王海濤， 王 琨， 史麗晨

(西安建筑科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 西安 710055)

建筑施工機(jī)械結(jié)構(gòu)復(fù)雜、工況惡劣，其內(nèi)部滾動軸承發(fā)生故障時，振動信號非平穩(wěn)非線性程度較為明顯。采用合適的分析方法提取振動信號中的有用信息是故障特征提取的關(guān)鍵[1-2]。滾動軸承故障診斷中常用的分析方法有：譜分析、小波分析、EMD(Empirical Mode Decomposition)分解法等[3-4]，基于上述方法的故障特征提取和診斷研究已取得了豐碩的成果。Kankar等[5]基于小波變換和人工智能技術(shù)對滾動軸承故障進(jìn)行了特征提取和診斷，對比驗證了支持向量機(jī)(Support Vector Machine, SVM)具有更為良好的診斷性能。Yu等[6]提出了基于EMD方法和希爾伯特譜的故障特征提取方法，并與傳統(tǒng)包絡(luò)譜方法進(jìn)行了對比，得出前者更能對滾動軸承故障特征進(jìn)行有效提取。然而大量文獻(xiàn)主要是對故障部位和類型進(jìn)行區(qū)分，實(shí)際上設(shè)備的故障是一個從輕微到嚴(yán)重的演變過程，準(zhǔn)確識別設(shè)備運(yùn)行中的故障程度演變情況對保證設(shè)備平穩(wěn)運(yùn)行有著重要意義。近期，對故障程度的研究已經(jīng)引起了廣泛的關(guān)注，張龍等[7]基于多尺度熵對滾動軸承故障程度進(jìn)行了識別，能夠較早的發(fā)現(xiàn)其早期故障并與故障發(fā)展趨勢保持了一定的一致性。王玉靜等[8]基于EMD和SVD(Singular Value Decompostion)進(jìn)行特征提取，實(shí)現(xiàn)了對滾動軸承不同故障位置及其性能退化程度的特征提取和智能識別。上述研究內(nèi)容在滾動軸承故障程度定量識別方面取得了一定成效，但依然不能完全滿足機(jī)械設(shè)備實(shí)際工況下非線性非平穩(wěn)等因素導(dǎo)致故障程度特征定量提取相對困難這一問題。針對此問題，本文提出了基于Volterra級數(shù)建模和雙譜切片分析的滾動軸承故障程度特征提取方法，通過實(shí)驗對比驗證了所述方法的優(yōu)越性。

1 方法提出

本文利用美國Case Western Reserve University軸承輸入輸出信號確定Volterra級數(shù)模型[9-12]，應(yīng)用多脈沖激勵的方法對Volterra核函數(shù)進(jìn)行求解，并利用廣義頻率響應(yīng)函數(shù)對核函數(shù)進(jìn)行辨識；建立滾動軸承故障模型，利用雙譜分析對Volterra二階核函數(shù)進(jìn)行表征，針對其雙譜三維圖和等高線圖表征缺少定量結(jié)果的缺點(diǎn)，對其雙譜三維圖進(jìn)行切片，得到其切片譜，對相位耦合的頻率點(diǎn)進(jìn)行了提取和對比，對故障模型進(jìn)行了定量分析，使得Volterra核函數(shù)表征更為直觀，在滾動軸承不同程度故障的對比和診斷中取得了良好效果，基于Volterra級數(shù)和雙譜分析的特征提取方法流程圖如圖1所示。

圖1 基于Volterra級數(shù)和雙譜分析的特征提取方法流程圖

2 理論簡述

2.1 Volterra級數(shù)理論

Volterra級數(shù)理論最早從數(shù)學(xué)角度提出，用于研究某些微積分方程；可以利用一個輸入值的多維卷積積分的無限長代數(shù)和來具體表示系統(tǒng)輸出，確定系統(tǒng)模型。對于一個線性系統(tǒng)，系統(tǒng)輸入和輸出關(guān)系在時域中可以表示為以下卷積運(yùn)算

(1)

式中:μ(t),y(t)分別為系統(tǒng)輸入和輸出；h(t)為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)。

同理，對任意連續(xù)的非線性系統(tǒng)，在初始條件為零的情況下，若系統(tǒng)的輸入μ(t)能量有限，相對應(yīng)的，其系統(tǒng)的響應(yīng)可以用Volterra級數(shù)表示為

(2)

式中：hk(τ1,τ2,…,τk)為k階Volterra級數(shù)的核，是線性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)在高維空間的推廣。通過線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)表示形式的對照，對于線性系統(tǒng)，h(t)代表了線性系統(tǒng)的系統(tǒng)特性；同理，對于非線性系統(tǒng)，h1(τ),h2(τ1,τ2),…h(huán)n(τ1,…,τn)所組成的集合便代表了非線性系統(tǒng)的系統(tǒng)特性，確定非線性系統(tǒng)的系統(tǒng)特性便是對非線性系統(tǒng)的Volterra核函數(shù)進(jìn)行確定。

若將式(2)在時域內(nèi)進(jìn)行離散化，則可以得到表達(dá)式為Volterra級數(shù)的離散時域函數(shù)

μ(k-m1)…μ(k-mn)

(3)

式中：μ(k),y(k)∈R分別為系統(tǒng)的輸入和輸出;hn(m1,…，mn)為離散Volterra級數(shù)的第n階核函數(shù)。

為了更深入的研究Volterra核函數(shù)，僅僅在時域上分析是不夠的，故而引入廣義頻率響應(yīng)函數(shù)的概念，實(shí)現(xiàn)Volterra核函數(shù)在頻域內(nèi)的研究，是線性頻率函數(shù)的延伸和拓展。其定義為Volterra核函數(shù)hn(τ1,τ2,…,τn)的多維傅里葉變換，如下所示

e-j(ω1τ1+ω2τ2+…+ωnτn)dτ1dτ2…dτn

(4)

利用廣義頻率響應(yīng)函數(shù)(Generalized Frequency Response Function, GFRF)可以在對系統(tǒng)進(jìn)行非線性分析辨識時，直觀的描述出許多系統(tǒng)的頻域特征。

如上文所述，Volterra核函數(shù)代表了非線性系統(tǒng)的系統(tǒng)特性，確定系統(tǒng)Volterra核函數(shù)便可對系統(tǒng)特性進(jìn)行表述。對于Volterra核函數(shù)的求解，目前主要使用最小二乘法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法，但卻暴露出了此類方法計算量大、復(fù)雜性高的缺點(diǎn)。針對此類問題，本文提出了改進(jìn)的多脈沖激勵法對Volterra級數(shù)核進(jìn)行求解，更為方便的確定系統(tǒng)核函數(shù)。

2.2 模型辨識

2.2.1 建模與求解

在對系統(tǒng)進(jìn)行建模時，可將m,n取有限值。當(dāng)不計算直流分量y0的影響時，式(3)可以改寫為具有截斷形式的離散時域形式

(5)

式中：N為非線性系統(tǒng)的最高階次；M為脈沖響應(yīng)的記憶長度；e(k)為非線性系統(tǒng)被截斷成有限項后產(chǎn)生的截斷誤差。

假設(shè)存在一非線性系統(tǒng)，而且可以用二階Volterra級數(shù)進(jìn)行表述。如式(6)所示

(6)

將一個單脈沖激勵作為系統(tǒng)輸入，即μ0(t)=aδδ(t)，則通過以下公式對系統(tǒng)一階核進(jìn)行求解

μ0(t)=aδδ(t)→y0(t)

y0(t)=aδh1(t)

(7)

式中：aδ為脈沖增益參數(shù)。

對式(7)移項后可得

(8)

現(xiàn)假設(shè)此非線性系統(tǒng)Volterra級數(shù)核h1,h2均存在，將兩個不同幅值的脈沖激勵作為輸入進(jìn)行求解

(9)

(10)

將式(9)，式(10)利用矩陣進(jìn)行表示為

(11)

則h1(t),h2(t,t)可表示為

(12)

2.2.2 算例驗證

通過上述理論研究，假設(shè)一非線性系統(tǒng)如下

(13)

vt=0.5μt+2.5μt-1+1.7μt-2

(14)

假設(shè)系統(tǒng)記憶長度為M=3，那么對yt在μt點(diǎn)進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，并將式(14)代入后得

yt=0.5+1.25(0.5μt+2.5μt-1+1.7μt-2)-

(15)

從式(15)中可以得到系統(tǒng)的一階和二階核函數(shù)原始數(shù)值如下

(16)

對系統(tǒng)進(jìn)行兩次輸入，分別為σ(t)、σ(t)+σ(t-T)；系統(tǒng)輸出分別記為y0和y1。利用式(12)可以計算得到系統(tǒng)的Volterra核函數(shù)估計值為

(17)

為了清晰地反映出辨識結(jié)果對上述系統(tǒng)的逼近程度，利用式(4)的離散形式求出核函數(shù)的廣義頻率響應(yīng)，并做出系統(tǒng)一階和二階核函數(shù)理論值和辨識值的頻率響應(yīng)圖。

通過對圖2和圖3中理論值和估計值的頻率響應(yīng)圖的對比后發(fā)現(xiàn)，一階核最大絕對誤差幅值和相位的頻率響應(yīng)約為0.4dB和1°，二階核最大絕對誤差幅值和相位的頻率響應(yīng)約為0.04dB和0.3°，說明通過多脈沖激勵的方法對非線性系統(tǒng)有良好的辨識效果，可以利用此方法對非線性系統(tǒng)進(jìn)行建模。

當(dāng)然，上述理論情況是建立在忽略外界噪音的基礎(chǔ)上的。在實(shí)際應(yīng)用中，噪聲的影響難以忽略，直接利用系統(tǒng)核函數(shù)的頻率響應(yīng)圖進(jìn)行對比，難以消除噪聲以及各頻率點(diǎn)的頻率耦合問題。雖然二階核GFRF頻率響應(yīng)圖可以表示系統(tǒng)特性，但由于二階核頻響圖是三維譜圖，對其中有用信息往往沒有得到較好的利用[13]。本文利用雙譜有效抑制高斯噪聲的特性，能夠?qū)S承故障特征進(jìn)行有效提取，并對其進(jìn)行了切片處理，將其有用信息投影到了二維圖形上，對系統(tǒng)特征的定量提取和直觀表達(dá)起到了重要作用。

圖2 一階核理論值和辨識值對比

Fig.2 Comparison of first-order theoretical and identification values

(a) 理論二階核

(b) 辨識二階核

(c) 誤差對比

2.3 雙譜及其切片譜

高階累積量譜常稱為高階譜，假設(shè)k階累積量ckx(τ1,τ2,…,τk-1)絕對可和，則k階累積量譜定義為其k-1維傅里葉變換，即為

τk-1)e-j2π(f1τ1+f2τ2+…+fk-1τk-1)

(18)

由于在實(shí)際應(yīng)用中累積量及其譜的值需要估計，但隨著階數(shù)的增加，計算量也隨之大大增加，所以一般只考慮k≤4的情況。當(dāng)k=3時，對應(yīng)累積量的譜為三譜，即所謂的雙譜。

三階譜(雙譜)表達(dá)式為

(19)

將式(19)轉(zhuǎn)換到頻域，利用頻率特性函數(shù)進(jìn)行表達(dá)

B(ω1,ω2)=γ3aH(ω1)H(ω2)H*(ω1+ω2)

(20)

式中:H(ω)為頻率特性函數(shù)；γ3a為歪斜度；a(n)為一獨(dú)立同分布的非高斯隨機(jī)過程。

雙譜Bx(f1,f2)具有如下重要性質(zhì)

Bx(f1,-f1-f2)=Bx(-f1-f2,f1)=

Bx(f2,-f1-f2)

(21)

式中：“*”為復(fù)共軛。由式(21)可知，雙譜Bx(f1,f2)的對稱線包括f1=f2、f1=0、f2=0、2f1=-f2、2f2=-f1、f1=-f2六條，從而將雙譜的定義域分為12個區(qū)域，其中區(qū)域Q={(f1,f2)|0≤f1,f2≤f1}稱為雙譜Bx(f1,f2)在平面(f1,f2)的主域，從而對稱性是雙譜的重要性質(zhì)，只要知道主域內(nèi)的雙譜，便可通過對稱關(guān)系對其他雙譜值進(jìn)行求解。

顯然，雙譜反映了信號的三階矩(信號偏度)在雙頻率平面內(nèi)的分布情況，且雙譜是一個復(fù)數(shù)，所以它既包含了幅值信息，又包含了相位信息，可以用于描述系統(tǒng)的二次相位耦合程度，這是功率譜所不具備的。以此來對不同的Volterra故障模型進(jìn)行比對，實(shí)現(xiàn)故障診斷的目的。

3 實(shí)驗論證

本文將Volterra級數(shù)與雙譜切片譜引入滾動軸承故障診斷，對正常與不同程度故障軸承的雙譜及其切片譜圖進(jìn)行對比，驗證此方法的可行性和優(yōu)越性。

本實(shí)驗的數(shù)據(jù)信號來自于Case Western Reserve University軸承故障中心，試驗中驅(qū)動端輸入軸軸承型號為SKF6205,軸承規(guī)格見表1。對軸承內(nèi)圈采用電火花加工單點(diǎn)點(diǎn)蝕故障。實(shí)驗中使用加速度傳感器采集振動信號，通過使用磁性底座將傳感器安放在電機(jī)殼體上。加速度傳感器分別安裝在電機(jī)殼體的驅(qū)動端和風(fēng)扇端12點(diǎn)鐘的位置。振動信號是通過16位通道的DAT記錄器采集的，并且后期在MATLAB環(huán)境中處理。數(shù)字信號的采樣頻率為12 kHz。本文選取正常軸承與不同損傷程度的內(nèi)圈故障軸承進(jìn)行實(shí)驗，故障直徑分別為0.18 mm和0.36 mm，故障深度為0.28 mm，驅(qū)動端負(fù)載取0，驅(qū)動端轉(zhuǎn)速為1 797 r/min。對系統(tǒng)給予輸入信號分別為σ(t)、σ(t)+σ(t-1)，運(yùn)行系統(tǒng)并利用加速度傳感器采集振動輸出信號，對實(shí)驗觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行抽樣，截取2 000組數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗。利用多脈沖激勵方法在MATLAB中對輸入輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，分別得到正常軸承和內(nèi)圈故障軸承系統(tǒng)的Volterra核函數(shù)h1,h2，利用二階核h2便可以反映出正常軸承和故障軸承系統(tǒng)的特性。

表1 SKF6205深溝球軸承規(guī)格

做出正常軸承和內(nèi)圈故障軸承二階核的雙譜三維圖和等高線圖，如圖4、圖5所示，可以觀察到正常軸承和損傷程度不同的故障軸承的雙譜三維圖明顯不同，譜峰的形狀及能量隨著損傷程度的增加而逐漸增多。損傷程度越大的軸承二次耦合頻率點(diǎn)更多、更分散，這一點(diǎn)在其等高線上可以更明顯的看出。利用雙譜三維圖和等高線圖揭示出了其頻率二次耦合的位置，表征出了正常和不同損傷程度的故障軸承之間系統(tǒng)特性的區(qū)別。

(a) 正常軸承

(b) 損傷直徑0.18 mm

(c) 損傷直徑0.36 mm

(a) 正常軸承

(b) 損傷直徑0.18 mm

(c) 損傷直徑0.36 mm

由于雙譜三維圖和等高線圖只可以表征出正常軸承和故障軸承不同的系統(tǒng)特性，即僅可以定性的對正常軸承和故障軸承進(jìn)行比較，而缺乏更為定量的系統(tǒng)特征描述；并且從雙譜三維圖中可以看出，其顯示的特征較為復(fù)雜。為了更加明了地觀察出正常軸承系統(tǒng)和不同程度故障軸承系統(tǒng)的區(qū)別，對雙譜進(jìn)行對角切片分析。選取f=f1=f2的位置進(jìn)行切片，如圖6所示，既提取出了雙譜三維圖的有用信息，又有效地減少了運(yùn)算量，并且包含了雙譜的全部信息，可以對正常和不同損傷程度的故障軸承有一個更為清晰的對比，從而達(dá)到故障診斷的目的。

(a) 正常軸承

(b) 損傷直徑0.18 mm

(c) 損傷直徑0.36 mm

分析雙譜切片圖可知，正常軸承其雙譜切片圖只有一個峰值，出現(xiàn)在f=107 Hz這一頻率點(diǎn)處；而損傷直徑為0.18 mm的軸承雙譜切片圖峰值分布分散，在f=52 Hz、f=77 Hz、f=101 Hz等處都出現(xiàn)了明顯峰值；對于損傷直徑為0.36 mm的軸承雙譜切片圖分布更為分散，峰值位置在f=41 Hz、f=54 Hz、f=73 Hz、f=99 Hz等處明顯。通過以上分析說明二次相位耦合位置和頻率接近的點(diǎn)隨著故障損傷程度變化，耦合現(xiàn)象越來越嚴(yán)重，與正常軸承有著明顯的差異。

在實(shí)際應(yīng)用中，考慮到設(shè)備自身的影響，在上述實(shí)驗的基礎(chǔ)上，對采集到的信號加入不同信噪比SNR=10 dB和SNR=5 dB的外部噪聲，以此來模擬平穩(wěn)運(yùn)行無明顯沖擊振動和非平穩(wěn)運(yùn)行設(shè)備自身對實(shí)驗結(jié)果的影響。利用本文方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行建模分析，做出Volterra核函數(shù)的雙譜切片圖，如圖7所示，并與上述實(shí)驗結(jié)果進(jìn)行對比。

(a) 正常軸承

(b) 損傷直徑0.18 mm

(c) 損傷直徑0.36 mm

對比分析圖6和圖7后發(fā)現(xiàn)，加入信噪比SNR=10 dB的外部噪聲之后，應(yīng)用本文所述方法對Volterra核函數(shù)進(jìn)行雙譜切片分析，相比較圖6，圖7中雖然出現(xiàn)了一定的波動，但整體上未對其峰值所對應(yīng)的頻率點(diǎn)產(chǎn)生影響，正常軸承所對應(yīng)的雙譜切片圖中依舊在f=107 Hz出現(xiàn)了最高峰值，同樣的，損傷直徑為0.18 mm的軸承雙譜切片圖在f=53 Hz、f=77 Hz、f=101 Hz等附近也都出現(xiàn)了明顯峰值；而對于損傷直徑為0.36 mm的軸承雙譜切片圖，其峰值位置分布依舊出現(xiàn)在了f=41 Hz、f=54 Hz、f=70 Hz、f=102 Hz等附近，可以描述不同的二次相位耦合現(xiàn)象，對比不同損傷程度的故障軸承。

當(dāng)加入信噪比為SNR=5 dB的外部噪聲后，做出不同損傷程度的雙譜切片圖，其峰值排列雜亂無序，有用信息被噪聲淹沒，難以對故障特征進(jìn)行提取，但是其更多的細(xì)節(jié)信息應(yīng)隱含在三階及以上的高階Volterra核函數(shù)中，本文對此不作詳細(xì)描述。

總體來講，未加外部噪聲和加入一定信噪比的外部噪聲的分析結(jié)果并無明顯出入，雖然在外部條件的影響下出現(xiàn)了一部分的雜亂信號，但對其二次頻率耦合的頻率點(diǎn)位置并無太大影響，說明在設(shè)備平穩(wěn)運(yùn)行無明顯沖擊產(chǎn)生的條件下，本文方法可以忽略一部分設(shè)備自身所產(chǎn)生的影響，對提取不同損傷程度的故障軸承特征有一定的適用性。

現(xiàn)采用小波和包絡(luò)譜的方法對相同實(shí)驗條件下的軸承進(jìn)行分析，即對加入信噪比SNR=10 dB的外部噪聲后的輸出信號進(jìn)行小波降噪和包絡(luò)譜分析，并與本文所述方法進(jìn)行對比。首先利用式(22)以及前文所述軸承數(shù)據(jù)求得內(nèi)圈故障特征頻率為finner=159.7 Hz。選取小波基為“db6”并并進(jìn)行Hilbert包絡(luò)譜分析，如圖8所示，并與前文所述方法進(jìn)行對比。

(22)

(a) 正常軸承

(b) 損傷直徑0.18 mm

(c) 損傷直徑0.36 mm

對比圖8中正常軸承和不同損傷程度的軸承包絡(luò)譜圖，發(fā)現(xiàn)圖8(b)和圖8(c)中出現(xiàn)最高峰值的頻率點(diǎn)為161.7 Hz，與理論上計算的故障頻率點(diǎn)基本吻合，可以依據(jù)此頻率點(diǎn)來區(qū)分正常軸承和內(nèi)圈故障軸承。隨著故障程度的加深，雖然圖8(b)和圖8(c)中除最高峰(161.7 Hz)外其余波動也隨故障程度的加深而增大，但其分布卻無規(guī)律可尋，難以提取隱含在其中的更多故障信息。與此方法相比，本文所述方法最突出的優(yōu)點(diǎn)在于利用Volterra級數(shù)建模和以二階核函數(shù)雙譜切片圖中所表示的二次相位耦合頻率作為故障特征，從而對不同損傷程度的故障軸承進(jìn)行對比和區(qū)分，不需要進(jìn)行濾波處理。另外，得益于雙譜分析對噪聲的不敏感，能夠在平穩(wěn)運(yùn)行無明顯沖擊影響的條件下對軸承進(jìn)行特征提取，在一定程度上克服了設(shè)備自身的影響。

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于Volterra級數(shù)理論和雙譜切片分析提取故障特征的方法，利用Case Western University軸承輸入輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗證，通過改進(jìn)的多脈沖激勵法對Volterra核函數(shù)進(jìn)行求解，而后采用雙譜切片對二階核函數(shù)進(jìn)行表征，并與傳統(tǒng)包絡(luò)譜方法進(jìn)行了對比。研究結(jié)果表明：由于Volterra核函數(shù)的確定是利用了系統(tǒng)輸入和輸出信號，可以更為完善的表征系統(tǒng)狀態(tài)，不完全依賴濾波處理；并且利用雙譜切片分析，可以直觀的表示出核函數(shù)的特征，提取出故障軸承有用信息，實(shí)現(xiàn)正常軸承和不同損傷程度故障軸承的對比和辨識；相比較傳統(tǒng)方法，本文所述方法能夠在設(shè)備平穩(wěn)運(yùn)行無明顯沖擊振動的情況下消除一部分設(shè)備自身的影響，具有更好的抗噪性，能夠?qū)崿F(xiàn)滾動軸承內(nèi)圈故障程度特征定量提取。

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