胡津容，張 雷

（重慶交通大學(xué)，重慶 400074）

參考文獻(xiàn)分析了單種群離散Logistic模型的穩(wěn)定性，本文在此基礎(chǔ)上通過Lyapunov定理分析離散Logistic方程的穩(wěn)定性并加以證明，并通過數(shù)值仿真使離散Logistic方程的穩(wěn)定性更加清晰。

離散Logistic方程的形式為：

式（1）中：xn表示在n時(shí)刻生物種群的數(shù)量。

式（1）的差分形式為xn+1=f（xn），函數(shù)f連續(xù)且滿足關(guān)系為xn+1→axn（1－xn）。由于種群數(shù)量是非負(fù)的，因此，xn的取值范圍為[0，1]，為了使式（1）對(duì)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性有理論上的意義，本文假設(shè)a的取值范圍為[0，4]。

為了分析式（1）的穩(wěn)定性，介紹以下引理。

1 引理

1.1 平衡點(diǎn)

如果在系統(tǒng)xn+1=f（xn）中，存在某點(diǎn)x*，并滿足方程x*=f（x*），則稱x*是系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。

1.2 全局漸近穩(wěn)定性

如果x*=0是系統(tǒng)xn+1=f（xn）的平衡狀態(tài)，且當(dāng)n→∞時(shí)，系統(tǒng)的每個(gè)解都收斂于x*=0，則此平衡狀態(tài)是全局漸近穩(wěn)定的。

1.3 漸近穩(wěn)定性

如果x*是系統(tǒng)xn+1=f（xn）的平衡態(tài)，且滿足|f′（x*）|＜1，則系統(tǒng)的解最終會(huì)趨于一條水平線，則此平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。

2 主要結(jié)果與證明

根據(jù)上述平衡點(diǎn)的定義，令x*=ax*（1－x*），從而可得到式（1）的平衡點(diǎn)為 x（1）=0，x（2）=1－.通過改變參數(shù)a的值，從而可分析式（1）在不同參數(shù)a下的穩(wěn)定性。

當(dāng)a∈（0，1]時(shí)，式（1）只有平衡點(diǎn)x（1）=0，且在區(qū)間[0，1]是全局漸近穩(wěn)定的。

當(dāng) a∈（0，1]時(shí)，x（2）∈（－∞，0]，因此平衡點(diǎn) x（2）在式（1）中是不存在的，式（1）只有x（1）這1個(gè)平衡點(diǎn)。平衡點(diǎn)x（1）=0在區(qū)間[0，1]上是全局漸近穩(wěn)定的，根據(jù)引理以及Lyapunov第二方法取Lyapunov函數(shù)V（xn）=xn2，可知V（xn）在平衡點(diǎn)之外滿足V（xn）＞0，所以，V（xn）是正定的。

由于本文研究的對(duì)象是離散系統(tǒng)，因此，對(duì)Lyapunov函數(shù)V（xn）進(jìn)行差分運(yùn)算，令：

從而計(jì)算△V（xn）關(guān)于xn的導(dǎo)數(shù)，并將上式代入得到：

其中：

將式（1）和式（4）代入等式（3）中，得到

由式（5）可知，當(dāng)a∈（0，1]時(shí)，△V（xn）在平衡點(diǎn)之外均小于0，所以△V（xn）是負(fù)定的。當(dāng)xn→∞時(shí)，有V（xn）→∞，且xn→0+，V（xn）→∞，這意味著對(duì)于任意一個(gè)初始狀態(tài) x（0），當(dāng)n→∞時(shí)，式（1）的解 xn（n=1，2，…，m）會(huì)收斂到全局極小值點(diǎn)x（1），因此，滿足x1=…=xm=所以，x（1）=0 在區(qū)間[0，1]上全局漸近穩(wěn)定的。當(dāng) a∈（1，3]時(shí)，方程有平衡點(diǎn) x（1）=0，x（2）=1－，且在 x（1）=0 是不穩(wěn)定的，在是漸近穩(wěn)定的。當(dāng) a∈（1，3]時(shí)，x（1）=0，x（2）=1－均屬于區(qū)間[0，1]，所以，式（1）有2個(gè)平衡點(diǎn)。

x（1）=0 是不穩(wěn)定的，在是漸近穩(wěn)定的，因?yàn)?，連續(xù)函數(shù)f滿足：

因此，|f′（xn）|=|a－2axn|在平衡點(diǎn) x（2）處滿足則存在常數(shù)q＜1，δ＞0，使得當(dāng)時(shí)，由函數(shù)保號(hào)性得知|f′（x2）|＜q成立。所以對(duì)任意的 x0∈Ux(2)，存在ζ∈（x0，x（2）），滿足|ζ－x（2）|＜|x0－x（2）|，由微分中值定理得|x1－x（2）|=|f（x0）－f（x（2））|=|f′（ζ）||x0－x（2）|＜q|x0－x（2）|，同樣可得|x2－x（2）|＜q|x1－x（2）| ＜q2|x0－x（2）|，因此，可得：

因?yàn)?q＜1，所以 n→∞時(shí)，有因此，序列 n}∞n=1

{x 收斂到 x（2），所以，x（2）在區(qū)間[0，1]上是漸近穩(wěn)定的，又因?yàn)樵谄胶恻c(diǎn) x（1）=0 處滿足|f＇（x（1））|=a＞1，存在常數(shù)k＞1和ξ＞0，當(dāng)時(shí)，由函數(shù)保號(hào)性有|f＇（x1）|＞k成立。

所以，對(duì)任意的 x∈U(1)，存在 ?∈(x ,x(1))，滿足0x0由微分中值定理得依此類推：

由式（8）可知，序列在區(qū)間[0，1]上是發(fā)散的，所以 x（1）=0 在區(qū)間[0，1]上是不穩(wěn)定的。

當(dāng) a∈（3，4]時(shí)，x（1）=0，x（2）=1－方程有平衡點(diǎn)，且 x（1）=0 和 x（2）=（1－）都是不穩(wěn)定的。

當(dāng) a∈（3，4]時(shí)，x（1）=0，x（2）=1－均屬于區(qū)間[0，1]，所以，式（1）有 2 個(gè)平衡點(diǎn)，x（1）=0 和 x（2）=（1－）都是不穩(wěn)定的。

綜上所述，|f′x（1）|=a＞3，| f'(x(2))|=|a -2a(1-)|=|2－a|＞1，由式（8）可知序列在 x（1）=0，x（2）=1－處在區(qū)間[0，1]上均是發(fā)散的。

3 數(shù)值仿真

根據(jù)上述對(duì)參數(shù)a的分析，給定初始條件x（0），依次在區(qū)間（0，1]、（1，3]和[3，4）對(duì)參數(shù)a取某一個(gè)值，可得到式（1）的穩(wěn)定性情況，從而分析出種群數(shù)量的增長情況。給定初始條件x（0）=0.8，在區(qū)間（0，1]、（1，3]和[3，4）對(duì)參數(shù)a依次取0.5，1.5，3.5，通過數(shù)值仿真可得數(shù)值解xn的變化情況，如圖1所示。

圖1 xn在不同參數(shù)a下的變化情況

由圖1可知，當(dāng)a=0.5時(shí)，數(shù)值解xn很快趨于0，在xn=0處達(dá)到全局漸近穩(wěn)定；當(dāng)a=1.5時(shí)，數(shù)值解xn在達(dá)到0.33時(shí)，最終會(huì)趨于一條水平線，達(dá)到漸近穩(wěn)定，并在xn=0處是不穩(wěn)定的；當(dāng)a=3.5時(shí)，數(shù)值解xn在區(qū)間[0，1]上是發(fā)散的，沒有穩(wěn)定點(diǎn)，由此證明了上述結(jié)果的正確性。

參考文獻(xiàn)：

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