竇林賢

(安徽農(nóng)業(yè)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)技術(shù)學(xué)院，安徽 合肥 230041)

分形幾何提供了用于描述一些不能用傳統(tǒng)歐式幾何描述的較為復(fù)雜的幾何圖形的一種方法，其不僅是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，同時也在多個自然與工程領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用[1]。分形圖案設(shè)計是分形幾何的重要應(yīng)用領(lǐng)域，主要是基于分形公式和計算機(jī)技術(shù)進(jìn)行迭代生成的絢麗圖案。雖然計算機(jī)分形藝術(shù)體現(xiàn)著數(shù)學(xué)與藝術(shù)的完美結(jié)合，但是在實際應(yīng)用中仍需要不斷挖掘和探索。

1 分形與分形幾何

分形是著名的美籍法國數(shù)學(xué)家曼德爾布羅特首先提出的數(shù)學(xué)概念，他于1975年出版的第一部關(guān)于分形幾何的專著成為分形理論產(chǎn)生的標(biāo)志，并認(rèn)為分形是局部與整體以某種方式自相似的圖形。當(dāng)前，最為流行的分形定義為具有自相似特性的現(xiàn)象、圖象或物理過程。分形的分類方式有很多，根據(jù)生成算法可以將分形分為線性和非線性兩種，其中非線性分形內(nèi)容具有更多的內(nèi)容和變化[2]。我們也可以基于算法過程中的隨機(jī)因素，將分形分為確定性和非確定性兩類。

以分形理論為基礎(chǔ)的幾何稱為分形幾何，其與傳統(tǒng)的歐式幾何具有較大的區(qū)別。歐式幾何將規(guī)則的幾何圖形作為研究對象，其基本構(gòu)成元素是點(diǎn)、線、面。分形對象并不具備基本元素，其本質(zhì)是一種幾何語言，是由基于算法和數(shù)學(xué)程序集合進(jìn)行描述的，借助計算機(jī)技術(shù)進(jìn)行描述的一些幾何形態(tài)。由于分型幾何將非線性不規(guī)則圖形作為研究對象，因此研究的圖形遠(yuǎn)比歐式幾何復(fù)雜。另一方面，自然界中的物體大多不能劃分為若干有規(guī)則的幾何基本元素，因此分形幾何在描述自然方面具有顯著優(yōu)勢[3]。

2 分形圖形的藝術(shù)特征

分形圖形是根據(jù)分型幾何原理，借助計算機(jī)技術(shù)生成的具有數(shù)學(xué)內(nèi)涵和藝術(shù)特征的圖形。隨著分形圖形研究的持續(xù)深入以及應(yīng)用范圍的持續(xù)擴(kuò)大，人們對分形圖形藝術(shù)特點(diǎn)的認(rèn)識也更為深刻。

2.1 分形圖形的結(jié)構(gòu)特征

從圖形的結(jié)構(gòu)上來看，分形圖形主要具有如下三方面的特征：一是自相似性，也就是分形圖形進(jìn)行局部放大后會與整體具有某種相似性?；诜中螆D形的生成過程，這種相似是嵌套的和無窮的，在大小、結(jié)構(gòu)和造成等方面具有十分相近的特征[4]。也就是說分形圖形中的任何獨(dú)立部分都是整體的再現(xiàn)或縮影。二是圖形結(jié)構(gòu)的無限精細(xì)性，也就是將分型圖形的任何部分進(jìn)行放大，會發(fā)現(xiàn)圖形的局部都包含著更為微小的相似結(jié)構(gòu)，并且這種結(jié)構(gòu)的劃分從理論上講是無窮的。另一方面，這些細(xì)微結(jié)構(gòu)在“堆砌”成復(fù)雜圖形時還需要遵循一定的規(guī)律，是按照一定的結(jié)構(gòu)組合迭代生成的。三是不規(guī)整性，也就是分形圖形并不具備歐式幾何圖形那種規(guī)整、光滑的形態(tài)，而以一種不規(guī)整的結(jié)構(gòu)達(dá)到對自然物象的栩栩如生的描述。

2.2 分形圖形的視覺特征

基于分形圖形的特殊結(jié)構(gòu)，必然導(dǎo)致其在視覺上具有如下藝術(shù)特征：一是分形圖形的動態(tài)平衡性。一般而言，傳統(tǒng)的圖形都追求一種靜態(tài)上的平衡，而分形圖形中的每一個元素均不是孤立存在的，需要一種內(nèi)在的動勢來維系，如果任何一個元素發(fā)生改變，都將影響到圖形本身的整體結(jié)構(gòu)，從而構(gòu)建出幾乎完全不同的圖形。因此，面對分形圖形觀賞者可以感受到一種生生不息、無限繁衍的動態(tài)變化。二是絢麗的色彩。由于分形圖形是基于計算機(jī)技術(shù)生成的，其中的每一個點(diǎn)的色彩均由計算機(jī)通過迭代函數(shù)計算生成，同時，分形圖形具有隨機(jī)性和多變性，其色彩也更富于變化性和多樣性，可以塑造出意想不到的色彩藝術(shù)效果。

2.3 分形圖形的數(shù)字特征

由于分形圖形是計算機(jī)通過迭代函數(shù)計算生成，因此具有明顯的數(shù)字特征，具體而言，數(shù)字性又表現(xiàn)為以下幾方面：一是分形圖形生成過程中的隨機(jī)性，這也是與其他藝術(shù)形式最明顯的不同。一方面，隨機(jī)性貫穿了分形圖形的生成方法和過程，有助于放飛設(shè)計者的思維；另一方面這種隨機(jī)性并不等價于完全放縱，仍需要遵循一定的藝術(shù)規(guī)則。二是分形圖形的無標(biāo)度性，也就是只要計算機(jī)有足夠的運(yùn)算能力和存儲空間，分形圖形就可以無限細(xì)分和發(fā)展。分形圖形的這一特征有助于在圖案的局部隱含更多的細(xì)節(jié)和結(jié)構(gòu)，強(qiáng)化設(shè)計作品的豐富性，以充分激發(fā)觀眾的想象力。

3 分形圖案的常用生成方法

3.1 遞歸生成方法

分形圖案中的相當(dāng)部分都是基于生成元描繪出來的，這里的生成元是利用遞歸方式生成分形圖案時所需要遵循的遞歸操作規(guī)則，按照上述規(guī)則進(jìn)行多次遞歸迭代操作所得到的圖案就是分形圖案。這種生成方法的優(yōu)勢在與僅需要簡單的生成元或構(gòu)成元素即可生成美觀的分形圖案，如果進(jìn)一步經(jīng)過人工組合和選擇，就可以獲得極具藝術(shù)魅力的分形圖案。

3.2 L系統(tǒng)與迭代函數(shù)系統(tǒng)

許多自然界的生物體和非生物體都呈現(xiàn)出分形的結(jié)構(gòu)形式，同時很多生物的生長過程也具有顯著的分型特征，也就是重復(fù)的分支分裂產(chǎn)生更為細(xì)小的分支。L系統(tǒng)的引入形成了一類能夠有效模擬上述自然現(xiàn)象的有效方法，能夠有效模擬植物分支的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)以及對相應(yīng)的幾何形狀進(jìn)行描述。

3.3 基于迭代函數(shù)的圖案生成方法

迭代函數(shù)系統(tǒng)最早是由Hutchinson提出，經(jīng)過美國佐治亞理工學(xué)院的M.F.Barnsley等人的完善和發(fā)展，并最終命名為迭代函數(shù)系統(tǒng)?？梢哉f，迭代函數(shù)是仿射幾何與分形理論相互結(jié)合的產(chǎn)物，現(xiàn)今已成為分形幾何領(lǐng)域的重要研究分支。在迭代函數(shù)系統(tǒng)中，主要以仿射變換為框架，使幾何對象的整體和局部之間具有自相似結(jié)構(gòu)，也就是幾何對象一旦被選定，就利用若干仿射變換將整體形態(tài)變換到局部，然后一直進(jìn)行迭代，就可以獲得美妙的隨機(jī)分形圖案。

4 分形圖形在圖案設(shè)計中的應(yīng)用與實現(xiàn)

在分形幾何背景下，數(shù)學(xué)由抽象化的哲理轉(zhuǎn)變?yōu)樾蜗蟮母惺埽瑥亩?lián)通了數(shù)學(xué)和藝術(shù)設(shè)計兩大領(lǐng)域，為圖案設(shè)計提供了新的手法，注入了新的活力。

4.1 分形圖形在平面圖案設(shè)計中的應(yīng)用

分形圖形需要依據(jù)數(shù)學(xué)公式建模、利用計算機(jī)編程語言實現(xiàn)，與傳統(tǒng)圖形相比具有獨(dú)特的造型和裝飾性特征[5]。但是，分形圖形的隨機(jī)形態(tài)和機(jī)械化的特征，也要求其用于圖案設(shè)計時必須要進(jìn)行一定的藝術(shù)處理，如若不然就會與我們的設(shè)計創(chuàng)作背道而馳，使圖案本身過于單調(diào)，影響作品本身藝術(shù)性的發(fā)揮。因此，好的分形藝術(shù)作品邏輯思維與藝術(shù)感受融合的產(chǎn)物，也就是依靠計算機(jī)運(yùn)算迭代出華麗而不失規(guī)律性的圖形，然后輔以設(shè)計者的創(chuàng)意思維，以滿足人類的藝術(shù)和審美精神需要。

以招貼設(shè)計為例，分形圖依靠其華麗的形態(tài)在吸引受眾的眼球方面具有顯著優(yōu)勢。如圖1是我國首屆“未來之星”大學(xué)生平面設(shè)計大賽的作品。該作品以分形頻道宣傳為主要目的，因此整幅圖以Storm—Julia分形圖為設(shè)計主體進(jìn)行選擇和裁剪形成。從整體上看，該圖突出了地球與大自然的交流，表達(dá)了分形是詮釋和描述大自然的幾何學(xué)，而分形頻道是介紹分形的理論平臺，使觀眾明白分形與生活的關(guān)系。

圖1 分形頻道招貼設(shè)計

4.2 分形圖形在包裝圖案設(shè)計中的應(yīng)用

分形藝術(shù)是科學(xué)與藝術(shù)的結(jié)合，不僅具有計算機(jī)數(shù)字技術(shù)的特征，還具有神秘性與可信性以及那種超凡脫俗的藝術(shù)魅力。對產(chǎn)品包裝設(shè)計而言，將分形圖形用于產(chǎn)品包裝圖案設(shè)計，可以憑借其極具動態(tài)藝術(shù)特征的畫面涵蓋大量的視覺信息，達(dá)到手工幾乎高不可及的藝術(shù)效果。此外，分形圖形用于包裝圖案設(shè)計，還可以憑借圖形本身的豐富性和變化特征，激發(fā)和釋放設(shè)計師的創(chuàng)作靈感，引發(fā)其深入的創(chuàng)造性聯(lián)想和思維活動。

4.3 分形在紡織品圖案設(shè)計中的應(yīng)用

分形圖形憑借其使人耳目一新的設(shè)計優(yōu)勢，為紡織品圖案設(shè)計帶來了新的設(shè)計元素和設(shè)計思維。具體而言，利用分形原理和復(fù)平面分形系統(tǒng)產(chǎn)生的圖案可以廣泛應(yīng)用于服裝、服飾以及床上用品等各領(lǐng)域紡織品的設(shè)計，這種設(shè)計技術(shù)不僅可以獲得品類豐富的花型和樣式，縮短設(shè)計周期，還可以為紡織品及其下游產(chǎn)業(yè)創(chuàng)造出無可限量的發(fā)展空間。就紡織品圖案設(shè)計而言，在投入生產(chǎn)時，分形圖案首先要轉(zhuǎn)化為花版的形式，然后將這些形式輸入到控制器，然后根據(jù)不同的色彩進(jìn)行分層分類儲存，形成花版數(shù)據(jù)庫，從而實現(xiàn)從設(shè)計構(gòu)思到輸入輸出的自動化。由此可見，分形圖形在紡織品圖案設(shè)計中的大量應(yīng)用，必將促進(jìn)紡織品圖案設(shè)計水平的迅速提高，從而為紡織業(yè)帶來美好的發(fā)展前景。圖2是基于Storm—Julia分形集進(jìn)行內(nèi)外部同時著色算法，并對其中的部分參數(shù)進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整形成的分形圖案，具有極強(qiáng)的裝飾性特征，可以用于布包等絲織品的圖案設(shè)計，具有良好的裝飾性特征。

圖2 分形紋樣設(shè)計圖

5 結(jié)語

在人類社會產(chǎn)生初期，科學(xué)與藝術(shù)之間具有十分密切的聯(lián)系，兩者同時產(chǎn)生并統(tǒng)一為一個有機(jī)整體，這種統(tǒng)一一直延續(xù)到文藝復(fù)興時期，當(dāng)時許多的藝術(shù)家也是科學(xué)家。此后，隨著科學(xué)與藝術(shù)的逐步向精深化和復(fù)雜化發(fā)展，藝術(shù)和科學(xué)逐步分離。然而，計算機(jī)技術(shù)的誕生和發(fā)展為科學(xué)和藝術(shù)的再次攜手提供了橋梁，分形圖形就是上述攜手的成果和見證。分形圖形基于其獨(dú)特的生成方式和藝術(shù)特征，可以廣泛應(yīng)用于裝飾、服裝、紡織、廣告等行業(yè)的圖案設(shè)計，有著十分廣闊的發(fā)展前景。當(dāng)然，要實現(xiàn)上述目標(biāo)，需要科學(xué)家和藝術(shù)家共同攜手投入該領(lǐng)域的研究，不斷拓展分形圖形的應(yīng)用范圍，實現(xiàn)科學(xué)與藝術(shù)的完美融合。

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