王艷玲，雷騰飛，張艷萍，夏祥祥，沈 敏

(齊魯理工學院電氣信息工程學院，山東濟南，250200)

混沌是廣泛存在于大自然中的一種非線性現(xiàn)象，最顯著的特征是對初值的敏感性。自Lorenz提出第一個混沌系統(tǒng)以來［1］，混沌系統(tǒng)構(gòu)建工作一直在進行且取得了豐碩的科研成果。1999年，陳關榮教授等根據(jù)洛倫茲系統(tǒng)提出了Chen系統(tǒng)［2］，Chen系統(tǒng)與洛倫茲系統(tǒng)代數(shù)式相似，但拓撲不等價，屬于對偶混沌系統(tǒng);2002年，中國科學研究院研究員呂金虎等提出了Lü系統(tǒng)［3］，根據(jù)線性代數(shù)式分類，該系統(tǒng)為洛倫茲系統(tǒng)與Chen系統(tǒng)的橋梁系統(tǒng);2004年，劉崇新教授等提出了Liu系統(tǒng)［4］;2005年，齊國元等人提出了具有三個交叉非線性項的Qi系統(tǒng)。最近幾年，新的混沌系統(tǒng)不斷涌現(xiàn)，但混沌特性較強的系統(tǒng)較少［5－11］。由于混沌理論廣泛應用于圖像加密［11］、通信保密、激光系統(tǒng)等方面，則構(gòu)造混沌系統(tǒng)依然是系統(tǒng)應用中的重點與熱點［5－14］。

隨著混沌系統(tǒng)的構(gòu)建工作的不斷深入與研究，一類新的混沌系統(tǒng)提出即具有隱藏吸引子的混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)不是采用線性代數(shù)式分類方法，而是根據(jù)平衡點的相關特性進行分類。隱藏吸引子混沌系統(tǒng)的平衡點有以下幾種情況:獨立的無窮平衡點、無平衡點以及穩(wěn)定的平衡點。文獻［9］針對一類具有穩(wěn)定平衡點的改進Jerk混沌系統(tǒng)，研究該混沌系統(tǒng)的動力學特性;文獻［10］對具有隱藏吸引子(無平衡點)的混沌系統(tǒng)，進行了基本動力學行為的研究。

首先，根據(jù)已有文獻利用反饋控制法得到一類新的4D混沌系統(tǒng)，同時，此采用相圖、分岔圖以及李指數(shù)等刻畫方法研究了系統(tǒng)的混沌特性。為了深一步研究雙參數(shù)變化下系統(tǒng)的混沌行為，文中采用雙參數(shù)變化下的空間復雜度加以闡述，本系統(tǒng)的提出與分析為新混沌在視頻以及圖像等多媒體增加領域奠定了基礎。

1 混沌系統(tǒng)模型

1.1 混沌系統(tǒng)

文章在文獻［8］的基礎上重新構(gòu)建一類新的四維自治混沌系統(tǒng)即:

其中 x，y，z，w 為四個基本狀態(tài)變量，a，b，c為系統(tǒng)(1) 參數(shù)，當a=38，c=30，b=3 時系統(tǒng)(1)存在混沌特性，混沌吸引子相圖如圖1所示。通過Matlab仿真計算，可得出系統(tǒng)(1)的四個 LE 為 LE1=2.763453，LE2=0.0，LE3=－0.0，LE4= －13.735161，如圖 2 所示。根據(jù)維數(shù)定義，可計算出系統(tǒng)的維數(shù)為分數(shù)，即系統(tǒng)存在分形特性。

圖1 系統(tǒng)(1)混沌吸引子Fig.1 Chaotic attractor of system(1)

圖2 固定參數(shù)下系統(tǒng)(1)LE譜Fig.2 LE spectrum of system(1)under fixed parameters

1.2 二進制測試分析

最近，刻畫混沌系統(tǒng)另一種方法即二進制測法(0－1測試)，在較多文獻中被介紹應用。二進制測試方法是在時間序列上進行的分析研究。二進制測試出的結(jié)果即某個序列下的p－s相圖。p－s相圖中的軌跡只是提供一個簡單的視覺測試，并沒有從定量的系統(tǒng)加以闡述。在p－s平面內(nèi)若有界軌跡則為規(guī)則的狀態(tài)即表現(xiàn)出收斂，即為非混沌態(tài)。若類似布朗運動無界軌跡且較為分形(發(fā)散)態(tài)則說明系統(tǒng)為混沌態(tài)。利用0－1測試對系統(tǒng)(1)的x，y，z，w四個序列運用Matlab進行仿真，得到的p－s相圖如圖3所示，可以看出系統(tǒng)(1)具有混沌特性。

圖3 混沌系統(tǒng)(1)的p－s圖Fig.3 P－s plane diagram of chaoticsystem(1)

1.3 混沌系統(tǒng)平衡點分析

令系統(tǒng)四個方程為零，即可求出系統(tǒng)的平衡點E=(0，0，0，0)，在平衡點E=(0，0，0，0)對系統(tǒng)進行線性化，得Jacobian矩陣為:

代入 a，b，c，求得Jacobian 矩陣特征值為 λ1=－ 33.1，λ2=25.183，λ3=0.00，λ4= － 3，根據(jù)勞斯判據(jù)λ2實部為正數(shù)，則點E0為不穩(wěn)的點。

2 參數(shù)的影響

對于系統(tǒng)分析，其分析參數(shù)變化對系統(tǒng)影響尤為重要，對于混沌系統(tǒng)，通常采用分叉圖以及LE譜研究其參數(shù)對系統(tǒng)影響。為此，文章對系統(tǒng)分岔圖與Lyapunov指數(shù)變化規(guī)律進行了探索。

參數(shù)a=38，c=30，參數(shù)b變化，b∈［0，10］混沌系統(tǒng)(1)的分岔圖與LE譜如圖4所示?？梢钥闯鱿到y(tǒng)b∈［5.5，10］處于非混沌態(tài)即周期或擬周期態(tài)，a∈(0，5.5)處于混沌狀態(tài)?；煦鐓^(qū)域最大LE大于0，且復雜度較高，非混沌態(tài)系統(tǒng)最大LE等于0且復雜度較低，如圖4(b)與圖5所示?；煦缦鄨D如圖6(a)所示，周期相圖如圖6(b)所示。

圖4 b變化時系統(tǒng)(1)的關于x分岔圖與Lyapunov指數(shù)譜Fig.4 X bifurcation diagram and lyapunov exponent spectrum of system(1)with the variation of b

圖5 b變化時系統(tǒng)(1)復雜度Fig.5 Complexity of system(1)with the variation of b

圖6 b變化時系統(tǒng)(1)的相圖Fig.6 Phase diagram of system(1)with the variation of b

同理，固定參數(shù)a=38，b=3，改變參數(shù)c，c∈［20，35］混沌系統(tǒng)(1)的分岔圖與LE譜如圖7所示，復雜度如圖8所示。從分岔圖中可看出c∈［20，21.5］∪［32.5，35］系統(tǒng)處于周期窗口，則可判定系統(tǒng)是通過倍周期分岔進入混沌狀態(tài)的，此時對應的最大LE數(shù)等于0且復雜度較低，如圖7(b)與圖8所示。其他區(qū)域為混沌區(qū)域，系統(tǒng)的最大LE大于0且復雜度較高。為了驗證進一步驗證系統(tǒng)相關特性，文中給出了系統(tǒng)的相圖，如圖9所示。周期一如圖9(a)所示，周期二如圖9(b)所示。

圖7 c變化時系統(tǒng)(3)的關于x分岔圖與Lyapunov指數(shù)譜Fig.7 X bifurcation diagram and Lyapunov exponent spectrum of system(1)with the variation of c

圖8 c變化時系統(tǒng)(1)復雜度Fig.8 Complexity of system(1)with the variation of c

圖9 c變化時系統(tǒng)(1)的相圖Fig.9 Phase diagram of system(1)with the variation of c

為了研究兩個參數(shù)同時變化下的混沌系統(tǒng)狀態(tài)，文中采用分岔空間圖即兩個參數(shù)下復雜度(SE與C0復雜度)，雙參數(shù)變化下的復雜度如圖10所示。很容易觀察出，圖10與圖5、圖8具有一致性，且兩個參數(shù)同時變化，參數(shù)c與參數(shù)b相互制約，參數(shù)c變化對系統(tǒng)影響較大。

圖10 雙參數(shù)(b/c)變化下系統(tǒng)(1)的復雜度Fig.10 Complexity of system(1)with the variation of double parameters(b/c)

3 結(jié)論

文中根據(jù)已有文獻，重新構(gòu)造了一類新的混沌系統(tǒng)，且通過分岔圖、LE數(shù)與二進制測試等多種分析刻畫方法研究其四維系統(tǒng)的混沌特性行為。為了更為詳細準確全面分析系統(tǒng)混沌特性，采用了雙參數(shù)變化下復雜度(SE與C0)，說明其系統(tǒng)的混沌空間，因本系統(tǒng)結(jié)構(gòu)代數(shù)較為簡單，可廣泛應用于混沌保密以及視頻、圖像加密等領域。

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