姚紅良， 王童照， 曹焱博， 聞邦椿

(東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽 110819)

振動(dòng)過大往往會(huì)威脅旋轉(zhuǎn)機(jī)械的穩(wěn)定運(yùn)行，嚴(yán)重時(shí)可導(dǎo)致停機(jī)甚至機(jī)毀人亡的重大事故。因此，從機(jī)理上分析轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)產(chǎn)生的原因，合理地對(duì)旋轉(zhuǎn)機(jī)械抑振[1]或吸振[2]是保證設(shè)備安全、穩(wěn)定運(yùn)行的關(guān)鍵。

變剛度控制是一種常用的振動(dòng)控制方法，通常可以采用電磁方法[3]、形狀記憶合金、磁流變彈性體[4]、壓電陶瓷等實(shí)現(xiàn)剛度調(diào)整。如文獻(xiàn)[5]采用電磁軸承控制轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡振動(dòng)；文獻(xiàn)[6-7]采用形狀記憶合金設(shè)計(jì)的變剛度減振來改變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛度，從而合理的避開臨界轉(zhuǎn)速區(qū)；文獻(xiàn)[8]采用壓電陶瓷改變滑動(dòng)軸承的狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)剛度的改變等。

除以上方法外，近年來永磁體逐漸被應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的減振，以永磁體為基礎(chǔ)的減振設(shè)備具有耗能小、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，因此比較適用于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的減振控制。

永磁體之間通過適當(dāng)?shù)嘏渲每梢孕纬蓜偠葯C(jī)構(gòu)，且這種機(jī)構(gòu)的剛度與磁鐵的間距有關(guān)[9]。因此，本文提出一種永磁變剛度動(dòng)力吸振器，通過調(diào)節(jié)磁鐵的間距來改變吸振器的工作頻率范圍，進(jìn)而對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)進(jìn)行控制。通過理論分析和試驗(yàn)，驗(yàn)證了該吸振器的有效性。

1 變剛度動(dòng)力吸振器結(jié)構(gòu)及模型

1.1 變剛度動(dòng)力吸振器結(jié)構(gòu)

變剛度動(dòng)力吸振器放置于轉(zhuǎn)軸之上，如圖1(a)所示。該吸振器由兩部分組成，第一部分是吸振器框架，通過對(duì)稱放置的彈簧安置于方形軸承座上，從而與轉(zhuǎn)軸相連，如圖1(b)所示；第二部分是永磁變剛度部分，分置于吸振器框架兩側(cè)，如圖1(c)所示。

理論上，當(dāng)圖1(b)所示結(jié)構(gòu)的固有頻率與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速相同時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)將完全被吸收到吸振器上。但是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速可能會(huì)發(fā)生變化，從而導(dǎo)致吸振器的效率下降。為解決此問題，可以調(diào)整永磁變剛度機(jī)構(gòu)的剛度，使吸振器的固有頻率隨轉(zhuǎn)速變化而變化。表1給出了主系統(tǒng)與吸振器的相關(guān)參數(shù)。

(a) 吸振器放置位置

(b) 吸振器框架結(jié)構(gòu)

(c) 吸振器整體結(jié)構(gòu)

參數(shù)數(shù)值參數(shù)數(shù)值主系統(tǒng)質(zhì)量m11吸振器質(zhì)量m20.1主系統(tǒng)阻尼c13吸振器阻尼c21主系統(tǒng)剛度k19吸振器剛度k22吸振器阻尼cm0吸振器剛度km可調(diào)

1.2 永磁剛度計(jì)算方法

負(fù)剛度機(jī)構(gòu)由圓形永久磁鐵產(chǎn)生，詳細(xì)原理見文獻(xiàn)[10]。這里僅做簡(jiǎn)單介紹：該結(jié)構(gòu)中的外磁鐵與吸振器框架相連，內(nèi)磁鐵通過軸承與轉(zhuǎn)軸相連。由于內(nèi)外磁鐵磁極相反，因此內(nèi)外磁鐵之間形成徑向相斥力Fy。該相斥力對(duì)內(nèi)外磁鐵徑向位移e求導(dǎo)即可以形成內(nèi)外磁鐵間的非接觸連接剛度

(1)

圖2 永磁剛度機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)

該剛度為負(fù)剛度，其大小與內(nèi)外磁鐵的間距有關(guān)系，間距大時(shí)剛度小，間距小時(shí)剛度大。文獻(xiàn)[10]的計(jì)算表明，在內(nèi)外磁鐵間距較大時(shí)產(chǎn)生的負(fù)剛度線性度較好，可以近似按線性計(jì)算。

1.3 變剛度動(dòng)力吸振器工作原理

半主動(dòng)動(dòng)力吸振器可以通過改變自身的動(dòng)力特性參數(shù)(質(zhì)量、剛度、阻尼)，使其固有頻率跟蹤主系統(tǒng)外干擾頻率，從而擴(kuò)大吸振器的有效工作范圍。本文設(shè)計(jì)的就是這樣一種可調(diào)剛度的動(dòng)力吸振器。

圖3 轉(zhuǎn)子-吸振器系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

因?yàn)槌Ｒ?guī)轉(zhuǎn)速下單盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為主要決定于第一階臨界轉(zhuǎn)速，因此將轉(zhuǎn)子-吸振器系統(tǒng)簡(jiǎn)化為圖3所示的動(dòng)力學(xué)模型，建立振動(dòng)微分方程為

(2)

式中:m1、k1和c1為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和阻尼;m2、k2和c2為吸振器框架的質(zhì)量以及彈簧的剛度和阻尼;km和cm為永磁變剛度機(jī)構(gòu)的剛度和阻尼;主質(zhì)量m1受到了幅值大小為F1的正弦激勵(lì)作用;r1和r2分別為轉(zhuǎn)子和吸振器的徑向位移;me和δ為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的偏心質(zhì)量和偏心距。ω是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速。

因?yàn)橄到y(tǒng)中阻尼一般很小，忽略阻尼后，式(2)可以簡(jiǎn)化為式(3)

(3)

由式(3)可得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)和吸振器的振幅如式(4)所示

(4)

由式(4)可以看出，只要k2+km-m2ω2=0，就有

(5)

因此可以調(diào)整永磁變剛度機(jī)構(gòu)中內(nèi)外磁鐵的間距，使系統(tǒng)實(shí)時(shí)滿足式(5)，從而達(dá)到最好吸振效果。此時(shí)，吸振器具有最佳的吸振效果。激振力的頻率滿足式(6)

(6)

若永磁式變剛度機(jī)構(gòu)的剛度變化范圍為km min～km max，根據(jù)式(7)和式(8)可以得出永磁式變剛度機(jī)構(gòu)吸收振動(dòng)頻率的最小值和最大值滿足

(7)

(8)

則通過連續(xù)改變吸振器剛度，吸振器的可在(ωmin,ωmax)頻率范圍內(nèi)有效減振。據(jù)此，我們可以得出結(jié)論：隨著外激勵(lì)的頻率ω發(fā)生變化，可以通過改變吸振器的外置磁彈簧的剛度km使得k2+km-m2ω2=0，此時(shí)主系統(tǒng)的振幅B1=0恒成立，從而可以在較寬的頻域范圍內(nèi)達(dá)到吸振的目的。

2 試驗(yàn)臺(tái)及控制策略

2.1 試驗(yàn)臺(tái)結(jié)構(gòu)

轉(zhuǎn)子-永磁變剛度吸振器試驗(yàn)臺(tái)如圖4(a)所示。實(shí)驗(yàn)臺(tái)整體二維機(jī)械圖如圖4(b)所示。吸振器(見圖4(c))通過滾動(dòng)軸承與轉(zhuǎn)子相連接，方形軸承座通過彈簧與吸振器的外框相連接，同時(shí)用緊定螺釘將內(nèi)側(cè)磁鐵固定于吸振器上來實(shí)現(xiàn)變剛度機(jī)構(gòu)的內(nèi)側(cè)磁鐵配置，外側(cè)磁鐵固定于由步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)的絲杠機(jī)構(gòu)上。

吸振器安裝在轉(zhuǎn)軸上，通過步進(jìn)電機(jī)可以調(diào)節(jié)動(dòng)靜磁鐵的間距來改變吸振器的剛度，同時(shí)依靠同步帶來保證兩電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的同步以防止驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)卡死。實(shí)驗(yàn)通過電渦流傳感器來測(cè)量轉(zhuǎn)子在豎直和水平方向的振動(dòng)信號(hào)，通過加速度傳感器測(cè)量吸振器的信號(hào)。

(a) 試驗(yàn)臺(tái)整體結(jié)構(gòu)

(b) 試驗(yàn)臺(tái)二維機(jī)械圖

(c) 吸振器結(jié)構(gòu)

圖4 轉(zhuǎn)子-永磁變剛度吸振器試驗(yàn)臺(tái)

Fig.4 Rotor-permanent magnet tunable stiffness vibration absorber test-rig

2.2 PID控制的LabView編程

永磁變剛度動(dòng)力吸振器的控制部分主要由PC機(jī)、CompactRIO系列控制卡、步進(jìn)電機(jī)及其驅(qū)動(dòng)器、永磁變剛度吸振器等組成。其中PC機(jī)用于顯示和存儲(chǔ)數(shù)據(jù)；CompactRIO系列控制卡通過編寫實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)采集、PID(Proportion Integration Differentiation)控制過程運(yùn)算并且輸出信號(hào)控制步進(jìn)電機(jī)；步進(jìn)電機(jī)通過絲杠將圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換為外磁鐵的直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)，使外磁鐵靠近或者遠(yuǎn)離，達(dá)到變剛度的目的。

理論上，如果結(jié)構(gòu)參數(shù)等能準(zhǔn)確辨識(shí)出，可以辨識(shí)出轉(zhuǎn)子工作轉(zhuǎn)速后直接調(diào)節(jié)永久磁鐵機(jī)構(gòu)的間距來達(dá)到反共振點(diǎn)。但是實(shí)際中結(jié)構(gòu)參數(shù)很難辨識(shí)的完全準(zhǔn)確，因此采用PID方法實(shí)現(xiàn)控制過程，它主要由采集硬件、控制策略、輸出硬件、執(zhí)行機(jī)構(gòu)、控制目標(biāo)等五部分組成，其流程圖如圖5所示，其中E(k)是設(shè)置的振動(dòng)閾值。

圖5 PID控制器流程圖

程序界面如圖6所示，可以直接將控制過程的振動(dòng)狀態(tài)顯示出來。

程序主要由數(shù)字濾波模塊、偏差比較及顯示模塊、方向控制模塊、鎖定模塊和PID算法控制模塊等組成。

圖6 程序界面

(1)數(shù)字濾波模塊。

數(shù)字濾波模塊主要是為了保證測(cè)得的振動(dòng)振幅的準(zhǔn)確性。通過將每個(gè)采樣周期采集到的振動(dòng)數(shù)據(jù)平均分為N份，求出每一份中的最大值作為振動(dòng)的幅值。最后將求得的N個(gè)幅值相加后除以份數(shù)N求得均值。這樣可以排除瞬間激勵(lì)對(duì)轉(zhuǎn)子振動(dòng)產(chǎn)生的擾動(dòng)，增強(qiáng)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

(2)振動(dòng)偏差比較及顯示模塊。

其功能是計(jì)算振動(dòng)的實(shí)際值與指定值之間的偏差,并實(shí)時(shí)顯示振動(dòng)幅值變化曲線。方法為將設(shè)定的振動(dòng)值與采集到的振動(dòng)值比較,其差值為振動(dòng)偏差,將此偏差作為PID控制算法的輸入。同時(shí)，將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的幅值用波形圖控件顯示出來，以便于實(shí)時(shí)觀察振動(dòng)控制效果。

(3)PID控制算法模塊。

為了方便起見，在此采用LabView中的PID模塊中自帶的PID VI，采用位置式PID算法的方式進(jìn)行編寫。該模塊的輸入量為轉(zhuǎn)子的振動(dòng)幅值與設(shè)定值之間的偏差，輸出量為脈沖個(gè)數(shù)，用來控制步進(jìn)電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)角度。同時(shí)，PID的三個(gè)參數(shù)可以通過前面板的輸入控件進(jìn)行調(diào)節(jié)，輸出信號(hào)的范圍也可以進(jìn)行設(shè)置。

通常，PID的輸出值有正負(fù)之分，但是由于系統(tǒng)采用脈沖個(gè)數(shù)來控制步進(jìn)電機(jī)的運(yùn)行位移,且脈沖的個(gè)數(shù)不能為負(fù)值,故要將PID算法得到的輸出量轉(zhuǎn)變?yōu)槊}沖個(gè)數(shù),就應(yīng)該對(duì)其取絕對(duì)值。

(4)方向控制模塊。

步進(jìn)電機(jī)的轉(zhuǎn)向可以分為正轉(zhuǎn)和反轉(zhuǎn)。電機(jī)的正反轉(zhuǎn)則由上一次采集的幅值和最新一次采集獲得的幅值相比較而獲得。倘若測(cè)得的偏差滿足E(k)-E(k-1)≤0，說明電機(jī)轉(zhuǎn)向使得轉(zhuǎn)子振動(dòng)趨于減小，則保持上一次的轉(zhuǎn)向不變；倘若測(cè)得的偏差滿足E(k)-E(k-1)≥0，說明電機(jī)轉(zhuǎn)向使得轉(zhuǎn)子振動(dòng)趨于增大，則改變電機(jī)的轉(zhuǎn)向。

為了給電機(jī)提供足夠的執(zhí)行時(shí)間，對(duì)采集到的振動(dòng)值采取了延時(shí)1 s的處理，即每隔1 s獲取一次系統(tǒng)的振動(dòng)值。僅當(dāng)振動(dòng)幅值更新時(shí)，步進(jìn)電機(jī)才啟動(dòng)執(zhí)行一次。

(5)自鎖模塊。

在實(shí)際應(yīng)用中，振動(dòng)信號(hào)的實(shí)際值不可能與設(shè)定值達(dá)到完全相等，倘若為了追求絕對(duì)的相等就會(huì)使得系統(tǒng)陷入無盡的微調(diào)而影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，此時(shí)就應(yīng)該對(duì)其設(shè)置合適的閾值。當(dāng)偏差滿足|E(k)|≤閾值時(shí)，將步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)器的自鎖控制端輸入信號(hào)T，這時(shí)系統(tǒng)將自動(dòng)忽略小于閾值的偏差，以避免步進(jìn)電機(jī)過小的微調(diào)而導(dǎo)致系統(tǒng)陷入不穩(wěn)定的狀態(tài)。

3 試驗(yàn)結(jié)果

3.1 永磁變剛度機(jī)構(gòu)有效性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證變剛度機(jī)構(gòu)減振效果，首先應(yīng)該測(cè)量不安裝任何結(jié)構(gòu)時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)信號(hào)，測(cè)得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的幅頻特性曲線如圖7所示。同理，可測(cè)得安裝變剛度機(jī)構(gòu)后，不同磁鐵間距下，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的幅頻特性曲線如圖8所示。

圖7 未加變剛度機(jī)構(gòu)Fig.7 No variable stiffness mechanism

圖8 加變剛度機(jī)構(gòu)Fig.8 Variable stiffness mechanism

由圖7可知，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的幅頻特性曲線在59 Hz左右存在一個(gè)共振峰，這個(gè)頻率就是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率。

從圖8可以看出，在增加變剛度機(jī)構(gòu)后，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率總體減小且振幅有下降的趨勢(shì)。未加變剛度機(jī)構(gòu)時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率為59 Hz，添加變剛度機(jī)構(gòu)后轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率的變化范圍為52～55 Hz。當(dāng)磁鐵間距在5～20 mm內(nèi)變化時(shí)，系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速隨磁鐵間隙的減小而減小。因此，通過安裝永磁變剛度機(jī)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)平穩(wěn)過共振。

3.2 掃頻吸振效果驗(yàn)證

其次進(jìn)行掃頻時(shí)進(jìn)行吸振效果驗(yàn)證。測(cè)得轉(zhuǎn)子-吸振器系統(tǒng)在不同磁鐵間距下的幅頻特性曲線如圖9所示。

圖9(a)為測(cè)得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)幅頻特性曲線。可以看出，隨著磁鐵的間距減小，轉(zhuǎn)子-吸振器系統(tǒng)的反共振點(diǎn)位置逐漸減小。當(dāng)磁鐵的距離由15 mm減小到5 mm時(shí)，反共振點(diǎn)的位置也由58 Hz減小到了45 Hz左右。

圖9(b)為吸振器的幅頻特性曲線。由圖可知，吸振器的幅頻特性曲線與轉(zhuǎn)子的相似，但是吸振器的振動(dòng)幅度遠(yuǎn)大于轉(zhuǎn)子的振動(dòng)。這表明吸振器吸收了大部分的振動(dòng)能量，從而使轉(zhuǎn)子的振動(dòng)降下來。

為了更為直觀的分析磁鐵間距對(duì)吸振效果的影響，圖9(c)從時(shí)域角度對(duì)其進(jìn)行了分析。可以看出，若激勵(lì)的頻率為45 Hz，系統(tǒng)在磁鐵間距為5 mm時(shí)處于反共振狀態(tài)，此時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振幅約為0.018 mm。此時(shí)，無論如何改變磁鐵的間距，系統(tǒng)的振幅都將增大。

以上試驗(yàn)分析表明，當(dāng)磁鐵的間距在有效范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，永磁變剛度動(dòng)力吸振器可以在較寬的頻率范圍內(nèi)減小轉(zhuǎn)子的振動(dòng)。

(a) 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)

(b) 吸振器

(c) 時(shí)域信號(hào)

3.3 轉(zhuǎn)子定轉(zhuǎn)速控制試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證PID控制算法對(duì)轉(zhuǎn)子-永磁變剛度吸振系統(tǒng)在45～60 Hz任意轉(zhuǎn)速下的吸振效果，下面以55 Hz為例來說明，結(jié)果如圖10和圖11所示。

圖10 PID控制過程振幅變化圖

圖11 PID控制前后時(shí)域?qū)Ρ葓D

在PID控制之前，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振幅高達(dá)1.16 mm。隨著控制過程的進(jìn)行，轉(zhuǎn)子的振幅逐漸減小。當(dāng)振幅下降到0.07 mm時(shí)，振動(dòng)達(dá)到最小值并穩(wěn)定在該處。在整個(gè)控制過程中，每當(dāng)電機(jī)啟動(dòng)的時(shí)候，轉(zhuǎn)子振動(dòng)的瞬間增大并產(chǎn)生尖銳的峰值，但是從總體上來看，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的幅值發(fā)生了較大的減小的趨勢(shì)是正確的。

為了更加直觀的看出吸振的實(shí)際效果，試驗(yàn)測(cè)試了控制前后轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的時(shí)域信號(hào)如圖11所示。在控制之前，磁鐵的間距保持3～18 mm的任意一個(gè)值，轉(zhuǎn)子振幅較大時(shí)，觀察效果明顯，調(diào)整磁鐵間距，當(dāng)振幅在1.16 mm左右時(shí)，施加控制作用，磁鐵的間距自動(dòng)進(jìn)行調(diào)整，調(diào)整后轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振幅降至0.07 mm。

由以上的分析可見，通過PID控制算法可以控制永磁變剛度吸振器調(diào)整自身的剛度來降低轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)，因而具有較寬的吸振范圍。

4 結(jié) 論

試驗(yàn)驗(yàn)證了動(dòng)力吸振器的有效性，其設(shè)計(jì)方法和理論可以為生產(chǎn)實(shí)際提供思路參考，為日后探究實(shí)用性意義打下基礎(chǔ)。本文提出了以永磁變剛度機(jī)構(gòu)作為彈性元件的動(dòng)力吸振器模型及結(jié)構(gòu)，搭建了永磁變剛度吸振器-Bently轉(zhuǎn)子試驗(yàn)臺(tái)和控制系統(tǒng)，并對(duì)吸振器的效果進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證，所得主要結(jié)論如下：

(1)固定頻率下吸振器的吸振效果測(cè)試表明永磁變剛度機(jī)構(gòu)在本吸振器中有效，可以通過調(diào)整磁鐵間距實(shí)現(xiàn)吸振器處于反共振狀態(tài)。

(2)掃頻試驗(yàn)表明，當(dāng)磁鐵的間距在有效范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，永磁變剛度動(dòng)力吸振器可以在較寬的范圍內(nèi)減小轉(zhuǎn)子的振動(dòng)。

(3)基于PID控制策略對(duì)永磁變剛度吸振器進(jìn)行控制。通過對(duì)定轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的控制實(shí)驗(yàn)可以得出結(jié)論：永磁變剛度吸振器可以在45～60 Hz內(nèi)有效降低轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)。

參 考 文 獻(xiàn)

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