彭飛　王平

[摘 要] 在高考或模擬考試試卷中，經(jīng)常會出現(xiàn)利用基本不等式解決的最值問題，并且大多以復雜的分式形式出現(xiàn). 文章主要以五種類型的分式題目為載體，深入剖析暴露題目本質的幾種常見的換元方法，以達到解題變得更為輕松的目的.

[關鍵詞] 基本不等式；換元；本質；分式

基本不等式是高考重要的考點，每年必考的內(nèi)容，因此在高考或模擬考試中，經(jīng)常會出現(xiàn)利用基本不等式解決的最值問題，并且大多以分式的形式出現(xiàn). 本文針對此類最值問題，與大家一起討論它的解題策略，供參考.？搖

分母是一次，換元就變易

例1：若實數(shù)x，y滿足xy+3x=3（0

分析：很多學生看到本題后，會對目標函數(shù)式進行通分運算，然后再進行減元化簡.

解法1：因為xy+3x=3，所以得到y(tǒng)=.

所以，+===-1+（1）.

令35x-18=t（-18

對（1）式進行換元，得到-1+=-1+=-1+

由于t<0，故（-2t）+-≥12，所以2t+≤-12，當且僅當2t=時，即t=-3（滿足題意給出的范圍）取“=”，所以原題的最小值為8.

反思：本題利用了減元法思想，使題中目標函數(shù)式由兩個變量減少為一個變量，使得題目更易于去處理，但是在實際計算的過程中，并沒有想象中的美好. 為什么會出現(xiàn)這樣的情況呢？主要原因是分母不夠簡潔，導致后期的計算量逐步增加，一不小心將會有算錯的可能，這樣的問題也存在于其他諸多的分式問題中. 那么如何處理才能使得計算更加簡潔呢？

先換元！通過換元的手法，將形式復雜的分母看作為一個整體，這樣整個分式將變得“整潔、漂亮”. 我們通過觀察本題的目標函數(shù)式+，分母都是一次形式，而且加號后面的分式分母較為復雜，故只需要將y-3看成整體，進行換元，具體解決過程如下.

解法2：令y-3=t，即y=t+3，由題意得：x（t+3）+3x=3，

xt+6x=3，即為x（t+6）=3，所以得到t+6=，

因為00，因此+=t+6+≥8，當且僅當x=時，取“=”.

注：解法1是基于思維慣性的作用下，將y轉化為x，使得后續(xù)需要很強的計算能力才能解決問題；解法2通過換元后，將題意中的形式變得十分簡潔，解題思路也就變得非常明朗，很顯然本題應是將x轉化為y更為簡單易操作，由此可以看出先換元的優(yōu)越性.

變式訓練1：已知x，y滿足xy=y+4（x>1），求+的最小值.

解：令2x-1=m，則x=，m>1，

代入xy=y+4得，（m-1）y=8，所以y=，

+=+=+-≥，當且僅當m=2時，取“=”.

所以+的最小值為.

兩個分式分母都復雜，全部換元，暴露本質

例2：已知實數(shù)x，y滿足x>0，y>0，求+的最大值.

分析：本題的目標函數(shù)式也是分式的形式，且都是一次形式，但是兩個分式的分母都比較復雜，所以在利用換元法時，就必須要引入兩個參數(shù)，將兩個分母看成不同的整體進行換元.

解：令4x+y=a，x+y=b，解得x=，y=，且a>0，b>0

故+=+=-+≤，當且僅當a=2b時，即2x=y時，取“=”.

注：解該題時，不能像例1那樣進行減元處理，但通過換元的手法，“丑陋”的形式就會變得“漂亮”，同時題意的真面目就會暴露，應用基本不等式，一下子就可以得到最大值.

變式訓練2：設正實數(shù)x，y，z滿足x+2y+z=1，求+的最小值.

解：設x+y=a，y+z=b，由題意得，a+b=1，且a>0，b>0，

+=+=+=++1≥2+1=7.

當且僅當b=3a時，即a=，b=時，取“=”.

條件是分式，換元一樣用，“1”的代換不能忘

例3：若a>0，b>0，且+=1，求a+2b的最小值.

分析：本題與上述兩種情況不一樣之處在于條件是分式，且分母是一次形式，而目標函數(shù)式不是分式的形式，但解決問題的辦法還是一樣，思路不變，對一次形式的分母進行換元.

解：令x=2a+b，y=b+1，則解得a=，b=y-1，且+=1，x>0，y>1，

所以，a+2b=+2y-2==-=·+-=4++-≥+，當且僅當x=+1，y=時，取“=”.

注：當遇到條件也是分式時，不要擔心做不出來，大膽嘗試換元法，小心求解，或許會收到意想不到的效果. 當然解題時，還要注意配合使用“1”的代換這一方法.

變式訓練3：已知正數(shù)x，y滿足+=1，求xy的最小值.

解：令2+x=a，2+y=b，解得x=a-2，y=b-2，且a>2，b>2，

所以+=1即為+=1，所以ab=3（a+b），

故xy=（a-2）（b-2）=ab-2（a+b）+4=a+b+4=（a+b）++4=10++≥16，當且僅當a=b=6時，取“=”，所以xy的最小值為16.

構造成分式，因式分解助力換元

例4：已知x2-2xy-3y2=1，求x2+y2的最小值.

分析：本題雖是整式的形式，但注意到x2-2xy-3y2=1的特點，可以利用“1”的代換，將目標函數(shù)式構造成分式來進行求解，即x2+y2可以轉化為.

解：x2+y2==（2）.

令a=x-3y，b=x+y，解得x=，y=，且ab=1，a與b同號，即>0，>0.

（2）式轉化為：==++2≥，當且僅當a=b，即a2=，b2=時，取“=”，x2+y2的最小值為.

注：此題分母較為復雜，與前幾題的不同之處在于分母是二次，如果直接整體換元，分子則不能順利轉化為新的未知元. 仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)，分母是可以因式分解為兩個一次因式積的形式，實質上等價于前幾題通分后的結果，特征不變，解題方法也不變，換元！

變式訓練4：設x>y≥0，z>0，向量a=（2x-3y，z-3y），b=（z+3y，x+4y），且a∥b，若不等式4x+5y≥kz恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.

解：因為a∥b，所以（2x-3y）（x+4y）=（z-3y）（z+3y），

展開整理后得，z2=2x2+5xy-3y2=（2x-y）（x+3y）.

令a=2x-y，b=x+3y，解得x=，y=，且a>0，b>0，

因為不等式4x+5y≥kz恒成立，z>0，所以k≤，即求min.

因為=====++4≥8，當且僅當a=2b時，=8，由于x>y≥0，z>0，所以，min=2，所以k≤2.

多次換元，結合常規(guī)方法，解題很輕松

例5：若實數(shù)x，y滿足2x2+xy-y2=1，求的最大值.

分析：仔細觀察本題，目標函數(shù)式雖不可以因式分解處理，但條件所給出的等式可以因式分解，分解為兩個一次因式，即為2x2+xy-y2=（2x-y）（x+y），這一形式符合了我們此處解題的特征，亦可以采用換元的思想解決問題.

解：令2x-y=m，x+y=n，解得x=，y=，且mn=1.

所以，=. 因為要求的最大值，所以m>n.

再令m-n=t，t>0，平方后得，m2+n2=t2+2，所以，=，分子分母同時除以t，=≤，當且僅當t=時，即x-2y=時取“=”，故的最大值為.

注：高考試題或模擬試題，往往具有很強的綜合性，我們大家在解題時，應抓住題目的特征，靈活、多次應用換元法，從而降低試題運算的次數(shù)與難度，以提高解題的效率.

變式訓練5：已知x，y滿足y<2x-2，y>-1，且2xy-y+2x=2，求的最小值.

解：2xy-y+2x=2可變形為（2x-1）（y+1）=1.

設2x-1=a，y+1=b，解得x=，y=b-1，且ab=1.

因為x，y滿足y<2x-2，y>-1，所以a>0，b>0，

故=（3）.

再設a-b=m，平方得a2+b2=m2+2，其中m>0，

代入（3）得==m+≥6，當且僅當m=3，即當x=，y=時取“=”，所以的最小值為6.

我們大家在利用換元法解決此類問題時，要牢牢抓住此類題目的特征，靈活運用減元消元的思想、因式分解、除法手段、“1”的代換等多種手段，來對題目進行轉化，從而將復雜形式“漂亮”化，題目的本質必將暴露無疑，解題思路將會柳暗花明，解題也就水到渠成.