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        關(guān)于辛李群若干性質(zhì)的討論

        2018-05-23 10:48:10輝,王
        通化師范學(xué)院學(xué)報 2018年6期
        關(guān)鍵詞:向量場李群同態(tài)

        曾 輝,王 娜

        辛幾何作為廣義Hamilton系統(tǒng)的理論基礎(chǔ),對研究Hamilton系統(tǒng)中的動力學(xué)性質(zhì)起到了十分重要的作用,所以引起數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家們的高度重視,并在八九十年代得到了快速發(fā)展,形成較為完整的理論體系.同時,辛幾何與李群李代數(shù)、同調(diào)論、復(fù)變函數(shù)、微分方程等數(shù)學(xué)分支有著密切的聯(lián)系.這也使得辛幾何在數(shù)學(xué)領(lǐng)域具有廣泛的發(fā)展前景.

        近年來,國內(nèi)外學(xué)者對辛幾何問題展開了研究,并取得了大量的研究成果.2001年,在辛幾何與泊松幾何引論中,賀龍光[1]研究了辛流形上的向量場及其性質(zhì).Weinstein A[2]在辛流形上探討了拉格朗日子流形問題.梅向明、賀龍光[3]在一般的實微分流形上引入一個正定、對稱的二階協(xié)變張量場,得到了黎曼流形.王寶勤等人[4]在辛流形理論基礎(chǔ)上,進一步討論了辛超流形上辛向量場的相關(guān)問題.2005年,趙麗[5]給出了辛李群的概念,并討論了辛李群上的辛向量場的相關(guān)性質(zhì).2006年,胡月宏[6]進一步討論了乘積辛李群及復(fù)辛李群的相關(guān)性質(zhì).辛李群作為李群和辛流形概念的一個自然推廣,具有很多特殊性質(zhì).本文主要通過流形間的映射來討論辛李群的相關(guān)性質(zhì),以期進一步豐富辛幾何理論.

        1 預(yù)備知識

        定義1[6]設(shè)G是C∞-李群,ω∈Λ2(G)是G上閉的非退化的2-形式,則ω為G上的辛形式或辛結(jié)構(gòu),帶有一個辛結(jié)構(gòu)的李群稱為辛李群,記為(G,ω).

        定義2[6]設(shè) (M,ωM),(N,ωN)是辛李群,辛映射?:(M,ωM)→(N,ωN)是李群同態(tài),則稱?為從(M,ωM)到(N,ωN)的辛李群同態(tài),如果?還是李群同構(gòu),則稱?是辛李群同構(gòu).

        定義3[6]辛李群(M,ωM)的左不變向量場X,若滿足LXωM=0,則稱X是(M,ωM)的辛左不變向量場.

        引理1[6]設(shè)(M,ω)是辛流形,N是光滑流形,?:M→N是微分同胚,則(N,(?*)-1ω)也是辛流形.

        引理2[6]設(shè) (M,ω)是辛流形,N,H均為光滑流形,?:M→N,ψ:N→H均為微分同胚,則為辛流形.

        引理3[2]若給定一李群M,則

        (1)存在唯一的單連通李群M~(它局部同構(gòu)于M);

        (2)覆蓋映射?:M~→M,同時是一個李群同態(tài)和局部李群同構(gòu).

        2 主要結(jié)論

        定理1 設(shè)(M,ω)是辛李群,N是光滑流形,?:M→N是微分同胚,則從M到N誘導(dǎo)出一個群結(jié)構(gòu) {N,°},使得 (N,(?*)-1ω)是一辛李群,并且M與N在?下是辛李群同構(gòu).

        證明 由引理1知(N,(?*)-1ω)是辛流形,又知?是辛映射.下面只需證明從M到N可誘導(dǎo)出一個群結(jié)構(gòu){N,°},使{N,°}成為一李群,并且M與N在?下李群同構(gòu)即可.

        規(guī)定e′=?(e)為N中單位元,?aˉ∈N,定義ˉ的逆元為 (,定義N中乘法 °為:

        封閉性:由M中 乘 法 的 封 閉 性 知于 是 ,

        結(jié)合性:由?是微分同胚知,?a,b,c∈M,使得于是,從而由M中乘法結(jié)合性知?((a·b)·c)=?(a·(b·c)),從而有, 又 ?aˉ∈N,aˉ°(aˉ)-1=從而上述取逆運算的定義是合理的.因此,N在乘法下°構(gòu)成一個群.

        下證取逆運算,乘法運算均光滑.

        (1)取逆光滑.記k:M→M為M中取逆映射,即k(a)=a-1,則k光滑,設(shè)為N中取 逆 映 射 ,則又,由?,k,?-1均光滑,知kˉ光滑.

        (2)乘法光滑.記h:M×M→M為M上乘法運算,?a,b∈M,h(a,b)=a·b,則h是光滑的,hˉ:N×N→N為N上乘法運算,即hˉ(aˉ,bˉ)=aˉ°bˉ,由?,h,?-1的光滑性知是光滑的,從而 (N,°)為一李群,(N,(?*)-1ω)為辛李群.

        (3)由N中乘法的定義,易見?是李群同構(gòu),從而?:(M,ω)→(N,(?*)-1ω)是辛李群同構(gòu).

        定理2 設(shè)(M,ω)是辛李群,N,H均為光滑流形,?:M→N,ψ:N→H均為微分同胚,則為辛李群.

        證明ψ°?:M→H為辛李群M到光滑流形H的微分同胚,由定理1知,可在H上引入李群結(jié)構(gòu),使成為辛李群.

        定理3 設(shè)?:M→N是流形間的C∞-映射,則 ?X∈χ(M),?ω∈Λ(N),有iX°φ*(ω)=φ*°iφ*(X)ω,即有iX°?*=?*°i?*(X).

        證明 當(dāng)ω=f∈Λ0(N)時,iX°φ*ω=iX°φ*f=iX(f°φ)=0 ,φ*°iφ*(X)ω=φ*(iφ*(X)f)=φ*(0)=0 ;當(dāng)ω∈Λ1(N)時,iX°φ*ω=φ*ω(X)=ω( )φ*(X) °φ=φ*(ω(φ*(X)) )=φ*°iφ*(X)ω;當(dāng)ω∈ Λk(N)(2≤k≤dimN)時,?Z1,Z2,…,Zk-1∈χ(M),則iX°φ*ω(Z1,…,Zk-1)=φ*ω(X,Z1,…,Zk-1)=ω(φ*(X),φ*(Z1),…,φ*(Zk-1))=iφ*(X)ω(φ*(Z1) ,… ,φ*(Zk-1))=φ*°iφ*(X)ω(Z1,…,Zk-1).此即iX°?*=?*°i?*(X).

        定理4 設(shè)?:M→N是流形間的光滑映射,?X∈χ(M),?ω∈Λ(N),則LXφ*(ω)=φ*°Lφ*(X)ω,即LX°φ*=φ*°Lφ*(X).

        證明 由定理3知,iX°?*=?*°i?*(X),于是對于?ω∈Λ(N)有

        即LX°?*=?*°L?*(X).

        推論1 設(shè)?:(M,ωM)→(N,ωN)是辛流形間的局部辛微分同胚,則?*把M上的辛向量場映為N上的辛向量場.

        證明 由?是局部辛微分同胚知,φ*(ωN)=ωM,且 kerφ*=0 ,于 是 ?X∈S(M,ωM)有LXωM=0,又由定理 4,LX°?*=?*°L?*(X),故LXωM=LX?*(ωN)=?*°L?*(X)ωN=0,又 kerφ*=0 ,從而L?*(X)ωN=0,即?*(X)∈S(N,ωN).

        定義4 設(shè)(M,ωM)和(N,ωN)是辛李群,辛映射?:(M,ωM)→(N,ωN)是局部李群同態(tài),則稱?是從(M,ωM)到(N,ωN)的局部辛李群同態(tài),如果?還是局部李群同構(gòu),則稱?是局部辛李群同構(gòu).

        推論2 設(shè)?:(M,ωM)→(N,ωN)是辛李群同態(tài),又是局部辛李群同構(gòu),則?*把辛向量場映為辛向量場,把左不變向量場映為左不變向量場,從而把辛左不變向量場映為辛左不變向量場.

        證明 由推論1知,只需證?*把左不變向量場映為左不變向量場.任取M上的左不變向量場X,有 (lσ)*(X)=X,(?σ∈M).則由?是辛李群同態(tài)有φ°lσ=lφ(σ)°φ,從而

        即?*(X)是N上左不變向量場.

        定理5 設(shè)(M,ω)是一辛李群,則必存在單連通的辛李群連通的辛李群(其中,使得覆蓋映射→(M,ω)是辛李群同態(tài)和局部辛李群同構(gòu).

        證明 由引理3知,存在唯一的單連通李群,使得覆蓋映射?:→M是李群同態(tài)和局部李群同構(gòu),又(?-1)*(ω~)=(?*)-1°?*(ω)=ω知?為辛映射,因此只需證明=?*(ω)是上的閉的、非退化的2-形式即可.

        由 于即為閉的2-形式.?p∈,下證 ker=0.由于有

        由于?是覆蓋映射,從而?是局部微分同胚,從而?*是同構(gòu),于是由的任意性知,可充滿T?(p)(M),又由ω的非退化性知而?*是 同 構(gòu) ,于 是 有從而 ker=0 ,即是非退化的.

        3 結(jié)語

        本文討論了辛映射、微分同胚對辛李群及其辛向量場的作用,得到了一系列較好的結(jié)果,但還有很多問題有待進一步研究,如辛李群子群問題、群胚問題以及其上的Casimir函數(shù)問題等.

        [1]賀龍光.辛幾何與泊松幾何引論[M].北京:首都師范大學(xué)出版社,2001.

        [2]Weinstein A.Symplectic manifolds and their La?grange submanifolds[J].Adv in Math,1971(6):329-346.

        [3]梅向明,賀龍光.微分流形與黎曼幾何[M].北京:北京師范學(xué)院出版社,1987.

        [4]王寶勤,曾輝.有關(guān)兩類辛超流形上的辛向量場[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報,2011,31(3):845-855.

        [5]趙麗,曾輝,王寶勤.有關(guān)辛李群[J].新疆師范大學(xué)學(xué)報,2005,24(2):1-3.

        [6]胡月宏.有關(guān)辛李群和微分動力系統(tǒng)的討論[D].新疆:新疆師范大學(xué),2006.

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