萬廣磊

統(tǒng)計(jì)與概率是初中必學(xué)的重要知識，在中考數(shù)學(xué)試卷上占總分值的12%～15%，一般包括1～2道的選擇題或填空題和1～2道解答題.對于解答題，得分率并不是想象中那么好.究其原因，同學(xué)們解答時(shí)不規(guī)范的表達(dá)失分比較嚴(yán)重.

下面以幾道中考解答題為例，分析如何規(guī)范解答，確保不意外失分.

一、求平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)

例1（2017·天津）某跳水隊(duì)為了解運(yùn)動(dòng)員的年齡情況，作了一次年齡調(diào)查，根據(jù)跳水運(yùn)動(dòng)員的年齡（單位：歲），繪制出如下的統(tǒng)計(jì)圖.請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：

（1）本次接受調(diào)查的跳水運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為_____，m的值為_______；

（2）求統(tǒng)計(jì)的這組跳水運(yùn)動(dòng)員年齡數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù).

【分值安排】本題滿分8分.第（1）問每空1分，共2分；第（2）問求平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)三個(gè)量，每個(gè)量（有解答過程）2分，共6分.

【思路分析】本題主要考查扇形統(tǒng)計(jì)圖、條形統(tǒng)計(jì)圖和加權(quán)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)，解題的關(guān)鍵是能把兩種圖結(jié)合并尋找數(shù)量關(guān)系.（1）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖中的每個(gè)小組中的人數(shù)確定數(shù)據(jù)的總數(shù)；根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖中各個(gè)扇形的百分比之和等于1，求出m的值.（2）直接根據(jù)加權(quán)平均數(shù)公式求出平均數(shù)；根據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)確定眾數(shù)；由于條形統(tǒng)計(jì)圖中各個(gè)數(shù)據(jù)已按照從小到大的順序排列，所以可直接根據(jù)數(shù)據(jù)總數(shù)的個(gè)數(shù)確定中位數(shù)的值.

【規(guī)范解答】解：（1）4+10+11+12+3=40（人），1-27.5%-25%-10%-7.5%=30%，所以本次接受調(diào)查的跳水運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為40人，m的值為30；

（2）

∴數(shù)據(jù)的平均數(shù)為15.

∵在這組數(shù)據(jù)中，16出現(xiàn)了12次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為16.

∵本組數(shù)據(jù)為40個(gè)數(shù)據(jù)，

∴中位數(shù)為第20個(gè)和第21個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從條形圖可以看出，第20個(gè)數(shù)據(jù)為15，第21個(gè)數(shù)據(jù)為15，

∴中位數(shù)為

【易錯(cuò)點(diǎn)津】本題的易錯(cuò)點(diǎn)有兩個(gè)：①在求中位數(shù)時(shí)，忘記對數(shù)據(jù)進(jìn)行排序計(jì)數(shù)；②在求平均數(shù)時(shí)，利用算術(shù)平均數(shù)求解，而未用加權(quán)平均數(shù)求解.

【規(guī)律歸納】找中位數(shù)時(shí)要把數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，位于最中間的一個(gè)數(shù)（或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）為中位數(shù).當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，中位數(shù)即為中間的一個(gè)；當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，中位數(shù)就是中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù).

眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不止一個(gè).例如：在數(shù)據(jù)1，1，2，2，3，4，5中，眾數(shù)有兩個(gè)，它們是1和2.一組數(shù)據(jù)也可能沒有眾數(shù).例如：在數(shù)據(jù)1，2，3，4，5，6中就不存在眾數(shù).

求平均數(shù)的問題大致分為兩類：①算術(shù)平均數(shù)：x1，x2，…，xn的平均數(shù)+xn）；②加權(quán)平均數(shù)：n個(gè)數(shù)中，x1出現(xiàn)f1次，x2出現(xiàn)f2次，…，xk出現(xiàn)fk次，f1+f2+…+fk=n，平均數(shù)

二、完整圖表信息，估算總體

例2（2017·杭州）為了了解某校九年級學(xué)生的跳高水平，隨機(jī)抽取該年級50名學(xué)生進(jìn)行跳高測試，并把測試成績繪制成如圖所示的頻數(shù)表和未完成的頻數(shù)直方圖（每組含前一個(gè)邊界值，不含后一個(gè)邊界值）.

某校九年級50名學(xué)生跳高測試成績的頻數(shù)表

某校九年級50名學(xué)生跳高測試成績的頻數(shù)直方圖

（1）求a的值，并把頻數(shù)直方圖補(bǔ)充完整；

（2）該年級共有500名學(xué)生，估計(jì)該年級學(xué)生跳高成績在1.29（含1.29）以上的人數(shù).

【分值安排】本題滿分6分.第（1）問4分，求對a的值，補(bǔ)圖正確各得2分；第（2）問用樣本估計(jì)總體，正確得2分.

【思路分析】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖、頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表和用樣本估計(jì)總體，解題的關(guān)鍵是從統(tǒng)計(jì)圖中獲取信息解決問題.（1）用50分別減去頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表中給出的另外三個(gè)組別的數(shù)據(jù)即可求出a的值，并且根據(jù)求得的a的值把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充好.（2）先求出統(tǒng)計(jì)的50名學(xué)生中跳高成績在1.29m（含1.29m）以上所占的比例，然后再乘總?cè)藬?shù)500即可求解.

【規(guī)范解答】解：（1）a=50-（8+12+10）=20.補(bǔ)全頻數(shù)直方圖，如圖：

某校九年級50名學(xué)生跳高測試成績的頻數(shù)直方圖

（2）因?yàn)樗栽撃昙墝W(xué)生跳高成績在1.29m（含1.29m）以上的人數(shù)是300人.

【易錯(cuò)點(diǎn)津】本題的易錯(cuò)點(diǎn)是不能區(qū)分兩個(gè)圖表的意義或是看錯(cuò)表格和條形圖的對應(yīng)關(guān)系.

三、根據(jù)方差判斷結(jié)果，計(jì)算概率

例3（2017·濱州）為了考察甲、乙兩種成熟期小麥的株高長勢狀況，現(xiàn)從中各隨機(jī)抽取6株，并測得它們的株高（單位：cm）如下表所示：

61 63甲 乙63 63 66 65 63 60 61 63 64 64

（1）請分別計(jì)算表內(nèi)各組數(shù)據(jù)的方差，并借此比較哪種小麥的株高長勢比較整齊.

（2）現(xiàn)將進(jìn)行兩種小麥優(yōu)良品種雜交試驗(yàn)，需從表內(nèi)的甲、乙兩種小麥中，各隨機(jī)抽取一株進(jìn)行配對，以預(yù)估整體配對狀況.請你用列表法或畫樹狀圖的方法，求所抽取的兩株配對小麥株高恰好都等于各自平均株高的概率.

【分值安排】本題滿分9分.第（1）問5分，求對甲、乙的方差各得2分，正確判斷得1分；第（2）問4分，列表或者畫樹狀圖得3分，計(jì)算概率正確得1分.

【思路分析】本題考查了數(shù)據(jù)的方差的實(shí)際應(yīng)用，以及用列表法或畫樹形圖法求概率.（1）先求平均數(shù)，再求方差；（2）因?yàn)槊糠N情況有多個(gè)，所以選取列表法求概率（這樣簡單些）.

【規(guī)范解答】解：

∴乙種小麥的株高長勢比較整齊.

（2）列表如下：

63 65 60 63 64 63（63，63）（63，63）（63，65）（63，60）（63，63）（66，65）（66，63）63 66 63 61 64 61（66，60）（66，63）（66，63）（63，63）（63，65）（63，64）（63，60）（63，63）（63，63）（63，64）（61，60）（61，63）（61，65）（61，63）（66，64）（61，63）（61，64）（64，63）（64，65）（64，60）（64，63）（64，64）（64，63）（61，63）（61，65）（61，60）（61，63）（61，64）（61，63）

因?yàn)楣灿?6種等可能的結(jié)果，其中小麥株高恰好都等于各自平均株高的結(jié)果有6種，所以所抽取的兩株配對小麥株高恰好都等于各自平均株高的概率

【易錯(cuò)點(diǎn)津】本題的易錯(cuò)點(diǎn)是列表時(shí)將甲、乙兩種小麥里高度相同的作為一種情況對待.

四、計(jì)算事件發(fā)生概率

例4（2017·徐州）一個(gè)不透明的口袋中裝有4張卡片，卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，-3，-5，7，這些卡片除數(shù)字外都相同.小芳從口袋中隨機(jī)抽取一張卡片，小明再從剩余的三張卡片中隨機(jī)抽取一張.請你用畫樹狀圖或列表的方法，求兩人抽到的數(shù)字符號相同的概率.

【分值安排】本題滿分7分，列表或者畫樹狀圖得4分，計(jì)算概率得2分，正確作答得1分.

【思路分析】本題考查了概率的意義及計(jì)算方法，解題的關(guān)鍵是能分析或列舉出所有等可能的結(jié)果.先利用畫樹狀圖或列表的方法分析出所有等可能的結(jié)果數(shù)，再利用等可能條件下概率的計(jì)算公式即可求出甲勝出的概率.

【規(guī)范解答】解：列樹狀圖如下：

因?yàn)樗械瓤赡艿慕Y(jié)果數(shù)為12，數(shù)字符號相同的結(jié)果數(shù)為4，所以兩人抽到的數(shù)字符號相同的概率為

【易錯(cuò)點(diǎn)津】本題的易錯(cuò)點(diǎn)是沒有按照條件畫樹狀圖或列表，造成所有可能結(jié)果及符合條件的結(jié)果數(shù)有遺漏或重復(fù).

【規(guī)律歸納】求一件事發(fā)生的概率通常用列表法或樹狀圖法.列表法與樹狀圖法都可以不重復(fù)不遺漏地列出所有可能的結(jié)果.列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.

五、完善圖表信息，計(jì)算概率

例5（2017·蘇州）初一（1）班針對“你最喜愛的課外活動(dòng)項(xiàng)目”對全班學(xué)生進(jìn)行調(diào)查（每名學(xué)生分別選一個(gè)活動(dòng)項(xiàng)目），并根據(jù)調(diào)查結(jié)果列出統(tǒng)計(jì)表，繪制成扇形統(tǒng)計(jì)圖.

男、女生所選項(xiàng)目人數(shù)統(tǒng)計(jì)表

學(xué)生所選項(xiàng)目人數(shù)扇形統(tǒng)計(jì)圖

根據(jù)以上信息，解決下列問題：

（1）m=_______，n=_______；

（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中機(jī)器人項(xiàng)目所對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為_______°；

（3）從選航模項(xiàng)目的4名學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生參加學(xué)校航模興趣小組訓(xùn)練，請用列舉法（畫樹狀圖或列表）求所選取的2名學(xué)生中恰好有1名男生、1名女生的概率.

【分值安排】本題滿分8分.第（1）問2分，求對m、n的值各得1分；第（2）問2分；第（3）問列表或者畫樹狀圖得2分，計(jì)算概率正確得2分.

【思路分析】本題將概率和統(tǒng)計(jì)結(jié)合起來考查同學(xué)們的識圖能力，以及對圖中數(shù)據(jù)的處理能力，解題的關(guān)鍵是讀懂統(tǒng)計(jì)圖的信息.（1）根據(jù)航模項(xiàng)目的人數(shù)和所占的百分?jǐn)?shù)就可以求總?cè)藬?shù)，再確定3D打印項(xiàng)目的人數(shù)，然后依次可以得出要求的人數(shù)和所占的百分比.（2）用機(jī)器人項(xiàng)目的人數(shù)所占的百分?jǐn)?shù)乘360°即可得到圓心角.（3）把所有可能性用樹狀圖或表格列出來，可以求得概率.

【規(guī)范解答】解：（1）m=8，n=3.（2）144.

（3）將選航模項(xiàng)目的2名男生編上號碼1、2，將2名女生編上號碼3、4.用表格列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：______________________

第二個(gè)第一個(gè)1 2______1______2______3______4（1，2）3 4（2，1）_______（3，1）（4，1）（1，3）（2，3）（3，2）_______（4，2）（4，3）_______（1，4）（2，4）（3，4）

由表格可知，共有12種可能出現(xiàn)的結(jié)果，并且它們都是等可能的，其中“1名男生、1名女生”有8種可能.所以P（恰好有1名男生、1名女生）如用樹狀圖，酌情相應(yīng)給分）

【方法歸納】在列表法與樹狀圖法不重復(fù)不遺漏地列出所有可能的結(jié)果后，觀察圖表，在m個(gè)等可能的情況中，某件事發(fā)生的可能性有n個(gè)，則該事件發(fā)生的概率是