張志華　余隆蘭

[摘 要] 文章先從不定方程的一個(gè)特例入手，借助向量的工具進(jìn)行處理得到唯一解，這啟發(fā)我們?nèi)ニ伎计鋷缀我饬x：平面與球面相切，切點(diǎn)是唯一一個(gè)交點(diǎn)，其坐標(biāo)即為方程組的解. 在此基礎(chǔ)上進(jìn)行變換與推廣，就得出了一類(lèi)不定方程組ax2+by2+cz2=d（a，b，c，d同號(hào)），Ax+By+Cz=D的完全解.

[關(guān)鍵詞] 不定方程；向量法；完全解

一些數(shù)學(xué)問(wèn)題經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化，最終可變成三元二次方程ax2+by2+cz2=d在限制條件Ax+By+Cz=D下解的情況，即求解不定方程組ax2+by2+cz2=d，Ax+By+Cz=D，所以有必要對(duì)這類(lèi)方程組加以深入研究. 若給出一個(gè)限制條件：a，b，c，d同號(hào)，我們便能得到其完全解.

一個(gè)特例

先從一個(gè)特例入手：求解方程組x2+y2+z2=，①-8x+6y-24z=39.②

分析：咋一看，三個(gè)未知數(shù)兩個(gè)方程，未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)，似乎解不出來(lái).若我們采用消元的思想，將②式變形為z=-x+y-，代入①式，再往下計(jì)算也極其煩瑣，而且未必解得出來(lái). 那是否我們就束手無(wú)策了呢？

仔細(xì)一琢磨，我們從①②兩式的幾何意義入手，①式表示以原點(diǎn)為球心、半徑為的球面，②式表示空間中的一個(gè)平面. 這樣我們很容易聯(lián)想到借助向量方法來(lái)處理.

解析：設(shè)a=（x，y，z）為方程組的任意一組解（向量表示式），

b=（-8，6，-24）（表示平面的法向量），

則a·b=-8x+6y-24=39

另一方面，a·b=a·b·cosθ

=··cosθ

=39cosθ（θ為向量a，b的夾角），

所以39cosθ=39，cosθ=1.

注意到θ∈[0，π]，故θ=0.

從而a與b共線，則存在非零實(shí)數(shù)t∈R，使得===t，

即x=-8t，y=6t，z=-24t，代入②，即得t=，x= -，y=，z=-.

驗(yàn)證知x=-，y=，z=-是方程組的解.

反思：未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)，但卻只有唯一的解，這意味著什么呢？聯(lián)想到兩個(gè)方程的幾何意義，只有這樣一種情況：平面與球面相切，切點(diǎn)是唯一一個(gè)交點(diǎn)，其坐標(biāo)即為方程組的解. 我們只需檢驗(yàn)球心O（0，0，0）到平面π：8x-6y+24z+39=0的距離ρ是否等于球的半徑r即可，ρ===r，ρ果然恰好等于r！這樣方程組的解為x=-，y=，z=-，是十分容易理解的了.

那么，若ρ不等于r時(shí)結(jié)果又如何呢？受到上述思路的啟發(fā)，我們易知：若ρ>r，此時(shí)平面與球面相離，二者無(wú)交點(diǎn)，方程組無(wú)解；若ρ

一般情況

回到文章開(kāi)始提出的問(wèn)題，有上述特例做基礎(chǔ)，我們就可以迎刃而解了.處理的思路如下：不妨設(shè)a，b，c，d>0，否則，只需方程兩邊同乘以（-1），就轉(zhuǎn)化成上述情況.先做伸縮變換x′=x，y′=y，z′=z，原方程組就變成（x′）2+（y′）2+（z′）2=d，x′+y′+z′=D，

再令A(yù)′=，B′=，C′=，問(wèn)題即轉(zhuǎn)化為我們熟悉的模型（x′）2+（y′）2+（z′）2=d，A′x′+B′y′+C′z′=D（？鄢）.

以下我們先考慮球心O′（0，0，0）到平面π：A′x′+B′y′+C′z′-D=0的距離ρ=與半徑r=的關(guān)系，以此作為分類(lèi)討論的標(biāo)準(zhǔn).

（1）若ρ>r時(shí)，平面與球相離，方程組（？鄢）無(wú)解，從而原方程無(wú)解；

（2）若ρ=r時(shí)，此時(shí)平面與球相切，二者有唯一交點(diǎn)即切點(diǎn)，方程組（？鄢）有唯一解，可參照類(lèi)似特例的方法，采用向量工具來(lái)處理，可得方程組（？鄢）的唯一解為x′=，y′=，z′=，從而原方程組的解為x=，y=，z=，

即x=，y=，z=；

（3）若ρ

r′==.

以下我們來(lái)確定此圓的圓心P（xP，yP，zP）. 注意到向量（xP，yP，zP）與平面π的法向量n（A′，B′，C′）共線，故存在非零實(shí)數(shù)t∈R，使得xP=A′t，yP=B′t，zP=C′t，再在平面π：A′x′+B′y′+C′z′=D上任取一點(diǎn)Q（x0，y0，z0）（x0，y0，z0只需滿(mǎn)足A′x0+B′y0+C′z0=D即可），則（xP-x0，yP-y0，zP-z0）與n（A′，B′，C′）垂直，從而·n=0，即A′（xP-x0）+B′（yP-y0）+C′（zP-z0）=0. 故

因此方程組（？鄢）的解表示平面π上的以P（xP，yP，zP）為圓心，半徑為

r′=的一個(gè)圓，即（x′-xP）2+（y′-yP）2+（z′-zP）2=（r′）2，A′x′+B′y′+C′z′=D.

（其顯式可由球面的參數(shù)方程給出，但較為煩瑣，本文限于篇幅，不詳加探討）.從而原方程組的解表示的是以P，，為中心，三條主半軸長(zhǎng)分別為，，的橢球面與平面π的交線，即為橢圓++=1，Ax+By+Cz=D.

至此，已給出了此類(lèi)方程組ax2+by2+cz2=d（a，b，c，d同號(hào)），Ax+By+Cz=D的完全解.