康海芯

同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)與概率時(shí)，由于認(rèn)知水平、理解水平的不同，解題過(guò)程中往往會(huì)出現(xiàn)這樣或者那樣的錯(cuò)誤.本文將結(jié)合同學(xué)們?cè)诮y(tǒng)計(jì)與概率中出現(xiàn)的一些錯(cuò)誤來(lái)進(jìn)行分析，以達(dá)到正本清源的目的.

易錯(cuò)點(diǎn)一：混淆了全面調(diào)查與抽樣調(diào)查

例1指出下列調(diào)查運(yùn)用哪種調(diào)查方式合適.

（1）為了了解全班學(xué)生中觀看《全家總動(dòng)員》這一節(jié)目的人數(shù)作的調(diào)查；

（2）為了了解中學(xué)生的身體發(fā)育情況，對(duì)全國(guó)八年級(jí)男生的身高情況作的調(diào)查；

（3）為了了解一批藥物的藥效持續(xù)時(shí)間作的調(diào)查；

（4）為了了解全國(guó)的“禽流感”疫情作的調(diào)查.

【錯(cuò)解展示】（2）、（3）、（4）用抽樣調(diào)查的方式合適，（1）用全面調(diào)查的方式合適.

【錯(cuò)因剖析】要調(diào)查全班學(xué)生中觀看《全家總動(dòng)員》這一節(jié)目的人數(shù)，由于調(diào)查范圍很小，因此，用全面調(diào)查的方式合適；要調(diào)查全國(guó)八年級(jí)男生的身高情況，由于調(diào)查范圍太大，實(shí)現(xiàn)的可能性極小，加之對(duì)調(diào)查結(jié)果的精確度要求并不是太高，因此，用抽樣調(diào)查的方式合適；要了解一批藥物的藥效持續(xù)時(shí)間，全面調(diào)查具有破壞性，因此，適合抽樣調(diào)查；全國(guó)的“禽流感”疫情關(guān)系到國(guó)計(jì)民生，即使調(diào)查代價(jià)很大，也要采取全面調(diào)查的方式.

【正解】（1）、（4）用全面調(diào)查的方式合適，（2）、（3）用抽樣調(diào)查的方式合適.

易錯(cuò)點(diǎn)二：樣本的抽取缺乏代表性

例2制訂本市七、八、九年級(jí)學(xué)生校服的生產(chǎn)計(jì)劃，有關(guān)部門準(zhǔn)備對(duì)200名初中男生的身高作調(diào)查，現(xiàn)有三種方案：

（1）測(cè)量體校中200名男子籃球、排球隊(duì)員的身高；

（2）查閱有關(guān)外地200名男生身高的統(tǒng)計(jì)資料；

（3）在本市的市區(qū)和郊區(qū)各任選三所初級(jí)中學(xué)，在這六所學(xué)校所有的年級(jí)（1）班中，用抽簽的方法分別選出15名男生，然后測(cè)量他們的身高.

【錯(cuò)解展示】方案（2）比較合理.

【錯(cuò)因剖析】在統(tǒng)計(jì)中，收集數(shù)據(jù)時(shí)采用隨機(jī)抽樣的方法所抽取的數(shù)據(jù)才具有代表性.（1）體校運(yùn)動(dòng)員身高可能高于一般學(xué)生，樣本選取比較特殊，所以這樣的樣本不具有代表性；（2）外地學(xué)生的身高不能準(zhǔn)確反映本地學(xué)生身高的實(shí)際情況；（3）中的抽樣方法符合隨機(jī)抽樣，而且樣本的代表性很強(qiáng).

【正解】方案（3）比較合理.

易錯(cuò)點(diǎn)三：不能正確理解總體和樣本的概念

例3為了了解一批電視機(jī)的壽命，從中抽取100臺(tái)電視機(jī)進(jìn)行試驗(yàn).這個(gè)問(wèn)題的樣本是（ ）.

A.這批電視機(jī)

B.這批電視機(jī)的壽命

C.抽取的100臺(tái)電視機(jī)

D.抽取的100臺(tái)電視機(jī)的壽命

【錯(cuò)解】選C.

【剖析】在表達(dá)總體和樣本時(shí)，不僅要指出調(diào)查對(duì)象的數(shù)量，而且還要指出調(diào)查對(duì)象的屬性.錯(cuò)解中只指出了樣本的數(shù)量，而沒(méi)有指出樣本的屬性，即電視機(jī)的壽命.

【正解】選D.

易錯(cuò)點(diǎn)四：獲取統(tǒng)計(jì)圖信息時(shí)發(fā)生錯(cuò)誤

例4 甲、乙兩家汽車銷售公司根據(jù)近幾年的銷售量，分別制作如下統(tǒng)計(jì)圖.

從2013年到2017年，這兩家公司中銷售量增長(zhǎng)較快的是________.

【錯(cuò)解】乙公司.

【剖析】這道題若從統(tǒng)計(jì)圖上直接觀察，很容易得到乙公司銷售量增長(zhǎng)較快的結(jié)論，但實(shí)際上不是這樣，仔細(xì)觀察統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，甲公司從2013年到2017年銷售量大約從200輛增加到520輛；而乙公司從2013年到2017年銷售量從200輛增加到400輛，由此可以判斷甲公司銷售量增長(zhǎng)較快.

【正解】甲公司.

易錯(cuò)點(diǎn)五：混淆加權(quán)平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)

例5商店有兩種蘋果，一種單價(jià)為3.6元/千克，另一種單價(jià)為4元/千克.如果媽媽買了第一種蘋果2千克，買了第二種蘋果3千克，那么媽媽所買蘋果的平均價(jià)格是多少元？

【錯(cuò)解】所買蘋果的平均價(jià)格是（3.6+4）÷2=3.8（元）.

【剖析】由于購(gòu)買蘋果的單價(jià)不同，數(shù)量也不同，即每個(gè)數(shù)據(jù)的“權(quán)“也不同，所以不能通過(guò)直接求單價(jià)的平均數(shù)的方法計(jì)算所買蘋果的均價(jià).而應(yīng)用買兩種蘋果的總價(jià)錢除以所買蘋果總質(zhì)量.即把購(gòu)買的不同價(jià)格的蘋果數(shù)量作為權(quán)，利用加權(quán)平均數(shù)來(lái)計(jì)算平均價(jià)格.

【正解】所買蘋果的平均價(jià)格為

易錯(cuò)點(diǎn)六：求眾數(shù)，誤將次數(shù)當(dāng)作眾數(shù)

例6隨機(jī)抽取某城市2017年中30天的日平均氣溫狀況統(tǒng)計(jì)如下，求該組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

31 4溫度/℃__天數(shù)/天___12__2___15__3___17__3___24__5___26__7___30 6

【錯(cuò)解】日平均氣溫為26℃出現(xiàn)了7天，出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是7.

【剖析】眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，是一組數(shù)據(jù)中的原數(shù)據(jù)，而不是相應(yīng)的次數(shù).本題抽查是氣溫的狀況，所以原數(shù)據(jù)應(yīng)是溫度，而不是天數(shù).

【正解】因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)中，26℃出現(xiàn)了7天，出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為26℃.

易錯(cuò)點(diǎn)七：求中位數(shù)忘記排序

例7求一組數(shù)據(jù)2，3，1，4，3，3，4，8的中位數(shù).

【錯(cuò)解】這組數(shù)據(jù)共8個(gè)，處于中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)是4，3，它們的平均數(shù)是3.5，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3.5.

【剖析】中位數(shù)的計(jì)算方法是：將一組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于最中間位置的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則處于最中間位置的兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).錯(cuò)解沒(méi)有將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列.

【正解】將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：1，2，3，3，3，4，4，8.處于最中間位置的兩個(gè)數(shù)為3，3，它們的平均數(shù)為3，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為3.

易錯(cuò)點(diǎn)八：不能理解方差的意義

例8 從甲、乙兩位車工加工的零件中，各抽取了8件，量得直徑尺寸如下：（單位：mm）

甲：35.01 35.03 35.05 34.98 34.96 35.00 35.02 34.95

乙：35.04 34.99 34.97 35.00 35.03 35.01 34.99 35.01

問(wèn)：誰(shuí)加工的零件更接近35mm？

【錯(cuò)解】經(jīng)計(jì)算可求得35.005mm，所以甲加工的零件更接近35mm.

【剖析】錯(cuò)解沒(méi)有正確理解平均數(shù)和方差的意義，誤認(rèn)為誰(shuí)的平均數(shù)接近35mm，誰(shuí)的零件尺寸就接近35mm.事實(shí)上，他們的平均數(shù)與35mm相差非常小，這時(shí)應(yīng)該比較他們的方差，方差越小，數(shù)據(jù)波動(dòng)也越小，說(shuō)明零件尺寸越接近其平均數(shù).

【正解】經(jīng)計(jì)算可求得35.005mm，s甲2=0.00105，s乙2=0.00045.因?yàn)樗麄兊钠骄鶖?shù)相差非常小，且S甲2＞S乙2，所以乙加工的零件更接近35mm.

易錯(cuò)點(diǎn)九：混淆“不可能”“必然”和“可能”事件

例9買一張福利彩票，中了特等獎(jiǎng)，這個(gè)事件是________事件（填“可能發(fā)生”或“不可能發(fā)生”）.

【錯(cuò)解】不可能發(fā)生.

【剖析】錯(cuò)解產(chǎn)生的原因是不能正確地區(qū)分“不可能”和“可能”，把發(fā)生機(jī)會(huì)很小的不太可能發(fā)生的事件認(rèn)為是不可能事件.事實(shí)上雖然買一張福利彩票中特等獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)很小，但它也是可能發(fā)生的，屬于隨機(jī)事件.

【正解】可能發(fā)生.

易錯(cuò)點(diǎn)十：對(duì)概率的概念理解不透徹

例10買彩票中獎(jiǎng)的概率是買100張彩票是否能中獎(jiǎng)？

【錯(cuò)解】一定會(huì)中獎(jiǎng).

【剖析】中獎(jiǎng)的概率為1%并不是指每購(gòu)買100張就一定有1張能中獎(jiǎng).如果是每100張就有1張中獎(jiǎng)，那買100張就一定中獎(jiǎng)是沒(méi)錯(cuò)；如果是每1000張有10張中獎(jiǎng)，則中獎(jiǎng)的概率也是1%，但此時(shí)不能中獎(jiǎng)的還有990張，所以買的100張可能是沒(méi)有獎(jiǎng)的這990張中的100張.因此，即使買990張也不能保證一定能中獎(jiǎng)，因?yàn)橘I的每一張彩票是否中獎(jiǎng)仍然是不確定事件.

【正解】不一定會(huì)中獎(jiǎng).

易錯(cuò)點(diǎn)十一：對(duì)問(wèn)題思考不全面

例11任意擲一枚均勻的硬幣兩次，求兩次都是正面的概率.

【錯(cuò)解】擲硬幣兩次的所有可能的結(jié)果為（正，正），（正，反）和（反，反）三種情況，所以兩次都是正面的概率是

【剖析】本題的錯(cuò)誤在于遺漏了事件所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，注意（正，反）和（反，正）是等可能出現(xiàn)的，是兩種不同的情況，而不是一種情況.

【正解】擲硬幣兩次的所有可能的結(jié)果為（正，正），（正，反），（反，正）和（反，反）四種情況，所以兩次都是正面的概率是

易錯(cuò)點(diǎn)十二：對(duì)事物發(fā)生的概率理解不透

例12小明和小強(qiáng)做游戲，袋子中有3個(gè)乒乓球，3個(gè)壘球，兩人任意摸出一球.（摸出后將球放回）摸到乒乓球則小明勝，摸到壘球則小強(qiáng)勝，這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？

【錯(cuò)解】由于袋子中有3個(gè)乒乓球、3個(gè)壘球共6個(gè)球，則P（摸到乒乓球）P（摸到壘球），所以游戲公平.

【剖析】此游戲?qū)﹄p方不公平.乒乓球和壘球本身質(zhì)地、手感、大小都是不同的，這就不能保證摸球結(jié)果的隨機(jī)性.

【正解】游戲不公平.