彭 霞， 龔憲生， 巫顯照， 鄒聲勇

(1.重慶大學(xué) 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044；2.重慶大學(xué) 機械工程學(xué)院，重慶 400044；3.石河子大學(xué) 機電工程學(xué)院，新疆 石河子 832003；4.中信重工機械股份有限公司，河南 洛陽 471039)

在我國，隨著國民經(jīng)濟的發(fā)展，淺層礦產(chǎn)資源的日益減少，資源的深部開采(井深>1 500 m)已經(jīng)成為國家戰(zhàn)略正在逐步展開。我國傳統(tǒng)的礦井提升裝備及其設(shè)計制造理論技術(shù)已經(jīng)不能滿足深部開采對提升高度、有效荷載率、提升效率和安全性的基本要求[1]。礦井提升裝備是深部資源開發(fā)的關(guān)鍵瓶頸裝備。采用雙折線過渡平行繩槽的多層纏繞、多點提升組合拓撲結(jié)構(gòu)有望成為超深井提升裝備的有效型式,其結(jié)構(gòu)如圖1所示。卷筒表面的平行折線繩槽及其布置形式如圖2和圖3所示。卷筒繩槽的一周有兩個折線過渡區(qū)，兩個過渡區(qū)間的圓心角為180°，稱為對稱雙折線繩槽，其它的稱為非對稱雙折線繩槽。鋼絲繩在對稱繩槽纏繞時，卷筒每轉(zhuǎn)一周鋼絲繩有兩次圈間過渡，即鋼絲繩對提升系統(tǒng)產(chǎn)生周期性激勵，由于提升系統(tǒng)在提升過程中鋼絲繩長度會變化，因此系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和阻尼都會隨之變化，從而引起系統(tǒng)振動固有頻率變化，由此可能會因周期性激勵引發(fā)系統(tǒng)共振。鋼絲繩在非對稱繩槽纏繞時，鋼絲繩在非對稱的圈間過渡激勵下會產(chǎn)生不同的提升系統(tǒng)振動響應(yīng)。對稱雙折線過渡繩槽和非對稱雙折線過渡繩槽到底哪一種引起的振動更小或在什么情況下更有利于超深礦井提升，這已成為超深井提升設(shè)備研究過程中必須深入研究和解決的重要問題。

圖1 超深井提升裝備圖

圖2 平行折線繩槽卷筒展開圖

圖3 繩槽折線過渡區(qū)布置示意圖

國內(nèi)對此問題研究未見報道。國外對此的研究也鮮有報道。但是對鋼絲繩提升系統(tǒng)的振動，國內(nèi)外學(xué)者已做了許多研究。Zhu等[2-5]先后研究了變長度變張力的垂直移動物體(梁和弦線)在一般初始條件和外部激勵下的橫向振動響應(yīng)，建立了高速電梯的時變長度鋼絲繩的橫向動力學(xué)方程，并對電梯原形和數(shù)學(xué)模型的動態(tài)響應(yīng)的數(shù)值仿真做了比較；分析了鋼絲繩的等幅橫向振動、衰減振動、發(fā)散振動及其相互轉(zhuǎn)化的原因，最后通過數(shù)字仿真和實驗對理論分析結(jié)果進行了驗證。Sandilo等[6]建立了變長度繩索系統(tǒng)的動態(tài)模型，分析了可變長度、速度、張力等這些初始條件對系統(tǒng)橫向振動響應(yīng)的影響。Arrasate等[7]分析了電梯動力系統(tǒng)的轉(zhuǎn)矩波動對提升系統(tǒng)縱向振動的影響，并將數(shù)值仿真結(jié)果和實驗結(jié)果做了對比。Kaczmarczyk[8]建立了僅考慮懸、垂繩縱向振動的提升系統(tǒng)的動態(tài)模型，并用多尺度法分析了動態(tài)響應(yīng)。張鵬等[9-11]先后以任意變長度柔性提升系統(tǒng)的縱向-橫向耦合振動為研究對象，用Hamilton原理建立了系統(tǒng)在無阻尼狀態(tài)外界激勵下的橫、縱振耦合的振動方程，并用Galerkin方法離散化求解。Kaczmarczyk等[12]以礦井提升鋼絲繩為研究對象,不考慮鋼絲繩振動的非線性因素,基于能量法,運用Hamilton原理建立了礦井提升系統(tǒng)有激勵、有阻尼的振動方程，并用Rayleigh-Ritz方法求解其振動特征,分析了周期性外部激勵作用下鋼絲繩系統(tǒng)的共振情況。但其研究是基于對稱繩槽，而且重點研究的是不同速度下懸、垂繩的橫、縱向振動變化情況。

鋼絲繩纏繞提升系統(tǒng)，本質(zhì)是一個具有慢變頻率和振型非穩(wěn)態(tài)振動系統(tǒng)，鋼繩長度隨時間變化，其系統(tǒng)質(zhì)量、剛度和阻尼隨之變化，所以其固有頻率也是慢變的。當外部激勵在某個特定的時間其頻率和慢變固有頻率接近時會發(fā)生共振。

綜上所述，本文擬研究超深礦井提升時，雙折線平行繩槽過渡區(qū)在不同非對稱參數(shù)下對提升鋼絲繩振動的影響，以懸繩橫向振動幅值大小作為多層纏繞繩槽型式優(yōu)劣的評價指標，最終確定適合超深井多層纏繞的最優(yōu)繩槽形式。本文的研究學(xué)術(shù)思路是，首先建立提升系統(tǒng)的力學(xué)和數(shù)學(xué)模型，其次研究確立不同非對稱系數(shù)下的激勵函數(shù)，然后對提升系統(tǒng)控制方程離散求解，研究不同非對稱系數(shù)對提升系統(tǒng)振動幅值的影響。

1 建立提升系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1.1 礦井提升系統(tǒng)無激勵時的數(shù)學(xué)模型

將實際礦井提升系統(tǒng)(如圖1所示)，根據(jù)研究需要進行簡化并建立其力學(xué)模型，將礦井提升系統(tǒng)鋼絲繩分為懸繩和垂繩兩部分。為研究方便，將卷筒和懸繩順時針旋轉(zhuǎn)至垂繩同一條直線，如圖4所示，并作如下假設(shè)：① 暫且忽略空氣阻力；② 鋼絲繩材料均勻；③ 卷筒、井架、天輪、罐道是剛性的；④ 鋼絲繩在卷筒和天輪上無滑動；⑤ 忽略鋼絲繩的扭轉(zhuǎn)耦合振動；⑥ 懸繩中有預(yù)張力。

在懸繩與卷筒的接觸點處建立坐標系oxyz，懸繩中任意一點P的長度為l，懸繩長度為ls，提升容器與鋼絲繩接觸點到坐標原點的距離為L(t)?？紤]懸繩中任意一點P的振動為縱向振動和橫向振動。其中橫向振動分為沿卷筒徑向振動和沿卷筒軸向振動，P′是P的動態(tài)變形位置，即在l位置的徑向振動、沿繩向振動和軸向振動分別為u(l,t)，vc(l,t)，w(l,t)，則提升容器和鋼絲繩的整體縱向速度

(1)

圖4 礦井提升系統(tǒng)力學(xué)模型

由于垂繩中有罐道的限位作用，所以垂繩的橫向振動可以忽略,所以垂繩中任意一點只考慮其縱向振動,設(shè)為vv(l,t)。在無激勵狀態(tài)下，在l=0處的邊界條件為

u(0,t)=vc(0,t)=w(0,t)=0

(2)

在天輪處l=ls處的邊界條件

u(ls,t)=w(ls,t)=0

u,t(ls,t)=w,t(ls,t)=0

(3)

應(yīng)用Hamilton原理，得到

(4)

式中：T,Ek,Ep,W分別為系統(tǒng)的動能、鋼絲繩的彈性應(yīng)變能、系統(tǒng)的重力勢能和虛功。該提升系統(tǒng)的總動能可表示為

(5)

式中：ρ為鋼絲繩的每米繩的質(zhì)量；Ms為天輪的慣性質(zhì)量；Mc為載荷的質(zhì)量。鋼絲繩的彈性應(yīng)變能可表示為

(6)

式中：Ek0為鋼絲繩在預(yù)張力下的初始應(yīng)變能；εc和εv分別為懸繩部分和垂繩部分鋼絲繩的應(yīng)變量；Tc和Tv分別為在參考坐標系下在靜平衡狀態(tài)下懸繩和垂繩的靜態(tài)張力。εc和εv由式(1)確定

εv=vv,l

(7)

式中：(),l為對l求偏導(dǎo)數(shù)；(),t為對時間求偏導(dǎo)數(shù)。Tc和Tv由下式確定

Tc=[Mc+ρ(L(t)-ls)]g, 0≤l≤ls

(8)

Tv=[Mc+ρ(L(t)-l)]g,ls≤l≤L(t)

(9)

所以有

Tc,l=0

Tv,l+ρg=0

(10)

系統(tǒng)的重力勢能可表示為

Mcgvv(lv(t),t)

(11)

式中：Ep0為系統(tǒng)在鋼絲繩未變形的重力勢能。系統(tǒng)的虛功為

δW=δWvc+δWu+δWw+δWvv+δWs=

(12)

式中：δWvc，δWu，δWw，δWvv分別為懸垂繩的橫縱向阻尼力所做虛功；δWs為天輪摩擦力所做虛功；cv,cw,cs分別為鋼絲繩縱振、橫振阻尼系數(shù)和天輪的阻尼系數(shù)[13]。

運用變分原理，結(jié)合邊界條件，再根據(jù)獨立變分不為零的原則，由此可得系統(tǒng)的振動方程為

ρ(a+vc,tt)-EA(vc,ll+u,lu,ll+w,lw,ll)+

cvvc,t=0

(13)

EAu,l(vc,ll+u,lu,ll+w,lw,ll)+cwu,t=0

(14)

EAw,l(vc,ll+u,lu,ll+w,lw,ll)+cww,t=0

(15)

ρ(a+vv,tt)-EAvv,ll+cvvv,t=0

(16)

Ms(a+vc,tt)+EA(εc-εv)-cs(a+vc,t)=0

(17)

Mc(a+vv,tt)+EAvv,l=0

(18)

其中，式(13)～式(16)為鋼絲繩在無激勵狀態(tài)下的橫、縱耦合的振動方程；式(17)～式(18)鋼絲繩在l=ls和l=Lv(t)時的邊界條件。

由于垂繩的縱向振動遠小于懸繩的橫向振動[14]，且本文主要研究不同的過渡區(qū)布置對提升系統(tǒng)振動的影響，故暫且忽略懸繩的沿繩向振動和垂繩的縱向振動，只考慮懸繩的橫向振動，即

EAu,l(u,lu,ll+w,lw,ll)+cwu,t=0

(19)

EAw,l(u,lu,ll+w,lw,ll)+cww,t=0

(20)

1.2 礦井提升系統(tǒng)激勵分析和數(shù)學(xué)表達

鋼絲繩在平行繩槽內(nèi)纏繞時對提升系統(tǒng)沒有激勵，而鋼絲繩在繩槽折線過渡區(qū)時進行軸向排繩運動，即鋼絲繩進行圈間(槽間)過渡，如圖5所示。

圖5 圈間過渡平面圖

圖6 卷筒纏繞點處激勵與懸繩上任一點位移關(guān)系圖

Fig.6 The relational graph on stimulation in original point of the drum and displacement of a certain point in catenary cable

推導(dǎo)出懸繩一點P處u向、w向的絕對位移表達式

(21)

(22)

設(shè)在P產(chǎn)生的沿卷筒的徑向和軸向激勵力為Fu(l,t),Fw(l,t)則

(23)

(24)

將其代入得邊界激勵條件下u向，w向運動方程

(25)

(26)

卷筒在l=0處鋼絲繩圈間過渡產(chǎn)生周期性激勵，因不同的過渡區(qū)布置形式會產(chǎn)生不同的激勵函數(shù)，圈間過渡區(qū)的布置位置如圖3所示，定義圖中κ為非對稱系數(shù)，采用非對稱系數(shù)來描述兩個圈間過渡的間隔距離或時間，κ=1時為對稱繩槽布置，κ≠1時為非對稱繩槽布置。結(jié)合工程實際取0.5<κ≤1，激勵函數(shù)如式(27)～式(30)所示

(27)

(28)

(29)

(30)

式中：n為纏繞層數(shù)(暫定纏三層)；γ為過渡區(qū)對應(yīng)圓心角，過渡沖擊的持續(xù)時間tγ=γ/ωd，且ωd=Vc/Rd，如圖3所示鋼絲繩在κπ對應(yīng)劣弧的運行時間為τe1=2π/Ω1，鋼絲繩在2π-κπ對應(yīng)優(yōu)弧的運行時間為τe2=2π/Ω2，其中Ω1=2ωd/κ，Ω2=2ωd/(2-κ)。激勵的圓頻率ωj=π/tγ。當過渡區(qū)取不同非對稱系數(shù)κ時，卷筒旋轉(zhuǎn)一周，u向、w向的激勵函數(shù)圖像如圖7所示。

2 礦井提升系統(tǒng)振動響應(yīng)求解

礦井提升系統(tǒng)的振動微分方程式(25)、式(26)是無限維偏微分方程，在此應(yīng)用 Galerkin 方法，將其轉(zhuǎn)化為有限維的常微分方程以便求解。懸繩橫振的形函數(shù)為

(31)

則

(32)

圖7 不同非對稱系數(shù)的u向、w向激勵函數(shù)圖

Fig.7 Theu-direction、w-direction excitation function figure in different symmetry coefficient

將其代入到微分方程，等式兩邊同乘Φj，并將其在l∈[0,ls]內(nèi)積分，將偏微分方程離散成常微分方程。

(33)

3 數(shù)值仿真結(jié)果與討論

本文選取某超深礦井提升系統(tǒng)參數(shù)并用Matlab軟件對前面得到的提升系統(tǒng)微分方程和激勵函數(shù)進行編程，對懸繩的振動響應(yīng)進行數(shù)值仿真，研究在特定的速度18 m/s下，非對稱系數(shù)k取不同值時對懸繩橫向振動的影響，探討不同圈間過渡區(qū)布置形式下懸繩的橫向振動的變化規(guī)律，提出適合超深井的合理的圈間過渡區(qū)布置形式。

數(shù)值計算方法采用的是時間步長為0.001 s的四階龍格-庫塔法，數(shù)值計算時采取三階截斷。在Matlab中，使用ODE45命令完成常微分方程的計算，相對精度設(shè)置為10-3,絕對精度設(shè)置為10-6，并且計算結(jié)果沒有發(fā)散(是收斂的)。提升系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

圖8～圖12分別是在不同的非對稱系數(shù)下懸繩在l=ls/4處的橫向振動位移響應(yīng)的數(shù)值仿真結(jié)果，其中縱軸表示u向，w向的振動位移，橫軸表示垂繩的長度。圖中從右往左的第一條虛線是第一層與第二層的分界線，第二條虛線是第二層與第三層的分界線。

表1 提升系統(tǒng)仿真參數(shù)表

圖8～圖12中，懸繩的u向振動位移在當Lv=1 246～2 000 m時都為0,因為這時鋼絲繩在第1層纏繞，徑向位移沒有改變。隨著提升高度的增加，Lv值不斷減少，振動位移逐漸變大，鋼絲繩逐漸纏到第2層、第3層。為清晰地比較不同非對稱系數(shù)下懸繩的的橫向振動位移，現(xiàn)列出在不同非對稱系數(shù)下的u向、w向振動位移的最大值，如表2所示。

對比過渡區(qū)對稱布置(κ=1)與非對稱布置(κ≠1)發(fā)現(xiàn),過渡區(qū)非對稱布置的懸繩的振動位移的最大值均比對稱布置小κ的不同取值，懸繩的振動幅值的變化，振動的平穩(wěn)性是不同。當κ=0.9時，兩個方向的振動位移的最大值比對稱布置小，但振幅總體波動比對稱布置大。當κ=0.8時，相鄰點振幅變化很小，振幅最大值較小且相鄰點振幅無突變，振動較平穩(wěn)，且振動位移整體波動幅度更平緩。當κ=0.7時，在Lv=305 m時w向振動位移接近0，之后又逐漸增大，這種現(xiàn)象對排繩不利。當κ=0.6時，懸繩的橫向振動位移均為最小，但是相鄰點振幅變化很大，且有類似“拍振”現(xiàn)象產(chǎn)生。

筆者做了關(guān)于不同的提升系統(tǒng)參數(shù)與系統(tǒng)振動響應(yīng)結(jié)果的討論，經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)振動響應(yīng)結(jié)果與非對稱系數(shù)、鋼絲繩線密度、彈性模量、阻尼系數(shù)、提升速度這五個參數(shù)關(guān)系較大。同一個振動模型(即本文建立模型)代入南非kloof金礦數(shù)據(jù)(即文獻[12]和文獻[14]所用數(shù)據(jù))，如表3所示。

(a)

(b)

圖8 當κ=1時，在l=ls/4處懸繩的橫向振動位移響應(yīng)

Fig.8 The response of the lateral vibration displacement at the position ofl=ls/4 whenκ=1

(a)

(b)

圖9 當κ=0.9時，在l=ls/4處懸繩的橫向振動位移響應(yīng)

Fig.9 The response of the lateral vibration displacement at the position ofl=ls/4 whenκ=0.9

(a)

(b)

圖10 當κ=0.8時，在l=ls/4處懸繩的橫向振動位移響應(yīng)

Fig.10 The response of the lateral vibration displacement at the position ofl=ls/4 whenκ=0.8

(a)

(b)

圖11 當κ=0.7時，在l=ls/4處懸繩的橫向振動位移響應(yīng)

Fig.11 The response of the lateral vibration displacement at the position ofl=ls/4 whenκ=0.7

(a)

(b)

Tab.2Correlationtableofthemaximumvibrationdisplacementofthecatenaryunderdifferentsymmetrycoefficient

κ1.00.90.80.70.6umax/m0.640.500.480.510.38wmax/m0.720.560.510.560.51

當非對稱系數(shù)取κ=1時，懸繩的四分之一處平面內(nèi)和平面外(即沿卷筒直徑方向和卷筒軸線方向)振動位移響應(yīng)，如圖13所示。

表3 Kloof仿真參數(shù)表

(a)(b)

圖13κ=1時，在l=ls/4處懸繩的橫向振動位移響應(yīng)

Fig.13 The response of the lateral vibration displacement at the position ofl=ls/4 whenκ=1

當非對稱系數(shù)取κ=0.8時，懸繩的四分之一處平面內(nèi)和平面外(即沿卷筒直徑方向和卷筒軸線方向)振動位移響應(yīng)見圖14所示。

(a)(b)

圖14κ=0.8時，在l=ls/4處懸繩的橫向振動位移響應(yīng)

Fig.14 The response of the lateral vibration displacement at the position ofl=ls/4 whenκ=0.8

對比非對稱系數(shù)分別取κ=1和κ=0.8時，按南非文獻參數(shù)下仿真結(jié)果，則對稱繩槽效果好，因為在此參數(shù)下非對稱繩槽振動位移的最大值比對稱繩槽大，且相鄰點振幅變化大，這樣容易導(dǎo)致多層纏繞時亂繩，跳繩。Kaczmarczyk等也顯示該礦卷筒安裝的是兩過渡區(qū)對稱布置的Lebus繩槽(即κ=1)，與本文模型按此參數(shù)仿真結(jié)果相同，因此本文所建立的振動模型是有效的。

綜上所述，繩槽形式的確定，究竟選擇對稱布置還是非對稱布置，需根據(jù)需根據(jù)提升系統(tǒng)參數(shù)決定。在本課題提出的超深、高速、重載要求確定的提升系統(tǒng)參數(shù)下，多層纏繞卷筒采用非對稱布置且非對稱系數(shù)為κ=0.8懸繩橫向振動位移小，相鄰點振幅變化小，有利于多層纏繞有序排繩和提升。

4 結(jié) 論

(1) 建立了變長度鋼絲繩提升系統(tǒng)的力學(xué)模型和鋼絲繩橫、縱振的數(shù)學(xué)模型，提出用非對稱系數(shù)k來描述兩折線繩槽過渡區(qū)間的相對位置布置關(guān)系并引入到激勵函數(shù)中。以某超深礦井提升系統(tǒng)的參數(shù)為算例，數(shù)值仿真得到在不同非對稱系數(shù)k下懸繩橫振的振動位移響應(yīng)，以此研究在特定的速度18 m/s下，兩折線過渡區(qū)非對稱系數(shù)k對懸繩的橫向振動的影響，探討得到不同圈間過渡區(qū)布置形式下懸繩的橫向振動的變化規(guī)律。

(2) 在本文提出的提升系統(tǒng)參數(shù)下的仿真結(jié)果表明：提升容器在提升上升過程中，懸繩的u向振動位移在第一層纏繞時為0，之后不斷增大。懸繩的u向、w向振動位移達到最大值后，幅值會因非對稱系數(shù)k的不同產(chǎn)生不同形式的波動變化。

(3) 繩槽形式的確定，究竟選擇對稱布置還是非對稱布置，需根據(jù)提升系統(tǒng)參數(shù)決定。在本文提出的提升系統(tǒng)參數(shù)下，兩折線繩槽過渡區(qū)非對稱布置時懸繩的橫向振動位移響應(yīng)的最大值均比對稱布置小。當非對稱系數(shù)κ=0.8時，懸繩的u向和w向振動位移的最大值相對較小，相鄰點振幅變化小，振幅總體波動不大，按這種系數(shù)布置卷筒繩槽的兩折線繩槽過渡區(qū)有利于降低超深井提升多層纏繞鋼絲繩的振動幅值和有序排繩。

參 考 文 獻

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附錄1

將模函數(shù)代入控制方程，等式兩邊同乘Φj，并將其在l∈[0,ls]內(nèi)積分，將偏微分方程離散成常微分方程。則控制方程變?yōu)?/p>

當j為奇數(shù)時

當j為偶數(shù)時

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當j為偶數(shù)時