劉 斌，李 成，王瑞星，曹啟偉，楊顯俊,3

(1.中國(guó)工程物理研究院研究生院,北京 100088；2.中國(guó)工程物理研究院聚變能源科學(xué)技術(shù)研究中心,北京 100088;3.北京應(yīng)用物理與計(jì)算數(shù)學(xué)研究所,北京 100094)

磁約束聚變或者慣性約束聚變是目前實(shí)現(xiàn)聚變的主要傳統(tǒng)研究途徑，但這兩種傳統(tǒng)聚變途徑面臨的最主要挑戰(zhàn)是達(dá)到點(diǎn)火條件所需要的約束時(shí)間和點(diǎn)火密度取值皆處于兩個(gè)極端情形。由此，這兩種傳統(tǒng)的聚變途徑帶來(lái)了設(shè)施龐大花費(fèi)不菲以及耗時(shí)耗力的后果。為了改變這一狀況，近年來(lái)，國(guó)際聚變學(xué)術(shù)界提出慣性磁約束聚變(magneto inertial fusion, MIF)的新途徑，主要利用電磁內(nèi)爆的方式，通過固體套筒絕熱壓縮具有較高初始溫度的預(yù)加的磁化等離子靶，使等離子溫度不斷升高最終達(dá)到聚變點(diǎn)火條件。這一新的聚變途徑由于可能會(huì)以最小代價(jià)在最短時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)聚變裝置的小型緊湊而受到廣泛關(guān)注。MIF具有多種候選方案，其中包括場(chǎng)反位型壓縮方案[1-3]、磁化套筒慣性聚變方案[4-5]、磁化激光慣性約束靶聚變方案[6-7]、液體金屬內(nèi)爆壓縮磁化靶方案[8]、等離子套筒壓縮方案(PLX)[9-10]。其中最具代表性的磁化套筒慣性聚變方案最近的實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示獲得了超過1012個(gè)聚變高能中子產(chǎn)額[13-14]，由此完全證實(shí)了磁-慣性約束聚變途徑的科學(xué)可行性問題。近年來(lái)，中國(guó)在這一領(lǐng)域也開展了初步的研究工作。中國(guó)工程物理研究院基于磁-慣性約束聚變途徑已初步取得預(yù)期的與理論分析及數(shù)值模擬一致的實(shí)驗(yàn)結(jié)果[11-12]。同時(shí)，還擁有先進(jìn)的脈沖裝置聚龍一號(hào)(PTS)[15]，為開展類似MagLIF的研究工作打下了很好的基礎(chǔ)。本文中擬對(duì)電磁脈沖驅(qū)動(dòng)下套筒內(nèi)爆壓縮磁化靶過程進(jìn)行研究，希望通過一維MHD方程和有限差分法[16]，研究?jī)?nèi)爆過程、電子離子熱傳導(dǎo)效應(yīng)、α粒子能量沉積及內(nèi)爆壓縮做功等問題，以期為后續(xù)工作的開展提供一定的基礎(chǔ)。

1 物理模型和分析方法

1.1 物理模型

對(duì)于電磁脈沖驅(qū)動(dòng)套筒內(nèi)爆壓縮磁化靶的過程，本質(zhì)上是Z箍縮過程，且內(nèi)爆壓縮內(nèi)嵌有軸向磁場(chǎng)的燃料產(chǎn)生的超強(qiáng)磁場(chǎng)[17]會(huì)對(duì)帶電粒子產(chǎn)生重要的影響，但這與通常絲陣負(fù)載的Z箍縮和動(dòng)態(tài)黑腔內(nèi)爆過程[18]是不同的，主要是依靠套筒的慣性進(jìn)行直接驅(qū)動(dòng)。這里研究較為簡(jiǎn)化的模型，即考慮固體套筒內(nèi)部為均勻Z方向常磁場(chǎng)，燃料的初始密度和初始溫度分布均勻，且通過外部加壓(爆轟或強(qiáng)電流)對(duì)套筒及磁化靶進(jìn)行壓縮。

拼裝示意圖如圖1所示，采用燃料及套筒(填塞層)初始等壓拼裝。p0為初始熱壓強(qiáng)，T0為燃料層初始溫度。內(nèi)層為等摩爾DT燃料層，燃料層熱壓強(qiáng)、密度和半徑分別用pf、ρf和Rf表示。外層為套筒層，套筒層熱壓強(qiáng)、密度、半徑和溫度分別用pt、ρt、Rt和Tt表示。套筒材料一般選用為鈹、鋁、銅等金屬材料。金屬套筒在Z向加載電流以Z箍縮的方式內(nèi)爆壓縮磁化靶。

對(duì)于上述拼裝方法，燃料層壓強(qiáng)和套筒層壓強(qiáng)滿足：

(1)

實(shí)際上描述套筒狀態(tài)連續(xù)變化過程非常困難，所以采用上面關(guān)系式中顯示的近似描述方式，將套筒層的狀態(tài)劃分為常溫區(qū)和熱區(qū)2個(gè)部分[19]。采用的DT燃料是低Z物質(zhì)，一般是光性薄的，忽略輻射項(xiàng)，則燃料層壓強(qiáng)為電子壓強(qiáng)和離子壓強(qiáng)之和。對(duì)應(yīng)的套筒層聲速ct和密度及壓強(qiáng)存在如下關(guān)系:

(2)

1.2 分析方法

(3)

式中：Te、Ti分別為電子、離子溫度，B、B|l、B|r分別為為磁感應(yīng)強(qiáng)度及左、右邊界磁感應(yīng)強(qiáng)度，εα、ε3、ε14和εα|l、ε3|l、ε14|l分別為3種聚變產(chǎn)物(3.5 MeV α粒子、3 MeV質(zhì)子、14.7 MeV質(zhì)子)的體積能量密度及左邊界處3種聚變產(chǎn)物的體積能量密度，pt|r為右邊界的熱壓，pp為電磁脈沖驅(qū)動(dòng)壓。

套筒層的某一節(jié)點(diǎn)在時(shí)間點(diǎn)tk熱壓強(qiáng)與其密度、速度、坐標(biāo)、時(shí)間的關(guān)系滿足：

(4)

對(duì)于套筒，外邊界壓強(qiáng)為脈沖電流產(chǎn)生的磁壓，套筒層內(nèi)部壓強(qiáng)應(yīng)取擴(kuò)散進(jìn)套筒內(nèi)部的磁場(chǎng)產(chǎn)生的磁壓，所以壓強(qiáng)分布為:

(5)

式中：c為光速，Im為電磁脈沖函數(shù)。磁壓pB中的磁場(chǎng)由拉氏坐標(biāo)下的磁擴(kuò)散方程決定：

(6)

式中：V≡1/ρ，m、η⊥分別為套筒的質(zhì)量和電導(dǎo)率。

對(duì)于式(4)采用中心差分，得到差分方程:

(7)

差分方程的系數(shù)矩陣為帶狀矩陣，且對(duì)角線按列嚴(yán)格占優(yōu)，所以采用Gauss-Seidel迭代法[20]求解收斂。這樣就把電磁脈沖驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)化為數(shù)值計(jì)算時(shí)差分方程的具體形式。文獻(xiàn)[23]中采用零維模型分析的壓縮比、內(nèi)爆速度等結(jié)果以及文獻(xiàn)[5]中數(shù)值模擬得到的能量輸出等結(jié)果與本文中建立的簡(jiǎn)單模型和數(shù)值結(jié)果進(jìn)行比對(duì)，結(jié)果基本吻合。因此可以認(rèn)為本文中模型和數(shù)值算法的計(jì)算結(jié)果是基本可信的。

2 理論分析和數(shù)值模擬結(jié)果

2.1 內(nèi)爆過程及套筒材料對(duì)內(nèi)爆影響

考慮套筒材料為金屬材料，忽略歐姆電導(dǎo)率細(xì)微的差別。套筒的狀態(tài)按照式(1)和(2)描述。套筒內(nèi)外半徑分別為2.90、3.48 mm，預(yù)加熱溫度為250 eV，初始內(nèi)嵌磁感應(yīng)強(qiáng)度為30 T，脈沖形式取正弦函數(shù)，峰值電流為27 MA，脈沖電流周期為600 ns，加載在套筒上的時(shí)間為150 ns，燃料密度為3×10-3g/cm3。當(dāng)套筒材料分別鋁和銅時(shí)，模擬結(jié)果顯示各個(gè)格點(diǎn)隨壓縮過程的變化如圖3所示。

從圖3中可以看出，套筒材料對(duì)內(nèi)爆壓縮時(shí)間有影響。考慮簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)(準(zhǔn)均勻的DT套筒):

(8)

式中：Et為單位長(zhǎng)度總能量，Ml為單位長(zhǎng)度套筒質(zhì)量，g/cm；vi為內(nèi)爆速度，Rt和pt分別為套筒的半徑和壓強(qiáng)。由式(8)可以得出慣性約束時(shí)間tc滿足:

(9)

式中：內(nèi)爆時(shí)間ti≈R0/vi，R0為初始半徑，Cr=R0/Rt為半徑壓縮比。

相同驅(qū)動(dòng)條件下，不同套筒材料慣性不同，慣性大的套筒內(nèi)爆速度小，而慣性小的套筒內(nèi)爆速度大，對(duì)應(yīng)的約束時(shí)間也不同。不考慮套筒層，只考慮等離子燃料層情況下，聚變反應(yīng)時(shí)間和約束時(shí)間為[20]：

(10)

式中：〈σv〉DT為DT平均反應(yīng)率，Rf為燃料的半徑，cs為聲速。

由式(10)中左右兩式相除得:

(11)

對(duì)于等摩爾的DT等離子體，離子平均質(zhì)量mf=2.5mp,mp為質(zhì)子質(zhì)量，所以n=ρf/mf，將其代入式(11)可得:

(12)

實(shí)際上,式(12)為nτ型勞遜判據(jù)與ρR型勞遜判據(jù)的轉(zhuǎn)化關(guān)系[ 20]。考慮套筒時(shí)，式(12)中的tc必須用式(10)進(jìn)行修正，所以套筒材料對(duì)慣性約束時(shí)間以及點(diǎn)火條件都有重要影響。將燃料層從內(nèi)到外劃分為80個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，套筒層劃分為60個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)。燃料層第40格點(diǎn)處電子與離子升溫如圖4所示。

內(nèi)爆壓縮過程中，電子離子溫度可上升到約50 keV，電子離子溫度歷史基本吻合，由Braginskii方程可以得出：

(13)

式中：τe為電子碰撞弛豫時(shí)間，W為外界對(duì)等離子體做功功率，A和Λ為碰撞參量，因此粒子數(shù)密度較大，碰撞較為頻繁，對(duì)應(yīng)的弛豫時(shí)間很小，電子離子歷史基本保持一致，但是如果如圖3中半徑曲線反彈，粒子數(shù)密度下降到一定程度，則電子離子溫度歷史會(huì)有一定的分離。等離子燃料密度和壓強(qiáng)的變化，如圖5所示，等離子密度和和壓強(qiáng)滿足關(guān)系：p∝ρT，分別考察燃料層的第1、20、40、60個(gè)網(wǎng)格格點(diǎn)燃料密度和壓強(qiáng)的變化，如圖5所示。

從圖5中可以看出從外層格點(diǎn)到內(nèi)層格點(diǎn)，燃料密度和壓強(qiáng)都是外層先增大，內(nèi)層后增大，這與圖3(a)中顯示的外部格點(diǎn)先被壓縮，內(nèi)部格點(diǎn)后被壓縮的趨勢(shì)相吻合。

2.2 內(nèi)爆過程中電子離子熱傳導(dǎo)效應(yīng)

初始內(nèi)嵌磁感應(yīng)強(qiáng)度為分別為0、1、5、10、20和30 T時(shí)5種情況。網(wǎng)格格點(diǎn)劃分不變。電子熱傳導(dǎo)的能量損失為：

ΔE=2πRfkc(kT)≈2πkckT

(14)

式中：T為溫度，k為玻爾茲曼常數(shù)，kc為傳導(dǎo)系數(shù)，假定kT≈kT/Rf。當(dāng)電子傳導(dǎo)率被強(qiáng)磁場(chǎng)限制時(shí)，必須考慮離子傳導(dǎo)率[4]。電子和離子熱傳導(dǎo)系數(shù)κe和κi通過Braginskii方程[22]給出(ne=ni=n)。熱傳導(dǎo)損失率為:

(15)

當(dāng)內(nèi)嵌磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為0、1、5、10、20、30 T時(shí)，考察第40個(gè)格點(diǎn)處的電子熱傳導(dǎo)系數(shù)，模擬結(jié)果如圖6所示。磁感應(yīng)強(qiáng)度的增加有效的減小了電子熱傳導(dǎo)系數(shù)，抑制了電子熱傳導(dǎo)。當(dāng)磁場(chǎng)大于5 T時(shí)電子熱傳導(dǎo)系數(shù)比無(wú)磁場(chǎng)時(shí)減小了兩個(gè)數(shù)量級(jí)，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為30 T時(shí)電子熱傳導(dǎo)系數(shù)比無(wú)磁場(chǎng)時(shí)減小了3個(gè)數(shù)量級(jí)。這說明磁場(chǎng)對(duì)于抑制電子熱傳導(dǎo)是非常重要的。

考察內(nèi)嵌磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為0、1、5、10、20、30 T時(shí)，離子熱傳導(dǎo)系數(shù)變化情況，如圖7所示。對(duì)比圖7和圖6，離子熱傳導(dǎo)系數(shù)比電子熱傳導(dǎo)系數(shù)小超過1個(gè)數(shù)量級(jí)，由于電子低質(zhì)量、高速率的性質(zhì)，電子熱傳導(dǎo)顯然要比離子熱傳導(dǎo)強(qiáng)。由于離子的高質(zhì)量，約束離子所需的磁場(chǎng)也就要比電子強(qiáng)，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為30 T時(shí)，離子熱傳導(dǎo)系數(shù)下降明顯，相比于其他情況，離子熱傳導(dǎo)系數(shù)下降了為原來(lái)的1/10。

2.3 內(nèi)爆過程中α粒子的能量沉積

分析磁場(chǎng)增加α粒子的能量沉積的情況。fα為α粒子能量沉積的比例。使α粒子停下來(lái)的，貢獻(xiàn)最大的是和等離子體電子的小角度碰撞，顯然0

(16)

(17)

式中：q為α粒子的電荷，c為光速。求解該方程，即可得到α粒子各方向上的速度分量，然后就可以求得α粒子的運(yùn)動(dòng)距離，最后在整個(gè)柱坐標(biāo)空間積分便可求得α粒子的沉積比例，整個(gè)求解過程可以參考文獻(xiàn)[22]。這里通過MHD模擬給出磁場(chǎng)對(duì)α粒子能量沉積的影響，模擬結(jié)果如圖8所示。

如圖8所示，當(dāng)內(nèi)嵌磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為0、1、5、10、20、30 T時(shí)，α粒子能量沉積密度Eα相對(duì)增加?？梢钥闯觯趬嚎s峰值處，磁感應(yīng)強(qiáng)度為5、10、20、30 T時(shí)α粒子能量沉積密度比磁感應(yīng)強(qiáng)度為0和1 T時(shí)相對(duì)增加了大約200倍以上。同時(shí)，在壓縮峰值處，磁感應(yīng)強(qiáng)度為5、10、20、30 T時(shí)α粒子能量沉積密度相差不多，這是因?yàn)檩^大磁場(chǎng)產(chǎn)生的磁壓會(huì)導(dǎo)致等離子體的壓縮變得困難，使得壓縮率和溫度在某種程度上降低，這又會(huì)抵消磁場(chǎng)對(duì)α粒子能量沉積增加的作用。所以磁化靶的磁場(chǎng)并不是越強(qiáng)越好，而是要綜合它對(duì)電子離子熱傳導(dǎo)抑制、α粒子能量沉積、壓縮做功的影響，選出最優(yōu)解。

這里定義ET=E-WB，E為反應(yīng)釋放的總能量，磁場(chǎng)對(duì)壓縮過程的影響用磁場(chǎng)阻滯功WB表示，則ET可表示用于等離子體加熱的能量。以ET作為磁感應(yīng)強(qiáng)度選取的標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)參數(shù)選取和前文中相同時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度選取從0～50 T，則ET數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果如圖9所示。

由圖9知，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度在20～35 T之間時(shí)，ET的值相對(duì)較大。對(duì)于前文中的初始參數(shù)，磁感應(yīng)強(qiáng)度在20～35 T為最優(yōu)范圍。對(duì)于其他初始參數(shù)的選擇，也可以通過定標(biāo)量ET來(lái)選取合適的磁感應(yīng)強(qiáng)度的取值范圍。

2.4 內(nèi)爆壓縮的做功過程

內(nèi)爆壓縮過程中，脈沖電流產(chǎn)生的強(qiáng)壓壓縮磁化等離子體，等離子體的熱壓p和動(dòng)態(tài)內(nèi)嵌磁場(chǎng)產(chǎn)生的磁壓pB對(duì)壓縮過程起粘滯阻礙作用。考慮1個(gè)等離子微元，如圖10所示，主要作用項(xiàng)包括電磁脈沖壓，熱壓，磁壓3個(gè)部分?？紤]簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)(準(zhǔn)均勻的DT套筒)的總能量(每單位長(zhǎng)度)可以寫成:

(18)

式中：Wdr和Rf分別為驅(qū)動(dòng)功率和燃料的半徑。內(nèi)爆時(shí)間ti和慣性約束時(shí)間的關(guān)系如式(10)所示。

驅(qū)動(dòng)功率滿足:

(19)

收支平衡條件為:

(20)

式中：EDT為DT反應(yīng)釋放能量(17.6 MeV)，n為粒子數(shù)密度(在峰值壓縮處)，〈σv〉DT只是溫度T的函數(shù)。將式(20)代入式(19)中，可得:

(21)

進(jìn)一步整理得:

(22)

實(shí)際上，當(dāng)燃料不考慮磁化時(shí)就不存在右邊第二項(xiàng)，驅(qū)動(dòng)功率滿足關(guān)系：

(23)

對(duì)于固定點(diǎn)火溫度T(典型溫度接近10 keV)，驅(qū)動(dòng)功率與ρfRf平方成正比[22]?？紤]磁化時(shí)，由式(22)可知，對(duì)于驅(qū)動(dòng)功率一定、點(diǎn)火溫度固定的情況下，pB越大，相應(yīng)所達(dá)到的ρfRf值越小，點(diǎn)火也就越困難。磁化帶來(lái)的做功的弊端可以通過提升驅(qū)動(dòng)電磁脈沖的功率來(lái)克服，而壓縮結(jié)束，發(fā)生點(diǎn)火時(shí)，磁化對(duì)減少電子離子熱傳導(dǎo)能量損失及增加α粒子能量沉積的好處則起主導(dǎo)作用。

3 結(jié) 論

通過對(duì)電磁脈沖驅(qū)動(dòng)套筒內(nèi)爆壓縮磁化靶過程構(gòu)建物理模型，利用磁流體力學(xué)和數(shù)值分析方法對(duì)內(nèi)爆過程、磁場(chǎng)對(duì)帶電粒子作用機(jī)制、磁化對(duì)壓縮做功的影響進(jìn)行分析。結(jié)果表明：電磁脈沖驅(qū)動(dòng)套筒壓縮磁化靶到達(dá)高溫高壓的物質(zhì)狀態(tài)，電子離子溫度可達(dá)約50 keV，壓強(qiáng)約1 TPa，粒子數(shù)密度達(dá)1024cm-3。套筒的材料對(duì)約束時(shí)間產(chǎn)生了影響，驅(qū)動(dòng)功率一定時(shí)，慣性大的材料約束時(shí)間更長(zhǎng)。內(nèi)爆過程中產(chǎn)生的強(qiáng)磁場(chǎng)有效的降低了電子和離子熱傳導(dǎo)系數(shù)，抑制了熱傳導(dǎo)能量損失，且增加了α粒子的能量沉積，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度超過5 T時(shí)，α粒子的能量沉積比沒有內(nèi)嵌磁場(chǎng)時(shí)增加超過了兩個(gè)數(shù)量級(jí)。當(dāng)驅(qū)動(dòng)功率一定時(shí)，磁化降低了內(nèi)爆壓縮后燃料達(dá)到的ρRf值。這個(gè)弊端可以通過提升驅(qū)動(dòng)功率克服，考慮磁化的主要原因是磁場(chǎng)對(duì)于抑制電子離子熱傳導(dǎo)和增加α粒子的能量沉積。

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