嚴(yán)志軍，陶 洋

重慶郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，重慶 400065

1 引言

在無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)實(shí)際的應(yīng)用中，傳感器采集到的數(shù)據(jù)經(jīng)常是不精確和不確定的，如何有效地解決不確定信息一直是研究的熱點(diǎn)，許多研究者提出了很多數(shù)學(xué)理論，如證據(jù)理論[1]、模糊集理論[2]、粗糙集理論[3]等，其中，由Dempster和Shafer提出來(lái)的D-S證據(jù)理論能夠有效解決在缺乏先驗(yàn)概率的條件下數(shù)據(jù)不精確和不確定的問題[4-5]，并且廣泛應(yīng)用于信息融合領(lǐng)域[6-9]。

但是，不同的傳感器采集到的數(shù)據(jù)之間可能會(huì)出現(xiàn)沖突的現(xiàn)象，當(dāng)直接利用Dempster融合規(guī)則處理沖突信息時(shí)，會(huì)出現(xiàn)悖論的融合結(jié)果。因此如何有效地處理無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)中數(shù)據(jù)沖突的問題，將是不可避免的[10-12]。Murphy提出在融合之前對(duì)證據(jù)進(jìn)行修正，首先對(duì)信度函數(shù)進(jìn)行平均化，之后再對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行融合的一種方法[13]。但是，這種證據(jù)平均的融合方法僅僅簡(jiǎn)單地對(duì)證據(jù)進(jìn)行平均化，并沒有考慮證據(jù)之間的聯(lián)系。因此，并不能夠很好地處理由錯(cuò)誤數(shù)據(jù)引起的數(shù)據(jù)沖突的情況。鄧勇教授則對(duì)融合規(guī)則進(jìn)行提升，提出了一種加權(quán)平均的融合方法[14]，雖然在一定程度上克服了Murphy規(guī)則的缺陷，但是卻忽視了證據(jù)本身對(duì)最后權(quán)重的影響；而文獻(xiàn)[15]則引入向量空間的概念，運(yùn)用沖突證據(jù)的表示方法來(lái)解決數(shù)據(jù)沖突的問題，但是此方法僅考慮了不同證據(jù)信度分配結(jié)果的相似程度而忽略了其他因素對(duì)證據(jù)可信度的影響，如證據(jù)本身的不確定性。

基于以上分析，本文運(yùn)用證據(jù)距離對(duì)證據(jù)之間的沖突性進(jìn)行度量，將證據(jù)分為可信證據(jù)與不可信證據(jù)兩類；接著運(yùn)用信度熵對(duì)證據(jù)本身的不確定度進(jìn)行估計(jì)，結(jié)合這兩類因素對(duì)證據(jù)進(jìn)行權(quán)重分配，對(duì)原始證據(jù)的基本信度值進(jìn)行修正，最后運(yùn)用Dempster融合規(guī)則進(jìn)行融合，提出了一種基于證據(jù)距離和不確定度的沖突數(shù)據(jù)融合算法。提出的方法既考慮了證據(jù)之間的相互關(guān)聯(lián)性，又考慮了證據(jù)本身的不確定性，因此能夠很好地處理沖突數(shù)據(jù)融合的問題。

2 相關(guān)理論介紹

2.1 證據(jù)理論基本概念

證據(jù)理論（Evidence Theory）[16]，是一種很好的對(duì)不確定性進(jìn)行建模和推理的數(shù)學(xué)理論，設(shè)識(shí)別框Θ={w1,w2,…,wc}，基本信度分配函數(shù)（BBA），即質(zhì)量函數(shù)，m:2Θ→[0,1]，滿足以下條件：

其中，A是2Θ的一個(gè)子集，m(A)即為命題A的基本信度值，表示證據(jù)對(duì)命題A的支持度，每個(gè)命題都有對(duì)應(yīng)的BBA，且BBA之間相互獨(dú)立，對(duì)于?A?Θ,A≠?，Dempster組合規(guī)則定義為：

其中，i表示第i個(gè)證據(jù)。證據(jù)之間的沖突程度k定義為：

相比其他融合規(guī)則，貝葉斯融合需要事先了解概率分布，即需要知道先驗(yàn)概率；同樣，基于模糊集理論的融合方法也需要事先了解不同模糊集的隸屬函數(shù)，但是Dempster融合規(guī)則可以在事先不知道先驗(yàn)概率的條件下，對(duì)不確定、不精確的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模[17]；并且，對(duì)來(lái)自于不同傳感器數(shù)據(jù)源得到的不同證據(jù)，能夠簡(jiǎn)單高效地融合多個(gè)證據(jù)，并且最終能夠得到更加準(zhǔn)確的融合結(jié)果。

2.2 證據(jù)距離

相對(duì)距離表示了證據(jù)體之間的相互支持度。其中使用較廣泛、認(rèn)可度高的是Jousselme提出來(lái)的證據(jù)距離表示方法[18]。

兩個(gè)證據(jù)體m1()和m2()之間的距離dBOE(m1,m2)定義如下：

其中，m1和m2分別表示證據(jù)體m1()和m2()的向量形式。是2Θ×2Θ的矩陣：

當(dāng)有多個(gè)證據(jù)時(shí)，任意兩個(gè)證據(jù)體之間的距離可以以證據(jù)矩陣DM的形式表示，定義如下：

兩個(gè)證據(jù)之間的距離越大，表示兩個(gè)證據(jù)之間相互支持度就越低。如果一個(gè)證據(jù)體與其他證據(jù)高度沖突，則它應(yīng)該對(duì)最后的融合結(jié)果有較小的影響。

2.3 信度熵

信度熵[19]能夠有效地對(duì)信息的不確定度進(jìn)行度量。設(shè)定假設(shè)集Ai，對(duì)應(yīng)的信度函數(shù)為m， ||Ai表示集合Ai的元素個(gè)數(shù)，集合Ai信度熵計(jì)算如下：

當(dāng)信度值僅分配給單元素集時(shí)，信度熵此時(shí)直接是香農(nóng)熵，此時(shí)信度熵函數(shù)為：

如果一個(gè)證據(jù)體的信度熵越小，則相應(yīng)的可靠度也越高，在最后的融合過(guò)程中，占據(jù)的權(quán)重也越大;相反，如果一個(gè)證據(jù)的信度熵越大，則不可靠度越高，占據(jù)的權(quán)重也越低。

3 基于證據(jù)距離和不確定度的沖突數(shù)據(jù)融合算法

假設(shè)有n個(gè)證據(jù)，mi,i=1,2,…,n，對(duì)于證據(jù)的預(yù)處理過(guò)程可以表示如下：

其中，wi是證據(jù)mi對(duì)應(yīng)的權(quán)重。wimi可以認(rèn)為是mi的折扣，m可以認(rèn)為是原證據(jù)的加權(quán)平均證據(jù)。這n個(gè)證據(jù)是所有獲得焦元的平均加權(quán)。因此如何構(gòu)建合適的權(quán)重wi將是核心問題。

上文提到，假如一個(gè)證據(jù)與其他證據(jù)的證據(jù)距離越小，則表明它與其他證據(jù)的沖突性也較小，可將這類證據(jù)稱之為可信任證據(jù)；相反，假如一個(gè)證據(jù)與其他證據(jù)的證據(jù)距離越大，則表明它與其他證據(jù)的沖突性也越大，可將此類證據(jù)稱之為不可信證據(jù)。對(duì)于可信任證據(jù)，熵值越小，則表明不可確定度也越小，證據(jù)本身也更明確，更有利于最后的決策融合。因此，在融合過(guò)程中，此類證據(jù)應(yīng)該占更大的權(quán)重。而對(duì)于不可信證據(jù)，熵值越小，對(duì)應(yīng)的不確定度也越小，證據(jù)體本身也更明確。但是，因?yàn)榕c可信任證據(jù)和其他證據(jù)具有沖突性，為了得到更準(zhǔn)確的融合結(jié)果，將分配較小的權(quán)重給不可信證據(jù)?；诖怂枷耄岢隽霜?jiǎng)勵(lì)函數(shù)與懲罰函數(shù)的概念，以此來(lái)創(chuàng)建合適的權(quán)重。

定義1（獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)）定義為：

其中為歸一化后的信度熵，滿足獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)具有如下的特性：

特性1獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)總是大于0，即αr＞0。

特性2獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)。

證明 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的特性，很明顯，獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)是單調(diào)遞減的函數(shù)。它隨著熵值的增大而減少，隨著熵值的減少而增大，符合可信函數(shù)的特性，因此用來(lái)創(chuàng)建可信函數(shù)的權(quán)重。

定義2（懲罰函數(shù)）定義為：

這里，信度熵，滿足懲罰函數(shù)有如下的特性

特性1懲罰函數(shù)永遠(yuǎn)大于0，即αj＞0。

特性2懲罰函數(shù)是一個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)。

證明 假設(shè)有任意兩個(gè)變量

因?yàn)椋鶕?jù)指數(shù)函數(shù)的特性有：是說(shuō)，懲罰函數(shù)是單調(diào)遞增的函數(shù)，可用來(lái)為不可信證據(jù)創(chuàng)建權(quán)重。

假設(shè)有n個(gè)證據(jù)體，每個(gè)證據(jù)體權(quán)重的推導(dǎo)過(guò)程如下：

步驟1通過(guò)公式（4）和（5）可以計(jì)算任意兩個(gè)證據(jù)mi和mj之間的距離矩陣：

其中i,j=1,2,…,n。

步驟2計(jì)算證據(jù)體mi的平均證據(jù)距離

步驟3計(jì)算證據(jù)體全局距離d：

步驟4判斷證據(jù)是可信證據(jù)或者非可信證據(jù)：如果＞d，則mi為可信證據(jù)；如果 ＜d，則mi為非可信證據(jù)。

步驟5計(jì)算信度熵Ed(mi)，i=1,2,…,n，并且進(jìn)行歸一化處理：

步驟6為可信證據(jù)與不可信證據(jù)分配相應(yīng)的權(quán)重αr和αj,i,j=1,2,…,n，對(duì)于可信證據(jù)使用公式（10）計(jì)算其相應(yīng)的權(quán)重，對(duì)于非可信證據(jù)使用公式（11）計(jì)算其相應(yīng)的權(quán)重。

步驟7最后對(duì)計(jì)算得到的權(quán)重進(jìn)行歸一化處理，得到證據(jù)最終的權(quán)重wi，計(jì)算如下：

通過(guò)以上推導(dǎo)，計(jì)算得到了每個(gè)證據(jù)合理的權(quán)重值，再根據(jù)公式（9）計(jì)算多源證據(jù)的加權(quán)平均證據(jù)m。最后通過(guò)Dempster融合規(guī)則對(duì)修正后的證據(jù)源進(jìn)行BBA融合，得到最終的融合結(jié)果。

需要指出的是，當(dāng)證據(jù)僅有兩個(gè)證據(jù)時(shí)，此時(shí)，證據(jù)距離是失效的，此時(shí)的權(quán)重的計(jì)算方式如下：

步驟1計(jì)算信度熵Ed(mi)，i=1,2，使用公式（16）對(duì)其進(jìn)行歸一化。

步驟2通過(guò)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)計(jì)算權(quán)重αi1：

步驟3通過(guò)懲罰函數(shù)計(jì)算權(quán)重αi2：

其中是最大歸一化信度值。

步驟4計(jì)算平局權(quán)重αi：

即為最終的權(quán)重wi，最后計(jì)算加權(quán)平均證據(jù)，使用Dempster融合規(guī)則進(jìn)行融合。

4 仿真與分析

為了驗(yàn)證文中提出的算法的性能，本文將采用文獻(xiàn)[20]中的完整算例進(jìn)行仿真分析與對(duì)比。設(shè)有3個(gè)目標(biāo)待識(shí)別，即識(shí)別框?yàn)椋害?{A,B,C}，收集到5個(gè)證據(jù)對(duì)其進(jìn)行判別：

首先，根據(jù)公式（5）和（6）計(jì)算距離矩陣得：

運(yùn)用公式（14）計(jì)算平均證據(jù)距離，i=1,2,3,4,5,0.298 6。

接著運(yùn)用公式（15）計(jì)算全局證據(jù)距離d的結(jié)果如下：d=0.403 74?？芍?，m1,m3,m4,m5歸為可信證據(jù)，而m2為不可信證據(jù)。通過(guò)公式（8）計(jì)算每個(gè)證據(jù)體所對(duì)應(yīng)的信度熵為：

再通過(guò)公式（16）計(jì)算歸一化信度熵：

通過(guò)公式（18）與（19）分別計(jì)算可信證據(jù)與不可信證據(jù)的權(quán)重αi,i=1,2,3,4,5，通過(guò)公式（17）歸一化權(quán)重得：w1,w2,w3,w4,w5，如表1所示。

表1 歸一化權(quán)重

計(jì)算出每個(gè)證據(jù)的權(quán)重之后，通過(guò)平均權(quán)重對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行修正，得出以下修正后的BBA，如表2所示。

在得到修正后的BBA之后，再利用Dempster融合規(guī)則對(duì)多個(gè)證據(jù)進(jìn)行融合，得到最終的融合結(jié)果，如表3所示。

在使用本文提出的融合算法計(jì)算出最終融合結(jié)果之后，再使用四種應(yīng)用廣泛的融合規(guī)則計(jì)算出相應(yīng)的融合結(jié)果，并且進(jìn)行對(duì)比，具體的融合結(jié)果以及仿真對(duì)比圖如圖1，2所示。

圖1 基于不同融合規(guī)則的m(A)的BBA

圖2 基于不同融合規(guī)則的m(B)的BBA

從仿真結(jié)果圖1以及表4可以得出盡管5個(gè)證據(jù)源中有4個(gè)證據(jù)源支持目標(biāo)A，但是由于沖突證據(jù)S2，Dempster融合規(guī)則融合后得出一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果。很明顯，Dempster融合不能夠很好地處理數(shù)據(jù)沖突的問題。

從仿真圖2可以得出，由于不可信證據(jù)S2，只有本文提出的基于不確定度和信度熵的融合方法分配較小的信度給目標(biāo)B，然而其他的融合方法都分配較多的信度給B。同時(shí)還可以得出，當(dāng)有三個(gè)證據(jù)源時(shí)，Dempster規(guī)則、Deng規(guī)則，以及Murphy法則融合結(jié)果并不能為融合中心提供決策，因?yàn)檫@三種法則分配給目標(biāo)A的信度值都小于0.5，其他的目標(biāo)B,C,AC的信度值分配較多，只有Han融合規(guī)則和本文提出的融合規(guī)則分配給A的信度值高于0.5，并且新的融合法則分配給目標(biāo)A的值高達(dá)0.827 4，然后Han法則只有0.518 8。當(dāng)有5個(gè)證據(jù)源進(jìn)行融合時(shí)，證據(jù)源越多，信度值分配得越合理，新的融合方法將信度值基本上分配給了目標(biāo)A，高達(dá)0.990 4。

表2 使用平均權(quán)重修正后的BBA

表3 融合后的結(jié)果

因此，當(dāng)證據(jù)高度沖突時(shí)，經(jīng)典的Dempster融合規(guī)則融合的結(jié)果將會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的悖論，不能夠很好地反映真實(shí)的情況。隨著證據(jù)體的增加，盡管Murphy簡(jiǎn)單平均融合規(guī)則、Deng加權(quán)平均融合規(guī)則以及Han融合規(guī)則都能夠給出一個(gè)合理的融合結(jié)果，但是，本文提出的基于證據(jù)距離和不確定度的沖突數(shù)據(jù)融合規(guī)則性能都比這幾種融合法則優(yōu)秀。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)使用經(jīng)典證據(jù)理論進(jìn)行融合的過(guò)程中，當(dāng)遇到高沖突的數(shù)據(jù)時(shí)，融合結(jié)果會(huì)產(chǎn)生悖論等問題進(jìn)行詳細(xì)的分析，以往的研究更多的是考慮證據(jù)之間的相互關(guān)聯(lián)性，而忽視了證據(jù)本身對(duì)融合性能的影響。本文通過(guò)一種新的信度熵的方法對(duì)證據(jù)本身的不確定性進(jìn)行度量，最后的實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明提出的基于證據(jù)距離和不確定度估計(jì)的沖突數(shù)據(jù)融合方法能夠更有效地處理沖突數(shù)據(jù)融合的問題。

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