沈川杰，趙建偉，梁一林，李克鋒

（上?？臻g電源研究所，上海 200245）

一般情況下，鋰離子電池組內(nèi)部單元電池間有一定的差異，使用時，需要設(shè)置BMS實現(xiàn)鋰離子電池組的保護。但在導(dǎo)彈、運載火箭等領(lǐng)域，高倍率鋰離子電池要求供電高可靠性，采取不設(shè)置BMS的措施來防止誤動作造成供電回路斷開。在不設(shè)置BMS保護板的情況下，如果電池組放電截止電壓偏低，則可能發(fā)生過放電的情況，由此造成電池組內(nèi)部單元電池的損傷或損壞。本文利用均勻分布的數(shù)學(xué)模型求解鋰離子電池組在截止電壓過低情況下發(fā)生過放電的概率。

1 過放電原因和危害分析

導(dǎo)彈、運載火箭用鋰離子電池組一般由性能參數(shù)接近且在一定范圍內(nèi)的鋰離子電池單元電池（單體電池或單體電池的并聯(lián)體）串聯(lián)組成，從而達到提高電壓的目的。當(dāng)導(dǎo)彈、運載火箭用鋰離子電池組在測試過程中放電時，流經(jīng)每個單元電池的電流是相同的，即經(jīng)過一段時間放電后，每個單元電池容量的消耗相同。由于單元電池初始容量、自放電率等存在差異，充電過程中設(shè)備通道之間存在一定的差異，導(dǎo)彈、運載火箭用鋰離子電池組中各單元電池的荷電容量的差異始終存在。當(dāng)放電截止電壓過低時，串聯(lián)容量最低的單元電池電壓可能已經(jīng)降到0 V以下，即發(fā)生過放電。當(dāng)發(fā)生過放電時，過放單元電池的負極集流體銅箔在放電電流的作用下從負極溶解形成Cu+，向正極遷移并還原沉積，由于Cu+在正極沉積時，不能像Li+一樣能正常嵌入到正極活性物質(zhì)晶格中，只能在正極活性物質(zhì)表面和鋁箔表面生長，最終形成銅枝晶貫穿于隔膜中，導(dǎo)致正極和負極間發(fā)生短路或微短路。

2 過放電概率計算和分析

2.1 前提和假設(shè)

某類型鋰離子電池在放電過程中可持續(xù)放電，直到電壓下降到0 V，如圖1所示。為了簡化計算，本文研究的單元電池允許最大容量差為10%，并認為放電末期數(shù)據(jù)（剩余容量0%～10%區(qū)間）剩余容量與電壓之間近似呈線性關(guān)系。

圖1 單元電池電壓與剩余容量關(guān)系曲線（5C放電）

假設(shè)鋰離子電池組由m+1個串聯(lián)單元電池組成，規(guī)定允許的最大容量差為C0，實際單元電池對最小容量電池的容量差為Ci（i為0～m），xi=Ci/C0，且數(shù)值x1，x2，…，xm－1、xm（m為正整數(shù)）在（0，1）區(qū)間內(nèi)均勻分布。鋰離子電池組到達放電截止電壓（U截止）時，最低電壓的單元電池正好達到0 V，假設(shè)此時為電池組過放電的臨界點，則其他單元電池的平均電壓為u平均=U截止/m.

2.2 過放電概率的推導(dǎo)

設(shè)，t的概率密度函數(shù)為 ft（t），那么在（0，t）區(qū)間的分布的概率ft（t）為不發(fā)生過放電的概率密度函數(shù)，F(xiàn)T（T＜t）為不發(fā)生過放電的概率。

當(dāng)m=1時，F(xiàn)T（X＜t）函數(shù)為0≤x1≤t在二維變量x1、x2∈（0，1）中的積分（直線），F(xiàn)T（X＜t）=t；當(dāng)m=2，F(xiàn)T（X＜t）函數(shù)為 0≤x1+x2≤t在二維變量x1、x2∈（0，1）中的積分（面積），具體如圖2所示。當(dāng)0≤t≤1時，F(xiàn)T（T＜當(dāng)1≤t≤2時，

圖2 二維分布圖

當(dāng)m=3時，F(xiàn)T（X＜t）函數(shù)為0≤x1+x2+x3≤t在三維變量x1、x2、x3∈（0，1）中的積分（體積），具體如圖3所示。當(dāng) 0≤t≤1 時， FT（X＜t）=1/6×t3；當(dāng) 1≤t≤2 時，F(xiàn)T（X＜t）=1/6×[t3－3（t－1）3]；當(dāng) 2≤t≤3 時，F(xiàn)T（X＜t）=1/6×[t3－3（t－1）3+3（t－2）3]。

圖3 三維分布圖

當(dāng) m=4 時，F(xiàn)T（X＜t）函數(shù)為 0≤x1+x2+x3+x4≤t在四維變量x1、x2、x3、x4∈（0，1）中的積分。當(dāng)0≤t≤1時，F(xiàn)T（X＜t）=1/24×t4；當(dāng) 1≤t≤2 時，F(xiàn)T（X＜t）=1/24×[t4－4（t－1）4]；當(dāng) 2≤t≤3 時，F(xiàn)T（X＜t）=1/24×[t4－4（t－1）4+6（t－2）4]；當(dāng) 3≤t≤4 時，F(xiàn)T（X＜t）=1/24×[t4－4（t－1）4+6（t－2）4－4（t－3）4]。

根據(jù)函數(shù)的規(guī)律，類推可以得到FT（T＜t），其中，m，n為正整數(shù)，i為非負整數(shù)，n－1≤t≤n，n≤m.根據(jù) ft（t）=FT‘（T＜t），得到 ft

設(shè) x，x，…，x，x的平均值為，則，代

12m－1m入上述公式可得，其中，m，n為正整數(shù)，i為非負整數(shù)，另外，計算其中，m，n為正整數(shù)，i為非負整數(shù)，

經(jīng)過如上求解，電池組發(fā)生過放電的概率為，其中，m為整數(shù)，代表失效正好失效1個單元電池時，其他單元電池的數(shù)量，等于電池組總串聯(lián)數(shù)s－1；為0～1區(qū)間的數(shù)值，代表正好失效1個單元電池時，其他電池平均容量百分比與單元電池之間最大可能容量差百分比之比。n為整數(shù)，等于向下取整的值。

3 過放電實例分析

以八串的鋰離子電池組為例，設(shè)置該電池組放電截止電壓為18 V，電池組內(nèi)部單元電池荷電容量差為10%以內(nèi)。單元電池發(fā)生過放電的臨界電壓值為18 V/7=2.57 V，對應(yīng)的平均容量為6.2%，=6.2%/10%=0.62，通過1－FT（）=計算發(fā)生過放電的概率：

4 結(jié)論

綜上所述，借助數(shù)學(xué)模型，可以實現(xiàn)對導(dǎo)彈、運載火箭用高倍率鋰離子電池過放電情況的有效評估，相信通過不斷的深入研究，將為導(dǎo)彈、運載火箭提供可靠性更高的鋰離子電池。

參考文獻：

［1］陳洋，李榮正.電池管理系統(tǒng)（BMS）及其均衡充電的方法［J］.上海工程大學(xué)學(xué)報，2015，29（03）：213-217.

［2］許濤，李干，胡家佳，等.磷酸鐵鋰鋰離子電池模組過放電失效分析［J］.電池，2017，47（04）：226-229.

［3］袁飛馬，張玉新，趙廣超，等.一種低溫鋰離子電池組設(shè)計及失效分析［J］.電源技術(shù)，2015，39（11）：2377-2380.