(guān)系數(shù)表達(dá)式。

2 多天線系統(tǒng)模型

實(shí)際散射環(huán)境下，到達(dá)接收端的電波信號(hào)具有非全向性以及非均勻性的特點(diǎn)，從而導(dǎo)致不同位置的天線陣元接收信號(hào)具有不同程度的空間相關(guān)性。圖1以線性天線陣列接收系統(tǒng)為例給出了電波信號(hào)入射模型，其中，0φ是散射體的到達(dá)角均值，Δφ是散射體的角度擴(kuò)展。

圖1 多天線系統(tǒng)模型

N天線接收信號(hào)矢量可表示為：

其中，表示各天線增益，為天線陣列流型矢量。第k根天線平均接收功率可表示為：

根據(jù)定義，第k根與第i根天線之間的空間互相關(guān)系數(shù)可表示為：

其中，P()φ表示到達(dá)波的功率角度譜。

目前較為常見(jiàn)的分布有均勻分布、高斯分布、拉普拉斯分布、余弦分布等，但Von Mises分布具有更強(qiáng)的靈活性[16]，能夠更好地描述接收信號(hào)到達(dá)角的空間分布，且可近似模擬余弦、截尾高斯等分布，故被廣泛應(yīng)用于無(wú)線信道建模。其概率密度函數(shù)為：

其中，κ因子表示角度譜的集中程度，I0(k)為第一類零階修正貝塞爾函數(shù)。當(dāng)κ=0時(shí)，該分布即全向均勻分布；當(dāng)κ值較小時(shí)，與cosnα分布接近；當(dāng)κ值較大時(shí)，與高斯分布非常接近。

圖2仿真給出了κ=14.590 3、22.797 3、51.293 8情況下的 Von Mises理論分布，它們分別對(duì)應(yīng)WINNER模型不同場(chǎng)景基站端的角度譜分布[17]。其中，κ=14.590 3對(duì)應(yīng)市區(qū)微蜂窩場(chǎng)景；κ=22.797 3對(duì)應(yīng)市區(qū)室內(nèi)熱點(diǎn)區(qū)場(chǎng)景；κ=51.293 8對(duì)應(yīng)市區(qū)宏蜂窩場(chǎng)景。

圖2 不同κ值Von Mises分布

3 不同陣列流型相關(guān)性推導(dǎo)

3.1 3種陣列流型

本文主要針對(duì)均勻線型陣列（uniform linear array，ULA）、均勻圓型天線陣列（uniform circular array，UCA）和均勻面型陣列（uniform rectangular array，URA）3種流型陣列。圖3分別給出了3種陣列流型的模型，ULA的導(dǎo)引矢量可表示為：

其中，N為接收端天線陣元數(shù)量，Δd為天線陣元間距，λ為入射信號(hào)波長(zhǎng)，[]T?為轉(zhuǎn)置矩陣。UCA的導(dǎo)引矢量可表示為：

其中，為第n個(gè)天線單元的單位方位角。對(duì)于N×M陣元的URA天線陣列，其導(dǎo)引矢量為：

其中，運(yùn)算符vec(·)可以將N×M的矩陣變換為的列矢量。

圖3 不同天線陣列流型示意

為使下文推導(dǎo)得到的相關(guān)系數(shù)具有通用性，適用于任意天線陣列的空間相關(guān)性計(jì)算。首先將上述3種陣列任意兩個(gè)陣元之間的矢量均表示為。對(duì)于線型陣列，；對(duì)于圓型陣列，對(duì)于面型陣列，

3.2 空間相關(guān)系數(shù)通用表達(dá)式

根據(jù)相關(guān)系數(shù)定義，假設(shè)天線接收信號(hào)的功率歸一化，任意兩個(gè)天線陣元k、i的空間相關(guān)系數(shù)可表示為：

若到達(dá)角服從Von Mises分布，令變量代換x=φ+γ，則積分區(qū)間變?yōu)橛浭剑?）可進(jìn)一步推導(dǎo)為：

利用三角函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式[18]：

式（9）可簡(jiǎn)化為：

同理：

其中，表示第一類n階Bessel（貝塞爾）函數(shù)，表示第一類n階修正貝塞爾函數(shù)。

因此，式（8）最終可化簡(jiǎn)為：

式（15）可用于評(píng)估不同陣列的空間相關(guān)系數(shù)。另外，實(shí)際傳播環(huán)境下，到達(dá)接收端的電波信號(hào)角度擴(kuò)展通常都比較小，比如3GPP標(biāo)準(zhǔn)公布的郊區(qū)宏蜂窩、市區(qū)宏蜂窩、市區(qū)微蜂窩3種場(chǎng)景下基站端信號(hào)角度擴(kuò)展約小于5°[12]，WINNER 模型提供的角度擴(kuò)展參數(shù)一般也比較小[17]。據(jù)此可以對(duì)上述結(jié)果進(jìn)行簡(jiǎn)化，首先將式（8）改寫為：

令假定ν值很小，則式（16）可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為：

3.3 數(shù)值仿真分析

3GPP信道標(biāo)準(zhǔn)將移動(dòng)通信場(chǎng)景主要分為郊區(qū)宏蜂窩、市區(qū)宏蜂窩和市區(qū)微蜂窩3種[12]，其中郊區(qū)宏蜂窩的角度擴(kuò)展為 5o，市區(qū)宏蜂窩的角度擴(kuò)展為 8o和 1 5o，市區(qū)微蜂窩的角度擴(kuò)展為19o。根據(jù)Von Mises分布及角度擴(kuò)展定義，可得：

利用式（18）可獲得不同場(chǎng)景下對(duì)應(yīng)的κ值。當(dāng)角度擴(kuò)展較小時(shí)，二者關(guān)系近似可表示為：

所以，上述4種不同角度擴(kuò)展對(duì)應(yīng)的κ值分別為131、51、14、9。圖4分別仿真了不同場(chǎng)景下各陣列流型的空間相關(guān)系數(shù)模值隨歸一化天線間距的變化情況。結(jié)果表明：3種陣列相關(guān)系數(shù)的近似表達(dá)式和解析式曲線基本吻合，驗(yàn)證了前文推導(dǎo)的閉式解和近似解的正確性；3種不同陣列流型布局相比，線型陣列相關(guān)性最大，大于圓型陣列，面型陣列相關(guān)性最??；在郊區(qū)宏蜂窩場(chǎng)景下的角度擴(kuò)展小，近似表達(dá)式和解析式的誤差較小，在市區(qū)微蜂窩場(chǎng)景下的角度擴(kuò)展大，近似表達(dá)式和解析式的誤差較大。

4 互耦效應(yīng)影響分析

4.1 互耦效應(yīng)對(duì)接收信號(hào)影響

當(dāng)天線距離很近時(shí)，每個(gè)陣元上接收的電壓信號(hào)感應(yīng)出的電流信號(hào)，會(huì)激勵(lì)出一個(gè)新磁場(chǎng)，并影響相鄰陣元上的信號(hào)，導(dǎo)致天線陣列中的天線方向圖發(fā)生畸變，即互耦效應(yīng)。圖5給出了接收端互耦等效網(wǎng)絡(luò)模型，為天線阻抗（自阻抗），為負(fù)載阻抗，為天線陣列端口電壓，為負(fù)載電壓，Z為互阻抗矩陣。

圖4 不同陣列流型天線相關(guān)性模值

圖5 接收端互耦等效網(wǎng)絡(luò)模型

由于互耦效應(yīng)使陣列天線信號(hào)之間發(fā)生串?dāng)_，考慮互耦因素的接收信號(hào)矢量，用C表示，可改寫為：

其中，C為互耦矩陣。對(duì)于任意陣列流型，假設(shè)各天線特性相同、負(fù)載阻抗相等，互耦矩陣可由式（21）計(jì)算獲得[10]：

其中，ZL表示負(fù)載阻抗矩陣，Z為互阻抗矩陣。Z中任意兩天線k、i的互阻抗可進(jìn)一步由式（22）計(jì)算：

其中，為天線長(zhǎng)度，積分函數(shù)Ci(x)、Si(x)可表示為：

針對(duì)圖 3中 3種陣列流型布局（N=16，假設(shè)各陣元均為歸一化的全向半波偶極子天線，天線長(zhǎng)度。圖 6給出了考慮互耦因素情況下，天線1接收信號(hào)矢量的模值，表示不考慮互耦的接收信號(hào)矢量模值?？梢钥闯?，不考慮互耦時(shí)的信號(hào)矢量模值恒為1；考慮互耦時(shí)，線型陣列增益失真最嚴(yán)重，其次為圓型陣列，且值均小于1，面型陣列增益失真最小，且部分增益值大于1。

4.2 互耦效應(yīng)對(duì)相關(guān)性影響

互耦效應(yīng)使負(fù)載電阻所接收到的電壓改變，進(jìn)而影響陣列天線的接收功率及空間相關(guān)性?；ヱ钚?yīng)下任意天線陣列的天線單元接收功率為：

根據(jù)式（20）可得：

其中，Ckn表示互耦矩陣C的第行，因此式（24）可進(jìn)一步推導(dǎo)為：

其中，ρn,m（上標(biāo) L/C/R省略）表示無(wú)互耦效應(yīng)下任意兩個(gè)天線的相關(guān)性。進(jìn)一步，根據(jù)式（3）及式（26）最終可推導(dǎo)獲得考慮互耦效應(yīng)時(shí)，任意天線陣列的天線相關(guān)性（省略上標(biāo)L/C/R）為：

其中，為：

圖6 互耦效應(yīng)對(duì)陣列信號(hào)矢量模值影響

假設(shè)到達(dá)角譜服從Von Mises分布，角度擴(kuò)展為 1 80o，角度均值為 3 0o，圖7仿真比較了在不同場(chǎng)景下考慮耦合與不考慮耦合時(shí)天線陣列相關(guān)性隨歸一化距離的變化情況。從圖7中可以看出：考慮互耦時(shí)的相關(guān)性圍繞無(wú)互耦時(shí)的相關(guān)性曲線上下波動(dòng)，互耦效應(yīng)在一定程度上降低了不同陣列天線的空間相關(guān)性；當(dāng)天線間距增大到足夠大時(shí)，互耦效應(yīng)對(duì)陣列天線相關(guān)性幾乎沒(méi)有影響；當(dāng)κ值很大時(shí)，互耦效應(yīng)對(duì)相關(guān)性影響較小。

圖7 耦合效應(yīng)對(duì)空間相關(guān)性的影響

圖8進(jìn)一步仿真比較了耦合與無(wú)耦合情況下，3種天線陣列相關(guān)性隨歸一化距離的變化情況。從圖8中可以看出：對(duì)于3種不同陣列流型，互耦效應(yīng)均在一定程度上減小了其相關(guān)性；針對(duì)本文的天線布置，互耦效應(yīng)對(duì)線型陣列相關(guān)性影響最大，其次為圓型陣列，對(duì)面型陣列影響最小。

圖8 互耦效應(yīng)對(duì)不同陣列相關(guān)性影響分析

5 結(jié)束語(yǔ)

本文假設(shè)入射信號(hào)角度譜服從 Von Mises分布，推導(dǎo)給出了任意數(shù)目線型、圓形和面型3種流型陣列的天線空間相關(guān)系數(shù)通用閉合表達(dá)式和近似表達(dá)式。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)研究分析互耦效應(yīng)對(duì)陣列接收信號(hào)矢量的影響，推導(dǎo)獲得了綜合互耦因素的不同陣列天線空間相關(guān)系數(shù)的閉式解，并將其應(yīng)用于3GPP信道標(biāo)準(zhǔn)傳播場(chǎng)景。通過(guò)本文的研究可得出結(jié)論：對(duì)于天線面積受限的場(chǎng)合，面型布局的多天線系統(tǒng)可獲得更佳的性能。該發(fā)現(xiàn)對(duì)天線陣列流型及陣元位置優(yōu)化設(shè)計(jì)具有重要意義。后續(xù)筆者將進(jìn)一步研究三維場(chǎng)景下不同陣列流型的天線空域相關(guān)性及互耦效應(yīng)對(duì)其的影響。

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