吳小兵

因?yàn)辄c(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，討論三角形能否成為直角三角形問題，是中考試卷的考查熱點(diǎn).解決這類問題時(shí)，我們常常需要分三種情況討論，即究竟哪個(gè)角是直角.

一、構(gòu)造一線三等角，借用相似解決問題

例1如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，以BC為一邊，點(diǎn)O為對稱中心作菱形BDEC，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q.

（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo).

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l分別交BD、BC于點(diǎn)M、N.試探究m為何值時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形，此時(shí)，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由.

（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使△BDQ為直角三角形，若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

圖1

【思路點(diǎn)撥】

1.第（2）題先用含m的式子表示線段MQ的長，再根據(jù)MQ=DC列方程.

2.第（2）題要判斷四邊形CQBM的形狀，最直接的方法就是根據(jù)求得的m的值畫一個(gè)準(zhǔn)確的示意圖，先得到結(jié)論.

3.第（3）題△BDQ為直角三角形要分兩種情況求解，一般過直角頂點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線可以構(gòu)造相似三角形.

【解答過程】（1）由

（2）直線DB的解析式為

如圖2，由點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），可得M

所以

當(dāng)MQ=DC=8時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形.

圖2

解方程得m=4或m=0（舍去）.

如圖3，此時(shí)點(diǎn)P是OB的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，N（4，-2），Q（4，-6）.

所以MN=NQ=4，所以BC與MQ互相平分，

所以四邊形CQBM是平行四邊形.

圖3

（3）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

①如圖4，當(dāng)∠DBQ=90°時(shí)，

所以

解得x=6.此時(shí)Q（6，-4）.

圖4

②如圖5，當(dāng)∠BDQ=90°時(shí)，所以

解得x=-2.此時(shí)Q（-2，0）.

圖5

【技巧說明】討論直角的時(shí)候，通常題目討論的直角三角形的兩條直角邊并不與坐標(biāo)軸平行，這時(shí)我們可構(gòu)造如圖6的基本圖形，將討論∠ACB是不是直角，轉(zhuǎn)化為討論△ACF與△CBE是否相似.將對斜著的線段AC、CB的討論，轉(zhuǎn)化為對平行于坐標(biāo)軸的線段AF、CF、CE、BE的討論.

圖6

二、借用直徑所對的圓周角是直角，討論三角形有沒有可能是直角三角形

例2在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)與二次函數(shù)y=k（x2+x-1）的圖像交于點(diǎn)A（1，k）和點(diǎn)B（-1，-k）.

（1）當(dāng)k=-2時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式；

（2）要使反比例函數(shù)在每個(gè)象限內(nèi)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大，求k應(yīng)滿足的條件以及x的取值范圍；

（3）設(shè)二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)為Q，當(dāng)△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時(shí)，求k的值.

【思路點(diǎn)撥】

1.由點(diǎn)A（1，k）或點(diǎn)B（-1，-k）的坐標(biāo)可以知道，反比例函數(shù)的解析式就是.題目中的k都是一致的.

2.由點(diǎn)A（1，k）或點(diǎn)B（-1，-k）的坐標(biāo)還可以知道，A、B關(guān)于原點(diǎn)O對稱，以AB為直徑的圓的圓心就是O.

3.根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，當(dāng)Q落在⊙O上時(shí)，△ABQ是以AB為直徑的直角三角形.

【解答過程】（1）因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖像過點(diǎn)A（1，k）與B（-1，-k），所以反比例函數(shù)的解析式是

當(dāng)k=-2時(shí)，反比例函數(shù)的解析式是

（2）在反比例函數(shù)中，在每個(gè)象限內(nèi)，如果y隨x增大而增大，那么k＜0.

當(dāng)k＜0時(shí)，拋物線的開口向下，在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而增大.

圖7

拋物線的對稱軸是直線

所以當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)在每個(gè)象限內(nèi)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大，如圖7.

（3）拋物線的頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)是A、B關(guān)于原點(diǎn)O中心對稱，當(dāng)OQ=OA=OB時(shí)，△ABQ是以AB為直徑的⊙O的內(nèi)接直角三角形.

由OQ2=OA2，得

解得（如圖8），（如圖9）.

圖8

圖9

【技巧說明】如圖8，要判定∠AQB=90°，只需保證OQ=OA=OB即可，因?yàn)楫?dāng)OB=OQ，OA=OQ時(shí)，∠A=∠OQA，∠OBQ=∠OQB，即可證明∠AQB=90°.這也是直角三角形常用的判定方法之一.

當(dāng)然，討論直角三角形的時(shí)候，如果能設(shè)出三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，也可以利用兩點(diǎn)間距離公式分別求出三角形三邊長，如果兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形也是直角三角形.