□文/江蘇省蘇州市相城區(qū)陸慕實(shí)驗(yàn)小學(xué) 曹志國(guó)

數(shù)的認(rèn)識(shí)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)的運(yùn)算、研究數(shù)量關(guān)系的重要基礎(chǔ)，而小數(shù)的認(rèn)識(shí)是其中的核心內(nèi)容之一?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）在課程目標(biāo)中提出了經(jīng)歷從日常生活中抽象出數(shù)的過(guò)程，初步認(rèn)識(shí)小數(shù)，理解小數(shù)的意義，掌握必要的運(yùn)算技能等目標(biāo)。廣大教師在教學(xué)時(shí)，一般只將小數(shù)的意義作為核心內(nèi)容，將其讀寫、大小比較、四則計(jì)算等作為重點(diǎn)內(nèi)容展開(kāi)教學(xué)。

然而建構(gòu)主義認(rèn)為：“認(rèn)識(shí)必定是一個(gè)整合的過(guò)程，即如何把新的對(duì)象納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中，從而使全部知識(shí)匯成一個(gè)整體?！惫P者以為，要真正實(shí)現(xiàn)“課標(biāo)”中提出的理解小數(shù)的意義等目標(biāo)，還需要“跳出”小數(shù)開(kāi)展小數(shù)教學(xué)，基于整體性視域，站在更為宏觀的層面，適時(shí)建構(gòu)小學(xué)與整數(shù)、分?jǐn)?shù)等之間的聯(lián)結(jié)，呈現(xiàn)更為系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。

一、關(guān)注數(shù)系的構(gòu)建

在中小學(xué)數(shù)學(xué)中，從自然數(shù)開(kāi)始到復(fù)數(shù)集的建立，數(shù)系經(jīng)歷了四次擴(kuò)充（主要是逐步添加元素并強(qiáng)調(diào)運(yùn)算可施行），其擴(kuò)充過(guò)程是：自然數(shù)（添正分?jǐn)?shù)）、非負(fù)有理數(shù)（添負(fù)有理數(shù)）、有理數(shù)（添無(wú)理數(shù)）、實(shí)數(shù)（添虛數(shù)）復(fù)數(shù)。數(shù)系的每一次擴(kuò)充，都擴(kuò)大了數(shù)的應(yīng)用范圍。小數(shù)和分?jǐn)?shù)的擴(kuò)充，增強(qiáng)了現(xiàn)實(shí)世界中對(duì)數(shù)量表達(dá)的能力，使整體中的“部分”無(wú)法用自然數(shù)表示時(shí)，有了刻畫的方式；也使除法運(yùn)算得以封閉。

其實(shí)，分?jǐn)?shù)與有限小數(shù)或者無(wú)限循環(huán)小數(shù)之間是對(duì)應(yīng)等價(jià)的。我們可以用小數(shù)定義有理數(shù)，即為有限小數(shù)或者無(wú)限循環(huán)小數(shù)；進(jìn)一步，將無(wú)限不循環(huán)小數(shù)稱為無(wú)理數(shù)；進(jìn)而，就可以用小數(shù)定義實(shí)數(shù)，有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。

現(xiàn)行各版本教材在認(rèn)識(shí)小數(shù)內(nèi)容編排時(shí)，也都或多或少地對(duì)小數(shù)的諸多種概念進(jìn)行了介紹。比如，現(xiàn)行蘇教版教材在五年級(jí)上冊(cè)“小數(shù)的乘法和除法”單元的最后以“你知道嗎”的方式，介紹了有限小數(shù)、無(wú)限小數(shù)、循環(huán)小數(shù)等概念，意圖向?qū)W生傳遞小數(shù)知識(shí)，拓寬對(duì)小數(shù)的全面認(rèn)識(shí)。但在實(shí)踐中，對(duì)“你知道嗎”的教學(xué)常常停留于閱讀的層面，導(dǎo)致“水過(guò)地皮濕”，學(xué)生閱讀之后，什么印象也沒(méi)有。

為提升教學(xué)效果，應(yīng)充分依托“你知道嗎”等教學(xué)資源，組織探索性、研究性活動(dòng)，引發(fā)深度學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生建構(gòu)更為全面的數(shù)概念。教學(xué)中，可呈現(xiàn)商為整數(shù)、有限小數(shù)、無(wú)限小數(shù)等多例除法豎式，學(xué)生小組合作計(jì)算結(jié)果，并以小數(shù)的位數(shù)的多少為標(biāo)準(zhǔn)對(duì)結(jié)果進(jìn)行分類。之后，教師再適時(shí)介紹有限小數(shù)、循環(huán)小數(shù)、有理數(shù)。再由祖沖之的故事引入π，呈現(xiàn)當(dāng)代數(shù)學(xué)家已將圓周率算到小數(shù)點(diǎn)后幾萬(wàn)億位，有的數(shù)學(xué)愛(ài)好者能一口氣背出圓周率小數(shù)部分很多位等素材；并對(duì)黃金分割及希帕索斯被害致死的故事等進(jìn)行介紹，生成無(wú)限不循環(huán)小數(shù)、無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)等概念。學(xué)生雖然暫時(shí)還不能完全理解上述概念，但他們能真切地感受到人類對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的不懈追求，在不知不覺(jué)中走進(jìn)了更為廣闊的數(shù)的世界，更為宏觀的數(shù)系概念也已悄然孕伏，激發(fā)了他們對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科的濃厚興趣。

二、關(guān)注計(jì)數(shù)法體系的構(gòu)建

2000年度國(guó)家最高科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)獲得者吳文俊院士在其著作《吳文俊論數(shù)學(xué)機(jī)械化》中寫道：“位值制的數(shù)字表示方法極其簡(jiǎn)單，因而也掩蓋了他的偉大業(yè)績(jī)……這一發(fā)明對(duì)人類文化貢獻(xiàn)之巨，縱然不能與火的發(fā)明相比，至少是可與文化史上我國(guó)的四大發(fā)明相媲美的。中華民族應(yīng)以這一發(fā)明而自豪。”史寧中教授指出：“在小學(xué)階段，理解小數(shù)的重點(diǎn)在于對(duì)于十進(jìn)制的認(rèn)識(shí)。”小數(shù)教學(xué)，應(yīng)著力構(gòu)建小數(shù)計(jì)數(shù)單位之間的十進(jìn)關(guān)系，并打通其與整數(shù)之間十進(jìn)關(guān)系的聯(lián)接，構(gòu)建十進(jìn)制計(jì)數(shù)法體系，充分感悟這一數(shù)學(xué)史上“最妙的發(fā)明之一”。

圖1

在認(rèn)識(shí)多位數(shù)時(shí)，學(xué)生已經(jīng)掌握“十個(gè)一是十”“十個(gè)十是百”“十個(gè)百是千”生活中，學(xué)生對(duì)小數(shù)計(jì)數(shù)單位及其之間的關(guān)系雖有著感性認(rèn)識(shí)，但缺乏理性認(rèn)知，系統(tǒng)性更是缺乏。而小數(shù)的表征形式與自然數(shù)相似，都是十進(jìn)制，小數(shù)部分相鄰的計(jì)數(shù)單位之間，以及十分位和個(gè)位的計(jì)數(shù)單位之間，進(jìn)率都是十。教學(xué)中，對(duì)其表征的相似性應(yīng)有敏銳的洞見(jiàn)，逐步呈現(xiàn)（圖1），打通聯(lián)結(jié)，構(gòu)建體系。

自然數(shù)、小數(shù)互聯(lián)的十進(jìn)制計(jì)數(shù)法體系的構(gòu)建，使十進(jìn)制的進(jìn)率方向具有“雙向性”。向右不斷乘10，計(jì)數(shù)單位可以無(wú)限大；向左不斷除以10，計(jì)數(shù)單位可以無(wú)限??；一左一右的延伸，使學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)更為全面系統(tǒng)。體系的構(gòu)建處于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，促進(jìn)了對(duì)十進(jìn)制的深度認(rèn)知，揭示了十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的深刻內(nèi)涵。

三、關(guān)注運(yùn)算規(guī)則體系的構(gòu)建

數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)力求呈現(xiàn)數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)統(tǒng)一的、有機(jī)關(guān)聯(lián)的、鮮活生動(dòng)的、具有探索性的和全息性知識(shí)特征的科學(xué)與文化形象，而不是固定不變的、僵化教條的、局部的、彼此分割的知識(shí)條塊和記憶庫(kù)。小數(shù)的運(yùn)算中很多內(nèi)容互相依存、彼此關(guān)聯(lián)，存在著嚴(yán)密的邏輯性。教學(xué)中，要找尋小數(shù)與整數(shù)、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算之間的“共同規(guī)則”，將多個(gè)“規(guī)則單一體”整合成“規(guī)則共同體”，實(shí)現(xiàn)表征系統(tǒng)間的互相轉(zhuǎn)換，使規(guī)則交叉融合，結(jié)成網(wǎng)、連成片，構(gòu)建運(yùn)算規(guī)則結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。

教學(xué)中，要依據(jù)算理進(jìn)行算法教學(xué)，使學(xué)生厘清，整數(shù)加、減法的豎式計(jì)算時(shí)，將個(gè)位對(duì)齊；小數(shù)加、減法的豎式計(jì)算要把小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊；分?jǐn)?shù)加減法中需要先通分；其原理其實(shí)都是一樣的，本質(zhì)上是把相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相加減。列豎式計(jì)算小數(shù)乘法中，小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊法或末尾對(duì)齊法（圖2），就是將計(jì)數(shù)單位再統(tǒng)一，計(jì)算的是統(tǒng)一之后的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。當(dāng)然，從算法優(yōu)化的角度看，末尾對(duì)齊法更為方便、不易出錯(cuò)。

圖2

在此基礎(chǔ)上，將其與整數(shù)乘法規(guī)則（圖3）再進(jìn)一步統(tǒng)一：不論是整數(shù)乘法、還是小數(shù)乘法，都是計(jì)算乘積中所包含的新的、統(tǒng)一的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，再根據(jù)包含的新的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，寫出最后的結(jié)果。當(dāng)然，站在算法統(tǒng)一的角度，還要適時(shí)溝通小數(shù)除法與小數(shù)乘法之間的聯(lián)系，它們都是轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘、除法之后再進(jìn)行運(yùn)算。計(jì)算規(guī)則的統(tǒng)一，學(xué)生在頭腦中產(chǎn)生了新的綜合心理圖式，構(gòu)建了更為清晰、完整和穩(wěn)固規(guī)則系統(tǒng)，走進(jìn)了數(shù)學(xué)的知識(shí)本源與精神內(nèi)核。

圖3

當(dāng)然，十進(jìn)制計(jì)數(shù)法、運(yùn)算規(guī)則、尤其是數(shù)系等“三維體系”的建立，需要循序漸進(jìn)；從知識(shí)結(jié)構(gòu)內(nèi)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，也不可能一蹴而就。但教師要有“從點(diǎn)到面”更為寬廣的整體教學(xué)視域，要有“結(jié)構(gòu)化”的意識(shí)與實(shí)踐自覺(jué)，促進(jìn)學(xué)生的全面認(rèn)知與深度認(rèn)知，助推學(xué)生良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成?！?/p>