武曉晨，翟文研

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院, 浙江 金華 321004)

1 引言

眾所周知，非線性方程的精確解可以有效地描述和解釋許多物理現(xiàn)象。精確解中的孤子解[1-4]，呼吸子[5]，有理解[6,7]等都具有廣泛而深遠(yuǎn)的研究意義。Lump解作為有理解的一種，一方面可以從Hirota雙線性出發(fā)，借助Maple代數(shù)軟件來(lái)求得，比如DSII方程[8]，Ishimori-I 方程[9]和KPI方程[10]等。 另一方面，Lump 解也可通過(guò)非線性疊加公式[11-12]和BT變換共同作用得到。 所得的Lump解有其獨(dú)特的特點(diǎn)：在空間的所有方向上具有非奇異性和衰減性，因而，尋找非線性微分方程的有理解具有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值。

文章分為兩塊內(nèi)容求BKP方程的Lump解，第一塊內(nèi)容依據(jù)非線性疊加公式和 BT變換。第二塊內(nèi)容從Hirota雙線性出發(fā)，借助Maple計(jì)算軟件求解Lump解。

2 運(yùn)用Backund變換求BKP的Lump解

本文研究(2+1)維BKP方程

(1)

通過(guò)變量變換

u=2(lnf)

得到BKP方程的Hirota雙線性形式：

(2)

其中Dx,Dy和Dt被定義為

方程(1)的BT變換[14]為

(3)

其中k是一個(gè)常數(shù).

依據(jù)KP方程的疊加公式，我們不難得出BKP方程的疊加公式。

[Dx-(k1+k2)]f0·f12=[Dx+(k1-k2)]f1·f2

(4)

其中ki(i=1,2)是自由參數(shù)。

接下來(lái)，依據(jù)(4)可以求得BKP方程的Lump解。設(shè)f1=θ1+β1,f2=θ2+β2,其中θ1=g-ih,θ2=g-ih,(i2=-1),g=a1x+a2y+a3t+a4,g=a5x+a6y+a7t+a8,其中aj(1≤j≤9),β1,β2是任意的實(shí)參數(shù)。為了求解方便，設(shè)g=1并且把f1,f2,g代入(3)，參數(shù)k1,k2,a3,a7滿足

(5)

設(shè)f12=Aθ1θ2+Bθ1+Cθ2+D,

(6)

其中A，B，C，D是自由參數(shù)。

將f12代入公式(4)，假設(shè)B=C=0 得到

(7)

和

(8)

通過(guò)簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算，f12可以化簡(jiǎn)為

(9)

將(5)式代入方程(2)，可以得到

(10)

參數(shù)要滿足條件：a1a6-a2a5≠0和a1a2+a5a6<0，以此保證f12的非奇異性。這樣函數(shù)f12中包含了六個(gè)參數(shù)a1,a2,a4,a5,a6和a8, 在這些參數(shù)中,a4和a8是任意常量。比較文獻(xiàn)[15]中的Lump解，這種方法求出的Lump解包含更多的參數(shù)，這樣就使得解具有更加廣泛的意義。任意取一組參數(shù)a1=-4,a2=3,a4=3,a5=-2,a6=-3,a8=4可得

(11)

下圖給出了當(dāng)t=-1時(shí)，函數(shù)u的一些性質(zhì)。

將a1=-4,a2=3,a4=3,a5=-2,a6=-3,a8=4和t=-1帶入到函數(shù)u:(a) 三維圖; (b) 投影圖。

3 借助Maple求解BKP的Lump解

第一節(jié)介紹了利用BT變換和疊加公式求方程Lump 解的方法，這一節(jié)將借助Maple程序來(lái)求解BKP方程的Lump解。設(shè)

f=m2+n2+a9,

m=a1x+a2y+a3t+a4,

n=a5x+a6y+a7t+a8,

(12)

其中aj(1≤j≤9)是參數(shù)。

將f代入(2)，直接得到方程f的一組約束性參數(shù)

{a1=a1,a2=a2,a3

a5=a5,a6=a6,a7

(13)

此時(shí)

為保證函數(shù)f的非奇異性，參數(shù)需滿足a1a6-a2a5≠0和a1a2+a5a6<0。這樣函數(shù)f中包含了六個(gè)參數(shù)a1,a2,a4,a5,a6和a8, 在這些參數(shù)中,a4和a8是任意常數(shù)。滿足條件的一組參數(shù)就構(gòu)成了 BKP 方程的正二次函數(shù)解，通過(guò)與文章第一節(jié)求得的 lump 解相比較，不難發(fā)現(xiàn)兩種方法所求的Lump解是一致的。

4 結(jié)束語(yǔ)

文章介紹兩種方法求解BKP方程Lump解。一種是利用BT變換和非線性疊加公式，另一種就是借助Maple軟件，兩種方法求出的Lump解是一致的，并且保證了解的非奇異性。

[參考文獻(xiàn)]

[1]Hirota, Ryogo, and Junkichi S. Soliton solutions of a coupled Korteweg-de Vries equation[J]. Physics Letters A, 1981, 85(8-9): 407-408.

[2]Liang Y, Wei G, Li X. Painlevé integrability, similarity reductions, new soliton and soliton-like similarity solutions for the (2+ 1)-dimensional BKP equation[J]. Nonlinear Dynamics, 2010, 62(1-2): 195-202.

[3]Wadati M, Toda M. The exact N-soliton solution of the Korteweg-de Vries equation[J]. Journal of the Physical Society of Japan, 1972, 32(5): 1403-1411.

[4]Lü X, Lin F, Qi F. Analytical study on a two-dimensional Korteweg-de Vries model with bilinear representation, Backlund transformation and soliton solutions[J]. Applied Mathematical Modelling, 2015, 39(12): 3221-3226.

[5]Lou S. Dromions, Dromion Lattice, Breathers and Instantons of the Davey-Stewartson Equation[J]. Physica Scripta, 2002, 65(1): 7.

[6]Ma W X, You Y. Solving the Korteweg-de Vries equation by its bilinear form: Wronskian solutions[J]. Transactions of the American mathematical society, 2005, 357(5): 1753-1778.

[7]Ma W X, Li C X, He J. A second Wronskian formulation of the Boussinesq equation[J]. Nonlinear Analysis: Theory, Methods Applications, 2009, 70(12): 4245-4258.

[8]Satsuma J, Ablowitz M J. Two-dimensional lumps in nonlinear dispersive systems[J]. Journal of Mathematical Physics, 1979, 20(7): 1496-1503.

[9]Imai K. Dromion and lump solutions of the Ishimori-I equation[J]. Progress of theoretical physics, 1997, 98(5): 1013-1023.

[10]Ma W X. Lump solutions to the Kadomtsev-Petviashvili equation[J]. Physics Letters A, 2015, 379(36): 1975-1978.

[11]Hu X B. A Backlund transformation and nonlinear superposition formula of a higher-order Ito equation[J]. Journal of Physics A: Mathematical and General, 1993, 26(21): 5895.

[12]Hu X B. Nonlinear superposition formulae for the differential-difference analogue of the KdV equation and two-dimensional Toda equation[J]. Journal of Physics A: Mathematical and General, 1994, 27(1): 201.

[13]Liang Y, Wei G, Li X. Painlevé integrability, similarity reductions, new soliton and soliton-like similarity solutions for the (2+ 1)-dimensional BKP equation[J]. Nonlinear Dynamics, 2010, 62(1): 195-202.

[14]Yin H M, Tian B, Zhen H L, et al. Solitons, bilinear B?cklund transformations and conservation laws for a-dimensional Bogoyavlenskii-Kadontsev-Petviashili equation in a fluid, plasma or ferromagnetic thin film[J]. Journal of Modern Optics, 2017, 64(7): 725-731.

[15]Gilson C R, Nimmo J J C. Lump solutions of the BKP equation[J]. Physics Letters A, 1990, 147(8-9): 472-476.